高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修2能力強(qiáng)化提升：4-2-1 直線與圓的位置關(guān)系

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一、選擇題 1．(2012·安徽卷)若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍是(　　) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) [答案]　C [解析]　圓(x－a)2＋y2＝2的圓心C(a,0)到直線x－y＋1＝0的距離為d 則d≤r＝?≤?|a＋1|≤2?－3≤a≤1. 2．圓x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直線5x－12y＋c＝0所得的弦長(zhǎng)為8，則c的值是(　　) A．10 B．10或－68 C．5或－34 D．－68 [答案]　B [解析]　由題意得圓心C(1，－2)，半徑r＝5，圓心C到直線5x－12y＋c＝0的距離d＝，又r2＝d2＋42， 所以25＝＋16，解得c＝10或－68. 3．已知直線ax－by＋c＝0(ax≠0)與圓x2＋y2＝1相切，則三條邊長(zhǎng)分別為|a|，|b|，|c|的三角形(　　) A．是銳角三角形 B．是直角三角形 C．是鈍角三角形 D．不存在 [答案]　B [解析]　圓心O(0,0)到直線的距離d＝＝1， 則a2＋b2＝c2，即該三角形是直角三角形． 4．過點(diǎn)P(2,3)引圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的切線，其方程是(　　) A．x＝2 B．12x－5y＋9＝0 C．5x－12y＋26＝0 D．x＝2和12x－5y－9＝0 [答案]　D [解析]　點(diǎn)P在圓外，故過P必有兩條切線， ∴選D. 5．點(diǎn)M在圓(x－5)2＋(y－3)2＝9上，點(diǎn)M到直線3x＋4y－2＝0的最短距離為(　　) A．9 B．8 C．5 D．2 [答案]　D [解析]　由圓心到直線的距離d＝＝5>3知直線與圓相離，故最短距離為d－r＝5－3＝2，故選D. 6．過點(diǎn)(2,1)的直線中，被圓x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最長(zhǎng)的直線的方程是(　　) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．3x－y－1＝0 D．3x＋y－5＝0 [答案]　A [解析]　x2＋y2－2x＋4y＝0的圓心為(1，－2)，截得弦最長(zhǎng)的直線必過點(diǎn)(2,1)和圓心(1，－2) ∴直線方程為3x－y－5＝0，故選A. 7．已知直線x＋7y＝10把圓x2＋y2＝4分成兩段弧，這兩段弧長(zhǎng)之差的絕對(duì)值等于(　　) A. B. C．π D．2π [答案]　D [解析]　圓x2＋y2＝4的圓心為O(0,0)，半徑r＝2，設(shè)直線x＋7y＝10與圓x2＋y2＝4交于M，N兩點(diǎn)，則圓心O到直線x＋7y＝10的距離d＝＝，過點(diǎn)O作OP⊥MN于P，則|MN|＝2＝2.在△MNO中，|MN|2＋|ON|2＝2r2＝8＝|MN|2，則∠MON＝90°，這兩段弧長(zhǎng)之差的絕對(duì)值等于 ＝2π. 8．設(shè)圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r>0)上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，則圓半徑r的取值范圍是(　　) A．34 D．r>5 [答案]　B [解析]　圓心C(3，－5)，半徑為r，圓心C到直線4x－3y－2＝0的距離d＝＝5，由于圓C上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，則d－10)． ∵圓心在直線2x＋y＝0上， ∴b＝－2a，即圓心為C(a，－2a)． 又∵圓與直線x－y－1＝0相切，且過點(diǎn)(2，－1)， ∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2， 即(3a－1)2＝2[(2－a)2＋(－1＋2a)2]，解得a＝1或a＝9，∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝13. 故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338. 15．已知以點(diǎn)A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過點(diǎn)B(－2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)． (1)求圓的方程； (2)當(dāng)|MN|＝2時(shí)，求直線l的方程． [解析]　(1)設(shè)圓A的半徑為r， ∵圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切， ∴r＝＝2， ∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)， 則直線l的方程為x＝－2， 此時(shí)有|MN|＝2，即x＝－2符合題意． 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k， 則直線l的方程為y＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＝0， ∵Q是MN的中點(diǎn)，∴AQ⊥MN， ∴|AQ|2＋(|MN|)2＝r2. 又∵|MN|＝2，r＝2， ∴|AQ|＝＝1， 解方程|AQ|＝＝1，得k＝， ∴此時(shí)直線l的方程為y－0＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0. 綜上所得，直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0. 16．已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0與直線x＋2y－3＝0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OP⊥OQ，求實(shí)數(shù)m的值． [解析]　設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)． 由OP⊥OQ，得kOPkOQ＝－1，即·＝－1，x1x2＋y1y2＝0.① 又(x1，y1)、(x2，y2)是方程組 的實(shí)數(shù)解，即x1，x2是方程5x2＋10x＋4m－27＝0②的兩個(gè)根， ∴x1＋x2＝－2，x1x2＝.③ ∵P、Q是在直線x＋2y－3＝0上， ∴y1y2＝(3－x1)·(3－x2) ＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]． 將③代入，得y1y2＝.④ 將③④代入①，解得m＝3.代入方程②，檢驗(yàn)Δ>0成立， ∴m＝3.