數(shù)學(xué)：第二章《圓錐曲線與方程》教案（1）（新人教A版選修1-1）

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圓錐曲線與方程 課 題：小結(jié)與復(fù)習(xí) 教學(xué)目的： 1. 橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)、焦距，橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓的畫法； 雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)、焦距，雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的畫法，等軸雙曲線；拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)、焦距，拋物線的幾何性質(zhì)，拋物線的畫法， 2. 結(jié)合教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動變化和對立統(tǒng)一的觀點(diǎn)的教育 教學(xué)重點(diǎn)：橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程和幾何性質(zhì)；坐標(biāo)法的應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn)：橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程；利用定義、方程和幾何性質(zhì)求有關(guān)焦點(diǎn)、焦距、準(zhǔn)線等. 授課類型：復(fù)習(xí)課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程： 一、課前預(yù)習(xí) 橢 圓 雙曲線 拋物線 定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 焦點(diǎn)坐標(biāo) 漸近線方程 二、復(fù)習(xí)引入： 名 稱 橢 圓 雙 曲 線 圖 象 定 義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于）的動點(diǎn)的軌跡叫橢圓即 當(dāng)2﹥2時，軌跡是橢圓， 當(dāng)2=2時，軌跡是一條線段 當(dāng)2﹤2時，軌跡不存在 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點(diǎn)的軌跡叫雙曲線即 當(dāng)2﹤2時，軌跡是雙曲線 當(dāng)2=2時，軌跡是兩條射線 當(dāng)2﹥2時，軌跡不存在 標(biāo)準(zhǔn)方 程 焦點(diǎn)在軸上時： 焦點(diǎn)在軸上時： 注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上 焦點(diǎn)在軸上時： 焦點(diǎn)在軸上時： 常數(shù)的關(guān) 系 ，， 最大， ， 最大，可以 漸近線 焦點(diǎn)在軸上時： 焦點(diǎn)在軸上時： 拋物線： 圖形 方程 焦點(diǎn) 三、章節(jié)知識點(diǎn)回顧： 橢圓、雙曲線、拋物線分別是滿足某些條件的點(diǎn)的軌跡，由這些條件可以求出它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，并通過分析標(biāo)準(zhǔn)方程研究這三種曲線的幾何性質(zhì) 1．橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離之和等于定長（定長大于兩定點(diǎn)間的距離）的動點(diǎn)的軌跡 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：， （） 3．橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程() (1)范圍: ,，橢圓落在組成的矩形中． (2)對稱性:圖象關(guān)于軸對稱．圖象關(guān)于軸對稱．圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱原點(diǎn)叫橢圓的對稱中心，簡稱中心．軸、軸叫橢圓的對稱軸．從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距 （3）頂點(diǎn)：橢圓和對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn) 橢圓共有四個頂點(diǎn)： ，加兩焦點(diǎn)共有六個特殊點(diǎn)叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸．長分別為 分別為橢圓的長半軸長和短半軸長橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對稱軸的交點(diǎn) (4)離心率: 橢圓焦距與長軸長之比 橢圓形狀與的關(guān)系：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在時的特例橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在時的特例 4．雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點(diǎn)的軌跡叫雙曲線 即 這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距 在同樣的差下，兩定點(diǎn)間距離較長，則所畫出的雙曲線的開口較開闊（兩條平行線）兩定點(diǎn)間距離較短（大于定差），則所畫出的雙曲線的開口較狹窄（兩條射線）雙曲線的形狀與兩定點(diǎn)間距離、定差有關(guān) 5．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及特點(diǎn)： （1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)y軸上兩種： 焦點(diǎn)在軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(,)； 焦點(diǎn)在軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(,) 6.有關(guān)系式成立，且 其中a與b的大小關(guān)系:可以為 7焦點(diǎn)的位置:從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點(diǎn)位置可由方程中含字母、項(xiàng)的分母的大小來確定，分母大的項(xiàng)對應(yīng)的字母所在的軸就是焦點(diǎn)所在的軸而雙曲線是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來判斷焦點(diǎn)所在的位置，即項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在軸上；項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在軸上 8．