高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修2能力強(qiáng)化提升：2-3-4 平面與平面垂直的性質(zhì)

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一、選擇題 1．已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，在平面AB1上任取一點(diǎn)M，作ME⊥AB于E，則(　　) A．ME⊥平面AC B．ME?平面AC C．ME∥平面AC D．以上都有可能 [答案]　A [解析]　由于平面AB1⊥平面AC，平面AB1∩平面AC＝AB，ME⊥AB，ME?平面AB1，所以ME⊥平面AC. 2．在空間中，下列命題正確的是(　　) A．若三條直線兩兩相交，則這三條直線確定一個(gè)平面 B．若直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行，則m∥α C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，則過(guò)α內(nèi)一點(diǎn)P與l垂直的直線垂直于平面β D．若直線a∥b，且直線l⊥a，則l⊥b [答案]　D [解析]　選項(xiàng)A中，若有3個(gè)交點(diǎn)，則確定一個(gè)平面，若三條直線交于一點(diǎn)，則不一定能確定一個(gè)平面，如正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD兩兩相交，但由AA1，AB，AD不能確定一個(gè)平面，所以A不正確；選項(xiàng)B中，缺少條件m是平面α外的一條直線，所以B不正確；選項(xiàng)C中，不滿足面面垂直的性質(zhì)定理的條件，必須是α內(nèi)垂直于l的直線，所以C不正確；由于兩條平行直線中的一條與第三條直線垂直，那么另一條也與第三條直線垂直，所以D正確． 3．給定下列四個(gè)命題： ①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行； ②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直； ③垂直于同一條直線的兩條直線相互平行； ④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直． 其中為真命題的是(　　) A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ [答案]　D 4．在空間，下列命題正確的是(　　) A．平行直線的平行投影重合 B．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行 C．垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行 D．垂直于同一平面的兩條直線平行 [答案]　D [解析]　當(dāng)兩平行直線都與投影面α垂直時(shí)，其在α內(nèi)的平行投影為兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)兩平行直線所在平面與投影面α相交但不垂直時(shí)，其在α內(nèi)的平行投影可平行，故A錯(cuò)；在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AA1與平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1與平面CDD1C1相交，故B錯(cuò)；同樣，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都與平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C錯(cuò)；由線面垂直的性質(zhì)定理知D正確． 5．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是(　　) A．若l⊥α，α⊥β，則l?β B．若l∥α，α∥β，則l?β C．若l⊥α，α∥β，則l⊥β D．若l∥α，α⊥β，則l⊥β [答案]　C [解析]　l⊥α，α⊥β?l∥β或l?β，A錯(cuò)； l∥α，α∥β?l∥β或l?β，B錯(cuò)； l⊥α，α∥β?l⊥β，C正確； 若l∥α，α⊥β，則l與β位置關(guān)系不確定，D錯(cuò)． 6．如圖所示，三棱錐P－ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點(diǎn)P，A，B是定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是(　　) A．一條線段 B．一條直線 C．一個(gè)圓 D．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) [答案]　D [解析]　∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，∴AC⊥平面PBC. 又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°. ∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點(diǎn)． 7．如圖所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A．直線AB上 B．直線BC上 C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部 [答案]　A [解析]　∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1， 又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC， ∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上，故選A. 8．在正四面體(所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐)P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC [答案]　C [解析]　∵D、F分別為AB、CA中點(diǎn)，∴DF∥BC. ∴BC∥平面PDF，故A正確． 又∵P－ABC為正四面體， ∴P在底面ABC內(nèi)的射影O在AE上． ∴PO⊥平面ABC. ∴PO⊥DF. 又∵E為BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC， ∴AE⊥DF. 又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正確． 又∵PO?面PAE，PO⊥平面ABC， ∴面PAE⊥面ABC，故D正確． ∴四個(gè)結(jié)論中不成立的是C. 