高考數(shù)學人教A版（理）一輪復習：第八篇 第2講 空間幾何體的表面積與體積

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第2講 空間幾何體的表面積與體積 A級　基礎演練 (時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2013·東北三校一模)一個幾何體的三視圖如圖所示，則側視圖的面積為(　　)． A．2＋ B．1＋ C．2＋2 D．4＋ 解析　依題意得，該幾何體的側視圖的面積等于22＋×2×＝4＋. 答案　D 2．(2011·湖南)設右圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 (　　)． A.π＋12 B.π＋18 C．9π＋42 D．36π＋18 解析　該幾何體是由一個球與一個長方體組成的組合體，球的直徑為3，長方體的底面是邊長為3的正方形，高為2，故所求體積為2×32＋π3＝π＋18. 答案　B 3．一個幾何體的三視圖如圖所示，那么此幾何體的側面積(單位：cm2)為 (　　)． A．48 B．64 C．80 D．120 解析　據(jù)三視圖知，該幾何體是一個正四棱錐(底面邊長為8)，直觀圖如圖，PE為側面△PAB的邊AB上的高，且PE＝5.∴此幾何體的側面積是S＝4S△PAB＝4××8×5＝80(cm2)． 答案　C 4．(2012·新課標全國)已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為 (　　)． A. B. C. D. 解析　在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝＝；同理SB＝.過A點作SC的垂線交SC于D點，連接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD為等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，則△ABD的面積為×1× ＝，則三棱錐的體積為××2＝. 答案　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．已知S、A、B、C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，則球O的表面積等于________． 解析　將三棱錐S－ABC補形成以SA、AB、BC為棱的長方體，其對角線SC為球O的直徑，所以2R＝SC＝2，R＝1，∴表面積為4πR2＝4π. 答案　4π 6．(2012·天津)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________ m3. 解析　由三視圖可知，該幾何體是組合體，上面是長、寬、高分別是6,3,1的長方體，下面是兩個半徑均為的球，其體積為6×3×1＋2××π×3＝18＋9π(m3)． 答案　18＋9π 三、解答題(共25分) 7．(12分)如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)： (1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)； (2)求這個幾何體的表面積及體積． 解　(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示． (2)這個幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的組合體．由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)， 體積V＝23＋×()2×2＝10 (cm3)． 8．(13分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一動點，如圖所示，求CP＋PA1的最小值． 解　PA1在平面A1BC1內，PC在平面BCC1內，將其鋪平后轉化為平面上的問題解決．鋪平平面A1BC1、平面BCC1，如圖所示．計算A1B＝AB1＝，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形． CP＋PA1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理，得 A1C＝＝＝5， 故(CP＋PA1)min＝5. B級　能力突破 (時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2012·哈爾濱模擬)某品牌香水瓶的三視圖如下(單位：cm)，則該幾何體的表面積為 (　　)． A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2 解析　該幾何體的上下為長方體，中間為圓柱． S表面積＝S下長方體＋S上長方體＋S圓柱側－2S圓柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π××1－2×π2＝94＋. 答案　C 2．(2013·福州模擬)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為 (　　)． A. B. C. D. 解析　三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為，底面積為，故其體積為××＝. 答案　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．(2013·江西盟校二聯(lián))已知某幾何體的直觀圖及三視圖如圖所示，三視圖的輪廓均為正方形，則該幾何體的表面積為________． 解析　借助常見的正方體模型解決．由三視圖知，該幾何體由正方體沿面AB1D1與面CB1D1截去兩個角所得，其表面由兩個等邊三角形、四個直角三角形和一個正方形組成．計算得其表面積為12＋4. 答案　12＋4 4．(2012·長春二模)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為6，則以正方體ABCD－A1B1C1D1的中心為頂點，以平面AB1D1截正方體外接球所得的圓為底面的圓錐的全面積為________． 解析　設O為正方體外接球的球心，則O也是正方體的中心，O到平面AB1D1的距離是體對角線長的，即為.又球的半徑是正方體對角線長的一半，即為3，由勾股定理可知，截面圓的半徑為＝2，圓錐底面面積為S1＝π·(2)2＝24π，圓錐的母線即為球的半徑3，圓錐的側面積為S2＝π×2×3＝18π.因此圓錐的全面積為S＝S2＋S1＝18π＋24π＝(18＋24)π. 答案　(18＋24)π 三、解答題(共25分) 5．(12分)(2013·杭州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉一周所成幾何體的表面積及體積． 解　由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5， S表面＝S圓臺側＋S圓臺下底＋S圓錐側＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圓臺－V圓錐＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π. 6．(13分)如圖(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖(b)所示． (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)求幾何體D－ABC的體積． (1)證明　在圖中，可得AC＝BC＝2， 從而AC2＋BC2＝AB2， 故AC⊥BC， 又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD. (2)解　由(1)可知，BC為三棱錐B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2， ∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝， 由等體積性可知，幾何體D－ABC的體積為. 特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計·高考總復習》光盤中內容.