雙曲線的幾何性質(zhì)： （1）范圍、對稱性 由標(biāo)準(zhǔn)方程，從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心 （2）頂點(diǎn) 頂點(diǎn)：，特殊點(diǎn)： 實(shí)軸：長為2a, a叫做半實(shí)軸長虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長 雙曲線只有兩個頂點(diǎn)，而橢圓則有四個頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異 （3）漸近線 過雙曲線的漸近線（） （4）離心率 雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比，叫做雙曲線的離心率范圍： 雙曲線形狀與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊 9．等軸雙曲線 定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線 等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率 10．共漸近線的雙曲線系 如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗? 11．共軛雙曲線 以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線 區(qū)別：三量a,b,c中a,b不同（互換）c相同共用一對漸近線 雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?1 12．雙曲線的焦點(diǎn)弦： 定義：過焦點(diǎn)的直線割雙曲線所成的相交弦 焦點(diǎn)弦公式： 當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時， 過左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時： 過右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時： 當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時， 過左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時： 過右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時： 13．雙曲線的通徑： 定義：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的相交弦 14 拋物線定義： 平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線 15．拋物線的準(zhǔn)線方程： (1), 焦點(diǎn):，準(zhǔn)線： (2), 焦點(diǎn):，準(zhǔn)線： (3), 焦點(diǎn):，準(zhǔn)線： (4) , 焦點(diǎn):，準(zhǔn)線： 相同點(diǎn)：(1)拋物線都過原點(diǎn)；(2)對稱軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線都與對稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱 它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對值的，即 不同點(diǎn)：(1)圖形關(guān)于X軸對稱時，X為一次項(xiàng)，Y為二次項(xiàng)，方程右端為、左端為；圖形關(guān)于Y軸對稱時，X為二次項(xiàng)，Y為一次項(xiàng)，方程右端為，左端為 （2）開口方向在X軸（或Y軸）正向時，焦點(diǎn)在X軸（或Y軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在X軸（或Y軸）負(fù)向時，焦點(diǎn)在X軸（或Y軸）負(fù)半軸時，方程右端取負(fù)號 16．拋物線的幾何性質(zhì) （1）范圍 因?yàn)閜＞0，由方程可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸． （2）對稱性 以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸． （3）頂點(diǎn) 拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．在方程中，當(dāng)y=0時，x=0，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)． （4）離心率 拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1． 17拋物線的焦半徑公式： 拋物線， 拋物線， 拋物線， 拋物線， 18．直線與拋物線： （1）位置關(guān)系： 相交（兩個公共點(diǎn)或一個公共點(diǎn)）；相離（無公共點(diǎn)）；相切（一個公共點(diǎn)） 將代入，消去y，得到 關(guān)于x的二次方程 （*） 若，相交；，相切；，相離 綜上，得： 聯(lián)立，得關(guān)于x的方程 當(dāng)（二次項(xiàng)系數(shù)為零），唯一一個公共點(diǎn)（交點(diǎn)） 當(dāng)，則 若，兩個公共點(diǎn)（交點(diǎn)） ，一個公共點(diǎn)（切點(diǎn)） ，無公共點(diǎn) （相離） （2）相交弦長： 弦長公式：， （3）焦點(diǎn)弦公式： 拋物線， 拋物線， 拋物線， 拋物線， （4）通徑： 定義：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的相交弦 通徑： （5）若已知過焦點(diǎn)的直線傾斜角 則 （6）常用結(jié)論： 和 和 四、【例題】 1.動點(diǎn)A到定點(diǎn)F1(0, －2)和F2(0, 2)的距離的和為4，則動點(diǎn)A的軌跡為 ( B ) A. 橢圓 B. 線段 C. 無圖形 D. 兩條射線； 2.動點(diǎn)P到定點(diǎn)F1(1, 0)的距離比它到定點(diǎn)F2(3, 0)的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡是 ( C ) A．雙曲線 B．雙曲線的一支　 　C．一條射線 D．兩條射線 3．人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個焦點(diǎn)的橢圓．設(shè)地球半徑為R，衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別為 r1、r2 ，求衛(wèi)星軌道的離心率． 4．兩定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－1, 0)，B(2, 0)，動點(diǎn)M滿足∠MBA＝2∠MAB，求動點(diǎn)M的軌跡方程． 五【課后作業(yè)】 六、板書設(shè)計(jì)（略） 七、課后記： - 8 -