高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第九篇 第8講 曲線與方程
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第8講 曲線與方程 A級 基礎(chǔ)演練(時間：30分鐘 滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 動點P(x，y)滿足5＝|3x＋4y－11|，則點P的軌跡是 ( )． A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．直線 解析 設(shè)定點F(1,2)，定直線l：3x＋4y－11＝0，則|PF|＝，點P到直線l的距離d＝. 由已知得＝1，但注意到點F(1,2)恰在直線l上，所以點P的軌跡是直線．選D. 答案 D 2．(2013·榆林模擬)若點P到直線x＝－1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點P的軌跡為 ( )． A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析 依題意，點P到直線x＝－2的距離等于它到點(2,0)的距離，故點P的軌跡是拋物線． 答案 D 3．(2013·臨川模擬)設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為 ( )． A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 解析 M為AQ垂直平分線上一點，則|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的軌跡為橢圓，∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 答案 D 4．(2013·煙臺月考)已知點P是直線2x－y＋3＝0上的一個動點，定點M(－1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|＝|MQ|，則Q點的軌跡方程是( )． A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析 由題意知，M為PQ中點，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0. 答案 D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·泰州月考)在△ABC中，A為動點，B、C為定點，B，C(a>0)，且滿足條件sin C－sin B＝sin A，則動點A的軌跡方程是________． 解析 由正弦定理，得－＝×， ∴|AB|－|AC|＝|BC|，且為雙曲線右支． 答案?。?(x>0且y≠0) 6. 如圖，點F(a,0)(a>0)，點P在y軸上運動，M在x軸上運動，N為動點，且·＝0，＋＝0，則點N的軌跡方程為________． 解析 由題意，知PM⊥PF且P為線段MN的中點，連接FN，延長FP至點Q使P恰為QF之中點；連接QM，QN，則四邊形FNQM為菱形，且點Q恒在直線l：x＝－a上，故點N的軌跡是以點F為焦點，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：y2＝4ax. 答案 y2＝4ax 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知長為1＋的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，P是AB上一點，且＝，求點P的軌跡C的方程． 解 設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，＝， 又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)， 所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)， 得x0＝x，y0＝(1＋)y. 因為|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2， 所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2， 化簡得＋y2＝1. ∴點P的軌跡方程為＋y2＝1. 8．(13分)設(shè)橢圓方程為x2＋＝1，過點M(0,1)的直線l交橢圓于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，點P滿足＝(＋)，點N的坐標(biāo)為，當(dāng)直線l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求： (1)動點P的軌跡方程； (2)||的最大值，最小值． 解 (1)直線l過定點M(0,1)，當(dāng)其斜率存在時設(shè)為k，則l的方程為y＝kx＋1. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，A、B的坐標(biāo)滿足方程組消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0. 則Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. P(x，y)是AB的中點， 則由 消去k得4x2＋y2－y＝0. 當(dāng)斜率k不存在時，AB的中點是坐標(biāo)原點，也滿足這個方程，故P點的軌跡方程為4x2＋y2－y＝0. (2)由(1)知4x2＋2＝，∴－≤x≤ 而|NP|2＝2＋2＝2＋ ＝－32＋， ∴當(dāng)x＝－時，||取得最大值， 當(dāng)x＝時，||取得最小值. B級 能力突破(時間：30分鐘 滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2012·全國)正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE＝BF＝.