年高考真題匯編——理科數(shù)學(xué)（解析版）7：立體幾何

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2012高考真題分類匯編：立體幾何 一、選擇題 1.【2012高考真題新課標(biāo)理7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的 是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ） 【答案】B 【解析】由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為，所以幾何體的體積為,選B. 2.【2012高考真題浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=。將△沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中。 A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直. B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直. C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直. D.對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直 【答案】C 【解析】最簡單的方法是取一長方形動手按照其要求進(jìn)行翻著，觀察在翻著過程，即可知選項C是正確的． 3.【2012高考真題新課標(biāo)理11】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（ ） 【答案】A 【解析】的外接圓的半徑，點(diǎn)到面的距離,為球的直徑點(diǎn)到面的距離為 此棱錐的體積為 另：排除,選A. 4.【2012高考真題四川理6】下列命題正確的是（ ） A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行 B、若一個平面內(nèi)有三個點(diǎn)到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行 C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行 D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行 【答案】C 【解析】A.兩直線可能平行，相交，異面故A不正確；B.兩平面平行或相交；C.正確；D.這兩個平面平行或相交. 5.【2012高考真題四川理10】如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內(nèi)，過點(diǎn)作平面的垂線交半球面于點(diǎn)，過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點(diǎn)為，該交線上的一點(diǎn)滿足，則、兩點(diǎn)間的球面距離為（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】根據(jù)題意，易知平面AOB⊥平面CBD, ,，由弧長公式易得，、兩點(diǎn)間的球面距離為. 6.【2012高考真題陜西理5】如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 5.【答案】A. 【解析】設(shè)，則，， ，，故選A. 7.【2012高考真題湖南理3】某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是 【答案】D 【解析】本題是組合體的三視圖問題，由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知，原圖下面圖為圓柱或直四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是該幾何體的俯視圖，Ｄ不可能是該幾何體的俯視圖，因?yàn)樗恼晥D上面應(yīng)為如圖的矩形. 【點(diǎn)評】本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查空間想象能力.是近年高考中的熱點(diǎn)題型. 8.【2012高考真題湖北理4】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】顯然有三視圖我們易知原幾何體為 一個圓柱體的一部分，并且有正視圖知是一個1/2的圓柱體，底面圓的半徑為1，圓柱體的高為6，則知所求幾何體體積為原體積的一半為.選B. 9.【2012高考真題廣東理6】某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為 A．12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C 【解析】該幾何體的上部是一個圓錐，下部是一個圓柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)量關(guān)系，可得．故選C． 10.【2012高考真題福建理4】一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是 A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圓柱 【答案】D. 【命題立意】本題考查了空間幾何體的形狀和三視圖的概念，以及考生的空間想象能力，難度一般. 【解析】球的三視圖全是圓；如圖正方體截出的三棱錐三視圖全是等腰直角三角形；正方體三視圖都是正方形.可以排除ABC，故選Ｄ． 11.【2012高考真題重慶理9】設(shè)四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和，且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】因?yàn)閯t，，選A， 12.【2012高考真題北京理7】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（ ） A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12 【答案】B 【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長度，黑色數(shù)字代表通過勾股定理的計算得到的邊長。本題所求表面積應(yīng)為三棱錐四個面的面積之和，利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：，，，，因此該幾何體表面積，故選B。 13.【2012高考真題全國卷理4】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為 A 2 B C D 1 【答案】D 【解析】連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以,且，所以，即直線 與平面BED的距離等于點(diǎn)C到平面BED的距離，過C做于,則即為所求距離.因?yàn)榈酌孢呴L為2，高為，所以,,,所以利用等積法得，選D. 二、填空題 14.【2012高考真題浙江理11】已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積等于________cm3. 【答案】1 【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角形，右側(cè)面也是一直角三角形．故體積等于． 15.【2012高考真題四川理14】如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是____________。 