高一數(shù)學（人教A版）必修2能力強化提升：2-2-4 平面與平面平行的性質

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一、選擇題 1．平面α∥平面β，直線l∥α，則(　　) A．l∥β B．l?β C．l∥β或l?β D．l，β相交 [答案]　C [解析]　假設l與β相交，又α∥β，則l與α相交，又l∥α，則假設不成立，則l∥β或l?β. 2．過平行六面體ABCD－A1B1C1D1任意兩條棱的中點作直線，其中與平面DBB1D1平行的直線共有(　　) A．4條 B．6條 C．8條 D．12條 [答案]　D [解析]　如圖，在A1A和四邊形BB1D1D之間的四條棱的中點F、E、G、H組成的平面中，有EF、FG、GH、HE、EG、HF共6條直線與平面BB1D1D平行，另一側還有6條，共12條．故選D. 3．有一正方體木塊如圖所示，點P在平面A′C′內(nèi)，棱BC平行于平面A′C′，要經(jīng)過P和棱BC將木料鋸開，鋸開的面必須平整，有N種鋸法，則N為(　　) A．0 B．1 C．2 D．無數(shù) [答案]　B [解析]　∵BC∥平面A′C′，∴BC∥B′C′，在平面A′C′上過P作EF∥B′C′，則EF∥BC，∴沿EF、BC所確定的平面鋸開即可．又由于此平面唯一確定，∴只有一種方法，故選B. 4．已知a，b表示直線，α，β，γ表示平面，則下列推理正確的是(　　) A．α∩β＝a，b?α?a∥b B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β C．a(chǎn)∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b [答案]　D [解析]　選項A中，α∩β＝a，b?α，則a，b可能平行也可能相交，故A不正確； 選項B中，α∩β＝a，a∥b，則可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β內(nèi)，故B不正確； 選項C中，a∥β，b∥β，a?α，b?α，根據(jù)面面平行的判定定理，再加上條件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正確； 選項D為面面平行性質定理的符號語言，故選D. 5．設平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中點，當點A、B分別在平面α，β內(nèi)運動時，所有的動點C(　　) A．不共面 B．當且僅當點A、B分別在兩條直線上移動時才共面 C．當且僅當點A、B分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面 D．無論點A，B如何移動都共面 [答案]　D 6．已知兩條直線m，n兩個平面α，β，給出下面四個命題： ①α∩β＝m，n?α?m∥n或者m，n相交； ②α∥β，m?α，n?β?m∥n； ③m∥n，m∥α?n∥α； ④α∩β＝m，m∥n?n∥β且n∥α. 其中正確命題的序號是(　　) A．① B．①④ C．④ D．③④ [答案]　A 7．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別是AC1、CB1的中點，P是C1B1的中點，則與平面PEF平行的三棱柱的棱的條數(shù)是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [答案]　C 8．平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分別在α、β內(nèi)，線段AA′，BB′，CC′共點于O，O在α、β之間．若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OAOA′＝32，則△A′B′C′的面積為(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　如圖∵α∥β， ∴BC∥B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′， 且由＝＝知相似比為， 又由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，知S△ABC＝AB·CD＝AB·(AC·sin60°)＝，∴S△A′B′C′＝. 二、填空題 9．如右圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內(nèi)的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是________． [答案]　平行四邊形 [解析]　∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB∥A1B1，同理可證CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可證AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形． 10．(2012－2013·東莞模擬)如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________． [答案]　平行四邊形 [解析]　∵平面ABFE∥平面CDHG， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF， 平面EFGH∩平面CDHG＝HG， ∴EF∥HG. 同理EH∥FG， ∴四邊形EFGH的形狀是平行四邊形． 11．已知平面α∥平面β，點A，C∈α，點B，D∈β，直線AB，CD交于點S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34. (1)若點S在平面α，β之間，則SC＝________； (2)若點S不在平面α，β之間，則SC＝________. [答案]　(1)16　(2)272 [解析]　(1)如圖a所示，因為AB∩CD＝S，所以AB，CD確定一個平面，設為γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. 因為α∥β，所以AC∥BD.于是＝，即＝. 所以SC＝＝＝16. (2)如圖b所示，同理知AC∥BD，則＝， 即＝，解得SC＝272. 12．如圖，平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線l、m分別與平面α、β、γ相交于點A、B、C和點D、E、F.已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB:BC＝1:3，則AB、BC、EF的長分別為______、______、______. [答案]　cm　cm　15cm [解析]　容易證明＝(1) ＝(2) 由(1)得＝，∴EF＝15，∴DF＝DE＋EF＝20， 代入(2)得，＝，∴AB＝， ∴BC＝AC－AB＝15－＝， ∴AB、BC、EF的長分別為cm，cm,15cm. 三、解答題 13．如圖所示，P是△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若＝，求的值． [分析]　由面面平行可得線線平行，再由等角定理可得對應角相等，從而三角形相似，利用相似三角形的比例關系找到面積比． [解析]　∵平面α∥平面ABC， 平面PAB∩平面α＝A′B′， 平面PAB∩平面ABC＝AB， ∴A′B′∥AB.同理可證B′C′∥BC，A′C′∥AC. ∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC，∠A′C′B′＝∠ACB， ∴△A′B′C′∽△ABC. 又∵PA′:A′A＝2:3，∴PA′:PA＝2:5. ∴A′B′:AB＝2:5. ∴S△A′B′C′S△ABC＝425，即＝. 14．如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E、E1分別是棱AD，AA1的中點．設F是棱AB的中點，證明：直線EE1∥平面FCC1. [證明]　因為F為AB的中點， CD＝2，AB＝4，AB∥CD， 所以CD綊AF， 因此四邊形AFCD為平行四邊形， 所以AD∥FC. 又CC1∥DD1，F(xiàn)C∩CC1＝C， FC?平面FCC1，CC1?平面FCC1， AD∩DD1＝D，AD?平面ADD1A1， DD1?平面ADD1A1， 所以平面ADD1A1∥平面FCC1. 又EE1?平面ADD1A1， EE1?平面FCC1， 所以EE1∥平面FCC1. 15．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，點E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC＝2FB＝2.當點M在何位置時，BM∥平面AEF? [解析]　如圖，取EC的中點P，AC的中點Q，連接PQ，PB，BQ，則PQ∥AE. ∵EC＝2FB＝2，∴PE綊BF， ∴四邊形BFEP為平行四邊形， ∴PB∥EF. 又AE，EF?平面AEF，PQ，PB?平面AEF， ∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF. 又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF. 又BQ?平面PBQ， ∴BQ∥平面AEF. 故點Q即為所求的點M，即點M為AC的中點時，BM∥平面AEF. 16．如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，E、F分別為PC、PD的中點，在底面ABCD內(nèi)是否存在點Q，使平面EFQ∥平面PAB？若存在，確定點Q的位置；若不存在，說明理由． [解析]　取AD、BC的中點G、H，連接FG、HE. ∵F、G為DP、DA的中點，∴FG∥PA. ∵FG?平面PAB，PA?平面PAB，∴FG∥平面PAB. ∵AB∥CD，EF∥CD，∴EF∥AB. 而EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB. ∵EF∩FG＝F，∴平面EFG∥平面PAB. 又GH∥CD，∴GH∥EF.∴平面EFG即平面EFGH. ∴平面EFGH∥平面PAB. 又點Q∈平面ABCD， ∴點Q∈(平面EFGH∩平面ABCD)． ∴點Q∈GH.∴點Q在底面ABCD的中位線GH上．