高一數(shù)學（人教A版）必修2能力強化提升：2-3-3 直線與平面垂直的性質(zhì)

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一、選擇題 1．如果直線l與平面α不垂直，那么在平面α內(nèi)(　　) A．不存在與l垂直的直線 B．存在一條與l垂直的直線 C．存在無數(shù)條與l垂直的直線 D．任意一條都與l垂直 [答案]　C [解析]　若l?α，顯然在α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l垂直；若l∥α，過l作平面β∩α＝l′，則l∥l′， ∵在α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l′垂直，從而在α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l垂直； 若l與α斜交，設(shè)交點為A，在l上任取一點P， 過P作PQ⊥α，垂足為Q，在α內(nèi)存在無數(shù)條直線與AQ垂直，從而存在無數(shù)條直線與直線PA(即l)垂直． 2．過一點和已知平面垂直的直線條數(shù)為(　　) A．1條　　　　　　　 B．2條 C．無數(shù)條 D．不能確定 [答案]　A [解析]　已知：平面α和一點P. 求證：過點P與α垂直的直線只有一條． 證明：不論點P在平面α外或平面α內(nèi)，設(shè)PA⊥α，垂足為A(或P)．如果過點P還有一條直線PB⊥α，設(shè)PA、PB確定的平面為β，且α∩β＝a，于是在平面β內(nèi)過點P有兩條直線PA、PB垂直于交線a，這是不可能的．所以過點P與α垂直的直線只有一條． 3．若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面(　　) A．有且只有一個 B．可能存在也可能不存在 C．有無數(shù)多個 D．一定不存在 [答案]　B [解析]　當a⊥b時，有且只有一個． 當a與b不垂直時，不存在． 4．已知一平面平行于兩條異面直線，一直線與兩異面直線都垂直，那么這個平面與這條直線的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．垂直 C．斜交 D．不能確定 [答案]　B [解析]　設(shè)a，b為異面直線，a∥平面α，b∥α，直線l⊥a，l⊥b. 過a作平面β∩α＝a′，則a∥a′，∴l(xiāng)⊥a′. 同理過b作平面γ∩α＝b′，則l⊥b′， ∵a，b異面，∴a′與b′相交，∴l(xiāng)⊥α. 5．(2012－2013·杭州高二檢測)如下圖，設(shè)平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別是B、D，如果增加一個條件，就能推出BD⊥EF，這個條件不可能是下面四個選項中的(　　) A．AC⊥β B．AC⊥EF C．AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上 D．AC與α、β所成的角相等 [答案]　D 6．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，給定下列四個命題，其中真命題的是(　　) ①若m⊥n，n?α，則m⊥α； ②若a⊥α，a?β，則α⊥β； ③若m⊥α，n⊥α，則m∥n； ④若m?α，n?β，α∥β，則m∥n. A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ [答案]　B [解析]?、僦?，直線m垂直于平面α內(nèi)的一條直線n，則直線m與平面α不一定垂直，所以①不是真命題；②是平面與平面垂直的判定定理，所以②是真命題．③是直線與平面垂直的性質(zhì)定理，所以③是真命題；④中m與n可能是異面直線，所以④不正確． 7．如下圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中點，則直線CE垂直于(　　) A．AC B．BD C．A1D D．A1D1 [答案]　B [解析]　易得BD⊥面ACC1A1，又CE?面ACC1A1， ∴CE⊥BD. 8．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是(　　) A．線段B1C B．線段BC1 C．BB1中點與CC1中點連成的線段 D．BC中點與B1C1中點連成的線段 [答案]　A [解析]　∵DD1⊥平面ABCD， ∴D1D⊥AC， 又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1， ∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C. 又∵B1C∩AC＝C， ∴BD1⊥平面AB1C. 而AP⊥BD1，∴AP?平面AB1C. 又P∈平面BB1C1C，∴P點軌跡為平面AB1C與平面BB1C1C的交線B1C.故選A. 二、填空題 9．已知直線m?平面α，直線n?平面α，m∩n＝M，直線a⊥m，a⊥n，直線b⊥m，b⊥n，則直線a，b的位置關(guān)系是________． [答案]　平行 [解析]　由于直線a垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線m，n，則a⊥α.同理，b⊥α，則a∥b. 10．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如右圖所示，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________. [答案]　6 [解析]　∵AF⊥平面AC，DE⊥平面AC，∴AF∥DE. 