【答案】 【命題立意】本題主要考查空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，以及異面直線所成角的求法. 【解析】本題有兩種方法，一、幾何法：連接，則,又，易知，所以與所成角的大小是；二、坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式計算得異面直線與所成角的大小是. 16.【2012高考真題遼寧理13】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為______________。 【答案】38 【解析】由三視圖可知該幾何體為一個長方體在中間挖去了一個等高的圓柱，其中長方體的長、寬、高分別為4、3、1，圓柱的底面直徑為2，所以該幾何體的表面積為長方體的表面積加圓柱的側(cè)面積再減去圓柱的底面積，即為 【點(diǎn)評】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的表面積公式，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，屬于容易題。本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖還原出幾何體，確定幾何體的形狀，然后再根據(jù)幾何體的形狀計算出表面積。 17.【2012高考真題山東理14】如圖，正方體的棱長為1，分別為線段上的點(diǎn)，則三棱錐的體積為____________. 【答案】 【解析】法一：因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以點(diǎn)到平面的距離為1,即，所以. 法二：使用特殊點(diǎn)的位置進(jìn)行求解，不失一般性令點(diǎn)在點(diǎn)處，點(diǎn)在點(diǎn)處，則。 18.【2012高考真題遼寧理16】已知正三棱錐ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為________。 【答案】 【解析】因?yàn)樵谡忮FABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對角線為球的直徑，球心為正方體對角線的中點(diǎn)。球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的 高。已知球的半徑為，所以正方體的棱長為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為 【點(diǎn)評】本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強(qiáng)，難度較大。該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱 19.【2012高考真題上海理8】若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為 。 【答案】 【解析】因?yàn)榘雸A面的面積為，所以，即，即圓錐的母線為，底面圓的周長，所以圓錐的底面半徑，所以圓錐的高，所以圓錐的體積為。 20.【2012高考真題上海理14】如圖，與是四面體中互相垂直的棱，，若，且，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最 大值是 。 【答案】。 【解析】過點(diǎn)A做AE⊥BC，垂足為E，連接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE， 所以=， 當(dāng)AB=BD=AC=DC=a時，四面體ABCD的體積最大。 過E做EF⊥DA，垂足為點(diǎn)F，已知EA=ED，所以△ADE為等腰三角形，所以點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，又，∴EF=， ∴==， ∴四面體ABCD體積的最大值=。 21.【2012高考江蘇7】（5分）如圖，在長方體中，，，則四棱錐的體積為 ▲ cm3． 【答案】6。 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，棱錐的體積。 【解析】∵長方體底面是正方形，∴△中 cm，邊上的高是cm（它也是中上的高）。 ∴四棱錐的體積為。 22.【2012高考真題安徽理12】某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是． 【答案】92 【命題立意】本題考查空間幾何體的三視圖以及表面積的求法。 【解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為的直四棱柱， 幾何體的表面積是． 23.【2012高考真題天津理10】一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_________m3. 【答案】 【解析】根據(jù)三視圖可知，這是一個上面為長方體，下面有兩個直徑為3的球構(gòu)成的組合體，兩個球的體積為，長方體的體積為，所以該幾何體的體積為。 24.【2012高考真題全國卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等， BAA1=CAA1=60°則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為____________. 【答案】 【解析】如圖設(shè)設(shè)棱長為1，則，因?yàn)榈酌孢呴L和側(cè)棱長都相等，且所以，所以， ，，設(shè)異面直線的夾角為，所以. 三、解答題 25.【2012高考真題廣東理18】（本小題滿分13分） 如圖5所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn) E在線段PC上，PC⊥平面BDE． （1） 證明：BD⊥平面PAC； （2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值； 【答案】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面垂直的證明、二面角的求解等問題，考查了學(xué)生的空間想象能力以及推理論證能力. 26.【2012高考真題遼寧理18】(本小題滿分12分) 如圖，直三棱柱，， 點(diǎn)M，N分別為和的中點(diǎn)。 (Ⅰ)證明：∥平面; (Ⅱ)若二面角為直二面角，求的值。 【答案】 【點(diǎn)評】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定，借助空間直角坐標(biāo)系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，難度適中。第一小題可以通過線線平行來證明線面平行，也可通過面面平行來證明。 27.【2012高考真題湖北理19】（本小題滿分12分） 如圖1，，，過動點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）． （Ⅰ）當(dāng)?shù)拈L為多少時，三棱錐的體積最大； （Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積最大時，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在 棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大?。? D A B C A C D B 圖2 圖1 M E . · 第19題圖 【答案】（Ⅰ）解法1：在如圖1所示的△中，設(shè)，則． 由，知，△為等腰直角三角形，所以. 由折起前知，折起后（如圖2），，，且， 所以平面．又，所以．于是 ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立， 故當(dāng)，即時, 三棱錐的體積最大． 