高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第六篇 第2講 等差數(shù)列及其前n項和

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第2講 等差數(shù)列及其前n項和 A級　基礎(chǔ)演練 (時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2012·福建)等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差為 (　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 解析　在等差數(shù)列{an}中，∵a1＋a5＝10.∴2a3＝10，∴a3＝5，又a4＝7，∴所求公差為2. 答案　B 2．(2013·山東實驗中學(xué)診斷)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＋a3＋a11＝6，那么S9＝ (　　)． A．2 B．8 C．18 D．36 解析　設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由a1＋a3＋a11＝6，可得3a1＋12d＝6，∴a1＋4d＝2＝a5.∴S9＝＝9a5＝9×2＝18. 答案　C 3．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20等于(　　)． A．－1 B．1 C．3 D．7 解析　兩式相減，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1. 答案　B 4．(2012·東北三校一模)在等差數(shù)列{an}中，S15>0，S16<0，則使an>0成立的n的最大值為 (　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 解析　依題意得S15＝＝15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，選C. 答案　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2012·江西)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________. 解析　設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，因為a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35. 答案　35 6．(2013·沈陽四校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若－＝1，則公差為________． 解析　依題意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差為6. 答案　6 三、解答題(共25分) 7．(12分)在等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a7＋a12＝12，a2·a7·a12＝28，求數(shù)列{an}的通項公式． 解　由a2＋a7＋a12＝12，得a7＝4. 又∵a2·a7·a12＝28，∴(a7－5d)(a7＋5d)·a7＝28， ∴16－25d2＝7，∴d2＝，∴d＝或d＝－. 當(dāng)d＝時，an＝a7＋(n－7)d＝4＋(n－7)×＝n－； 當(dāng)d＝－時，an＝a7＋(n－7)d＝4－(n－7)×＝－n＋. ∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝n－或an＝－n＋. 8．(13分)在等差數(shù)列{an}中，公差d＞0，前n項和為Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一個非零常數(shù)c，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由． 解　(1)由題設(shè)，知{an}是等差數(shù)列，且公差d＞0， 則由得 解得∴an＝4n－3(n∈N*)． (2)由bn＝＝＝， ∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n. ∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)， ∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列． 即存在一個非零常數(shù)c＝－，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列． B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2013·咸陽模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，則n＝ (　　)． A．12 B．14 C．16 D．18 解析　Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14. 答案　B 2．(2012·廣州一模)已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且＝，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是 (　　)． A．2 B．3 C．4 D．5 解析　由＝得：＝＝＝，要使為整數(shù)，則需＝7＋為整數(shù)，所以n＝1,2,3,5,11，共有5個． 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．(2013·徐州調(diào)研)等差數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n＋1，其前n項和為Sn，則數(shù)列的前10項和為________． 解析　∵an＝2n＋1，∴a1＝3， ∴Sn＝＝n2＋2n，∴＝n＋2， ∴是公差為1，首項為3的等差數(shù)列， ∴前10項和為3×10＋×1＝75. 答案　75 4．(2012·諸城一中月考)設(shè)項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，則這個數(shù)列的中間項是________，項數(shù)是________． 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n＋1， S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1， ∴＝＝，解得n＝3，∴項數(shù)2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11為所求中間項． 答案　11　7 三、解答題(共25分) 5．(12分)在數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2＋an＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)Sn是數(shù)列{|an|}的前n項和，求Sn. 解　(1)由2an＋1＝an＋2＋an可得{an}是等差數(shù)列， 且公差d＝＝＝－2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10. (2)令an≥0，得n≤5. 即當(dāng)n≤5時，an≥0，n≥6時，an<0. ∴當(dāng)n≤5時，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n； 當(dāng)n≥6時，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an) ＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5) ＝－(－n2＋9n)＋2×(－52＋45) ＝n2－9n＋40， ∴Sn＝ 6．(13分)(2012·四川)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2an＝S2＋Sn對一切正整數(shù)n都成立． (1)求a1，a2的值； (2)設(shè)a1＞0，數(shù)列的前n項和為Tn.當(dāng)n為何值時，Tn最大？并求出Tn的最大值． 解　(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2， ① 取n＝2，得a＝2a1＋2a2， ② 由②－①，得a2(a2－a1)＝a2， ③ (i)若a2＝0，由①知a1＝0， (ii)若a2≠0，由③知a2－a1＝1. ④ 由①、④解得，a1＝＋1，a2＝2＋；或a1＝1－，a2＝2－. 綜上可得a1＝0，a2＝0；或a1＝＋1，a2＝＋2；或a1＝1－，a2＝2－. (2)當(dāng)a1＞0時，由(1)知a1＝＋1，a2＝＋2. 當(dāng)n≥2時，有(2＋)an＝S2＋Sn，(2＋)an－1＝S2＋Sn－1， 所以(1＋)an＝(2＋)an－1，即an＝an－1(n≥2)， 所以an＝a1()n－1＝(＋1)·()n－1. 令bn＝lg， 則bn＝1－lg()n－1＝1－(n－1)lg 2＝lg， 所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列(公差為－lg 2)， 從而b1＞b2＞…＞b7＝lg＞lg 1＝0， 當(dāng)n≥8時，bn≤b8＝lg＜lg 1＝0， 故n＝7時，Tn取得最大值，且Tn的最大值為 T7＝＝＝7－lg 2. 特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.