動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當(dāng)點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為 ( )． A．16 B．14 C．12 D．10 解析 當(dāng)E、F分別為AB、BC中點時，顯然碰撞的結(jié)果為4，當(dāng)E、F分別為AB的三等分點時，可得結(jié)果為6(如圖1所示)．可以猜想本題碰撞的結(jié)果應(yīng)為2×7＝14(如圖2所示)．故選B. 答案 B 2．(2013·沈陽二模)在平行四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD內(nèi)一點，且滿足：x＋y＋＝0(x，y∈R)．則當(dāng)點P在以A為圓心，||為半徑的圓上時，實數(shù)x，y應(yīng)滿足關(guān)系式為 ( )． A．4x2＋y2＋2xy＝1 B．4x2＋y2－2xy＝1 C．x2＋4y2－2xy＝1 D．x2＋4y2＋2xy＝1 解析 如圖，以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝2.據(jù)題意，得AB＝1，∠ABD＝90°，BD＝.∴B、D的坐標(biāo)分別為(1,0)、(1，)，∴＝(1,0)，＝(1，)．設(shè)點P的坐標(biāo)為(m，n)，即＝(m，n)，則由x＋y＋＝0，得：＝x＋y，∴ 據(jù)題意，m2＋n2＝1，∴x2＋4y2＋2xy＝1. 答案 D 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點M在AB上，且AM＝AB，點P在平面ABCD上，且動點P到直線A1D1的距離的平方與P到點M的距離的平方差為1，在平面直角坐標(biāo)系xAy中，動點P的軌跡方程是________． 解析 過P作PQ⊥AD于Q，再過Q作QH⊥A1D1于H，連接PH、PM，可證PH⊥A1D1，設(shè)P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－＝1，化簡得y2＝x－. 答案 y2＝x－ 4．(2013·南京模擬)P是橢圓＋＝1上的任意一點，F(xiàn)1、F2是它的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，＝＋，則動點Q的軌跡方程是________． 解析 由＝＋，又＋＝＝2 ＝－2，設(shè)Q(x，y)，則＝－＝－(x，y)＝－，－，即P點坐標(biāo)為－，－.又P在橢圓上，則有＋＝1，即＋＝1. 答案?。? 三、解答題(共25分) 5．(12分)(2013·鄭州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>0，b>0)經(jīng)過點A，且點F(0，－1)為其一個焦點． (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)隨圓E與y軸的兩個交點為A1，A2，不在y軸上的動點P在直線y＝b2上運動，直線PA1，PA2分別與橢圓E交于點M，N，證明：直線MN通過一個定點，且△FMN的周長為定值． 解 (1)根據(jù)題意可得可解得 ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，－2)，P(x0，4)為直線y＝4上一點(x0≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PA1方程為y＝x＋2，直線PA2方程為y＝x－2，點M(x1，y1)，A1(0,2)的坐標(biāo)滿足方程組可得 點N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐標(biāo)滿足方程組可得由于橢圓關(guān)于y軸對稱，當(dāng)動點P在直線y＝4上運動時，直線MN通過的定點必在y軸上，當(dāng)x0＝1時，直線MN的方程為y＋1＝，令x＝0，得y＝1可猜測定點的坐標(biāo)為(0,1)，并記這個定點為B.則直線BM的斜率kBM＝＝＝，直線BN的斜率kBN＝＝＝，∴kBM＝kBN，即M，B，N三點共線，故直線MN通過一個定點B(0，1)， 又∵F(0，－1)，B(0,1)是橢圓E的焦點， ∴△FMN周長為|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8，為定值． 6．(13分)(2013·玉林模擬)已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)． (1)求點Q(x，y)的軌跡C的方程； (2)設(shè)曲線C與直線y＝kx＋m相交于不同的兩點M、N，又點A(0，－1)，當(dāng)|AM|＝|AN|時，求實數(shù)m的取值范圍． 解 (1)由題意得a＋b＝(x＋，y)，a－b＝(x－，y)，∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0， 即(x＋)(x－)＋y·y＝0. 化簡得＋y2＝1，∴Q點的軌跡C的方程為＋y2＝1. (2)由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0， 由于直線與橢圓有兩個不同的交點， ∴Δ>0，即m2<3k2＋1. ① (i)當(dāng)k≠0時，設(shè)弦MN的中點為P(xP，yP)，xM、xN分別為點M、N的橫坐標(biāo)，則xP＝＝－， 從而yP＝kxP＋m＝，kAP＝＝－， 又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN. 則－＝－，即2m＝3k2＋1， ② 將②代入①得2m>m2，解得0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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