解法2： 同解法1，得． 令，由，且，解得． 當(dāng)時，；當(dāng)時，． 所以當(dāng)時，取得最大值． 故當(dāng)時, 三棱錐的體積最大． （Ⅱ）解法1：以為原點(diǎn)，建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系． 由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時，，． 于是可得，，，，，， 且． 設(shè)，則. 因?yàn)榈葍r于，即 ，故，. 所以當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個四等分點(diǎn)）時，． 設(shè)平面的一個法向量為，由 及， 得 可?。? 設(shè)與平面所成角的大小為，則由，，可得 ，即． C A D B 圖a E M x y z 圖b C A D B E F M N 圖c B D P C F N E B G M N E H 圖d 第19題解答圖 N 故與平面所成角的大小為 解法2：由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時，，． 如圖b，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，則∥. 由（Ⅰ）知平面，所以平面. 如圖c，延長至P點(diǎn)使得，連，，則四邊形為正方形， 所以. 取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，則∥， 所以. 因?yàn)槠矫?，又面，所? 又，所以面. 又面，所以. 因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，而點(diǎn)F是唯一的，所以點(diǎn)是唯一的. 即當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個四等分點(diǎn)），． 連接，，由計算得， 所以△與△是兩個共底邊的全等的等腰三角形， 如圖d所示，取的中點(diǎn)，連接，， 則平面．在平面中，過點(diǎn)作于， 則平面．故是與平面所成的角． 在△中，易得，所以△是正三角形， 故，即與平面所成角的大小為 28.【2012高考真題新課標(biāo)理19】（本小題滿分12分） 如圖，直三棱柱中，， 是棱的中點(diǎn)， （1）證明： （2）求二面角的大小. 【答案】（1）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接 ，面面面 得：點(diǎn)與點(diǎn)重合 且是二面角的平面角 設(shè)，則， 既二面角的大小為 29.【2012高考江蘇16】（14分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱上的點(diǎn)（點(diǎn) 不同于點(diǎn)），且為的中點(diǎn)． 求證：（1）平面平面； （2）直線平面． 【答案】證明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。 又∵平面，∴。 又∵平面，∴平面。 又∵平面，∴平面平面。 （2）∵，為的中點(diǎn)，∴。 又∵平面，且平面，∴。 又∵平面，，∴平面。 由（1）知，平面，∴∥。 又∵平面平面，∴直線平面 【考點(diǎn)】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系。 【解析】（1）要證平面平面，只要證平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和證得。 （2）要證直線平面，只要證∥平面上的即可。 30.【2012高考真題四川理19】(本小題滿分12分) 如圖，在三棱錐中，，，，平面平面。 （Ⅰ）求直線與平面所成角的大?。? （Ⅱ）求二面角的大小。 【答案】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，線面角的概念，二面角的概念等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，利用向量解決立體幾何問題的能力. 31.【2012高考真題福建理18】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點(diǎn). （Ⅰ）求證：B1E⊥AD1； （Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的長；若不存在，說明理由. （Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小為30°，求AB的長. 【答案】本題主要考查立體幾何中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及二面角的概念與求法等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、基本運(yùn)算能力，以及函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想. 32.【2012高考真題北京理16】（本小題共14分） 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如圖2. (I)求證：A1C⊥平面BCDE； (II)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大?。? (III)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由 【答案】解：（1）， 平面， 又平面， 又， 平面。 （2）如圖建系，則，，， ∴, 設(shè)平面法向量為 則 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴與平面所成角的大小。 （3）設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則 則， 設(shè)平面法向量為， 則 ∴ ∴。 假設(shè)平面與平面垂直， 則，∴，，， ∵，∴不存在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面垂直。 33.【2012高考真題浙江理20】(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)． (Ⅰ)證明：MN∥平面ABCD； (Ⅱ) 過點(diǎn)A作AQ⊥PC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值． 【命題立意】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，二面角所成角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力。 【答案】(Ⅰ)如圖連接BD． ∵M(jìn)，N分別為PB，PD的中點(diǎn)， ∴在PBD中，MN∥BD． 又MN平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD； (Ⅱ)如圖建系： A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)， N(，0，0)，C(，3，0)． 設(shè)Q(x，y，z)，則． ∵，∴． 由，得：． 即：． 對于平面AMN：設(shè)其法向量為． ∵． 則． ∴． 同理對于平面AMN得其法向量為． 記所求二面角A—MN—Q的平面角大小為， 則． ∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值為． 34.【2012高考真題重慶理19】（本小題滿分12分 如圖，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點(diǎn) （Ⅰ）求點(diǎn)C到平面的距離; （Ⅱ）若求二面角 的平面角的余弦值. 