二、填空題 9．如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)，則BE與平面PAD的位置關(guān)系為_(kāi)_______． [答案]　平行 [解析]　取PD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，在△PCD中，EF綊CD. 又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB， ∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴EB∥AF. 又∵EB?平面PAD，AF?平面PAD， ∴BE∥平面PAD. 10．如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，則三棱錐A－A′BB′的體積V＝________. [答案]　4 [解析]　∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′?α，AA′⊥A′B′， ∴AA′⊥β， ∴V＝S△A′BB′·AA′＝×(A′B′×BB′)×AA′＝××2×4×3＝4. 11．如圖所示，P是菱形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，且∠DAB＝60°，邊長(zhǎng)為a.側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB與平面AC所成的角為θ，則θ＝________. [答案]　45° [解析]　如圖所示，取AD的中點(diǎn)G，連接PG，BG，BD. ∵△PAD是等邊三角形， ∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG?平面PAD， ∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB與平面AC所成的角θ. 在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG， ∴∠PBG＝45°，即θ＝45°. 12．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足．設(shè)AK＝t，則t的取值范圍是________． [答案]　(，1) [解析]　如圖，過(guò)D作DG⊥AF， 垂足為G，連接GK， ∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB， ∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF. ∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK. 容易得到，當(dāng)F接近E點(diǎn)時(shí)，K接近AB的中點(diǎn)，當(dāng)F接近C點(diǎn)時(shí)，K接近AB的四等分點(diǎn)．所以t的取值范圍是(，1)． 三、解答題 13．把一副三角板如圖拼接，設(shè)BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使兩塊三角板所在的平面互相垂直．求證：平面ABD⊥平面ACD. [證明]　? ?平面ABD⊥平面ACD. 14．S為△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA＝SB＝SC，且∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°.求證：平面ASC⊥平面ABC. [解析]　如圖，設(shè)SA＝SB＝SC＝a. ∵∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°， ∴AC＝a，AB＝BC＝a， 則AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°. 取AC中點(diǎn)O，連接SO、BO.則SO⊥AC，BO⊥AC，∠SOB為二面角S－AC－B的平面角． ∵SO＝OB＝a，∴SO2＋OB2＝SB2， ∴∠SOB＝90°，∴平面ASC⊥平面ABC. 15．(2012·全國(guó)新課標(biāo)) 如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)． (1)證明：平面BDC⊥平面BDC1； (2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比． [分析]　本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計(jì)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力，是簡(jiǎn)單題． [解析]　(1)由題設(shè)知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵DC1?面ACC1A1，∴DC1⊥BC， 由題設(shè)知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC， 又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，∵DC1?平面BDC1， ∴平面BDC⊥平面BDC1； (2)設(shè)棱錐B－DACC1的體積為V1，AC＝1，由題意得，V1＝××1×1＝，由三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝1， ∴(V－V1)V1＝11， ∴平面BDC1分此棱柱為兩部分體積之比為11. 16．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)．求證： (1)DF⊥AP. (2)在線段AD上是否存在點(diǎn)G，使GF⊥平面PBC？若存在，說(shuō)明G點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由． [證明]　(1)取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)EF，則PA∥EF.設(shè)PD＝DC＝a，易求得DE＝a，F(xiàn)E＝PA＝a，DF＝PB＝a. 由于DE2＝EF2＋DF2，故DF⊥EF， 又EF∥PA，∴DF⊥PA. (2)在線段AD上存在點(diǎn)G，使GF⊥平面PBC，且G點(diǎn)是AD的中點(diǎn)． 取AD的中點(diǎn)G，連接PG、BG，則PG＝BG.又F為PB的中點(diǎn)，故GF⊥PB. ∵F為PB中點(diǎn)，∴F點(diǎn)在底面ABCD上的射影為正方形ABCD的中心O， ∴GO為GF在平面ABCD上的射影， ∵GO⊥BC，∴GF⊥BC， ∵BC、PB是平面PBC內(nèi)的兩條相交直線， ∴GF⊥平面PBC.