又∵AF＝DE，∴四邊形ADEF是平行四邊形． ∴EF＝AD＝6. 11．如圖，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，則圖中直角三角形的個數(shù)是________． [答案]　6 [解析]　由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 又∵BC⊥AC，AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC. ∵EF∥PA，PA⊥平面ABC， ∴EF⊥平面ABC， ∴EF⊥BE，EF⊥EC. ∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均為直角三角形． 12．△ABC的三個頂點A、B、C到平面α的距離分別為2 cm、3 cm、4cm，且它們在α的同側(cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為________． [答案]　3 cm [解析]　如圖，設(shè)A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′， △ABC的重心為G，連接CG并延長交AB于中點E， 又設(shè)E、G在平面α上的射影分別為E′、G′， 則E′∈A′B′，G′∈C′E′，EE′＝(A′A＋B′B)＝，CC′＝4，CGGE＝21，在直角梯形EE′C′C中，可求得GG′＝3. 三、解答題 13．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點． 求證：平面BCE⊥平面CDE. [分析]　由題意易知AF⊥平面CDE，只需在平面BCE中找一直線與AF平行即可． [證明]　取CE的中點G，連接FG，BG，AF. ∵F為CD的中點， ∴GF∥DE，且GF＝DE. ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE.則GF∥AB. 又∵AB＝DE，∴GF＝AB. 則四邊形GFAB為平行四邊形．于是AF∥BG. ∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點， ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF. 又∵CD∩DE＝D，CD，DE?平面CDE， ∴AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE. 規(guī)律總結(jié)：此類問題是證明兩個平面垂直比較難的問題．證明時要綜合題目中的條件，利用條件和已知定理來證．或者從結(jié)論出發(fā)逆推分析． 14．在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于E，l⊥平面PCD.求證：l∥AE. [分析]　轉(zhuǎn)化為證明AE⊥平面PCD，進而轉(zhuǎn)化為證明AE垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線PD和CD. [證明]　∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥CD. 又四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. 又AE?平面PAD，∴AE⊥DC. 又AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD. 又l⊥平面PCD，∴l(xiāng)∥AE. 15．如下圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1. [分析]　轉(zhuǎn)化為證明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C. [證明]　連接AB1，B1C，BD，B1D1，如圖所示． ∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，BD∩DD1＝D， ∴AC⊥平面BDD1B1. ∴AC⊥BD1， 同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C， ∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1. 規(guī)律總結(jié)：當題中垂直條件很多，但又需證兩直線的平行關(guān)系時，就要考慮直線與平面垂直的性質(zhì)定理，從而完成垂直向平行的轉(zhuǎn)化． 16．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點． (1)求證：MN⊥AB； (2)若PA＝AD，求證：MN⊥平面PCD. [證明]　(1)取CD的中點E，連接EM、EN， 則CD⊥EM，且EN∥PD. ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， 又AD⊥DC，PA∩AD＝A， ∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥PD，從而CD⊥EN. 又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE. 因此，MN⊥CD，而CD∥AB， 故MN⊥AB. (2)在Rt△PAD中有PA＝AD， 取PD的中點K，連接AK，KN， 則KN綊DC綊AM，且AK⊥PD. ∴四邊形AMNK為平行四邊形，從而MN∥AK. 因此MN⊥PD.由(1)知MN⊥DC，又PD∩DC＝D， ∴MN⊥平面PCD.