【答案】 【命題立意】本題考查立體幾何的相關(guān)知識，考查線面垂直關(guān)系、二面角的求法以及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用. 35.【2012高考真題江西理20】（本題滿分12分） 在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O。 （1）證明在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的長； （2）求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值。 【答案】 【點(diǎn)評】本題考查線面垂直，二面角、向量法在解決立體幾何問題中的應(yīng)用以及空間想象的能力. 高考中，立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直，平行有關(guān)的線面關(guān)系的證明；二、考查空間幾何體的體積與表面積；三、考查異面角，線面角，二面角等角度問題.前兩種考查多出現(xiàn)在第1問，第3種考查多出現(xiàn)在第2問；對于角度問題，一般有直接法與空間向量法兩種求解方法. 36.【2012高考真題安徽理18】（本小題滿分12分） 平面圖形如圖4所示，其中是矩形，，，。現(xiàn)將該平面圖形分別沿和折疊，使與所在平面都與平面垂直，再分別連接,得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題。 （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）求的長； （Ⅲ）求二面角的余弦值。 【答案】本題考查平面圖形與空間圖形的轉(zhuǎn)化，空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定?？臻g線段長度和空間角的余弦值的計算等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查空間想象能力，推理論證能力和求解能力。 【解析】(綜合法) （I）取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接， 則，面面面， 同理：面 得：共面， 又面。 （Ⅱ）延長到，使 ，得：， ，面面面面， 。 （Ⅲ）是二面角的平面角。 在中，， 在中，， 得：二面角的余弦值為。 37.【2012高考真題上海理19】（6+6=12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形， 底面，是的中點(diǎn)，已知，，，求： （1）三角形的面積； （2）異面直線與所成的角的大小。 【答案】 【解析】（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD， 又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥PD， 又∵，CD=2， ∴△PCD的面積為。 （2）解法一：取PB的中點(diǎn)F，連接EF,AF, 則EF∥BC，∴∠AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線 BC與AE所成的角。 在△ADF中，EF=、AF=,AE=2， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AEF=， ∴異面直線BC與AE所成的角大小為。 解法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系， 則B(2,0,0),C(2，,0),E(1，,1)， ∴=(1，,1)，=(0,,0), 設(shè)與的夾角為，則 =,, 又∵0＜≤，∴=。 【點(diǎn)評】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力．綜合考查空間中兩條異面直線所成的角的求解，同時考查空間幾何體的體積公式的運(yùn)用.本題源于《必修2》立體幾何章節(jié)復(fù)習(xí)題，復(fù)習(xí)時應(yīng)注重課本，容易出現(xiàn)找錯角的情況，要考慮全面，考查空間想象能力，屬于中檔題． 38.【2012高考真題全國卷理18】（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC. （Ⅰ）證明：PC⊥平面BED； （Ⅱ）設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小. 【答案】 39.【2012高考真題山東理18】（18）（本小題滿分12分） 在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，∥，平面. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 【答案】 解析：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD, 由余弦定理可知, 即,在中，∠DAB=60°，，則為直角三角形，且。又AE⊥BD，平面AED，平面AED，且，故BD⊥平面AED； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，設(shè)，則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，向量為平面的一個法向量. 設(shè)向量為平面的法向量，則,即， 取，則，則為平面的一個法向量. ，而二面角F-BD-C的平面角為銳角，則 二面角F-BD-C的余弦值為。 40.【2012高考真題湖南理18】（本小題滿分12分） 如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn). （Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE； （Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積. 【答案】解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，， Ｅ是ＣＤ的中點(diǎn)，所以 所以 而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE. （Ⅱ）過點(diǎn)Ｂ作 由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是為直線ＰＢ與平面PAE 所成的角，且. 由知，為直線與平面所成的角. 由題意，知 因?yàn)樗? 由所以四邊形是平行四邊形，故于是 在中，所以 　　　　　　　 于是 又梯形的面積為所以四棱錐的體積為 　　　　　　　　　 解法2：如圖（2），以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為： （Ⅰ）易知因?yàn)? 所以而是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以 (Ⅱ)由題設(shè)和（Ⅰ）知，分別是，的法向量，而PB與 所成的角和PB與所成的角相等，所以 由（Ⅰ）知，由故 解得. 又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為 . 41.【2012高考真題天津理17】（本小題滿分13分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）證明PC⊥AD； （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值； （Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長. 【答案】