2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個重要的不等式 1.2 一般形式的柯西不等式課件 北師大版選修4-5.ppt

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1.2一般形式的柯西不等式,第二章1柯西不等式,,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握三維形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，體會從特殊到一般的思維過程.3.會用三維形式及一般形式的柯西不等式解決一些特殊形式的問題.,,,問題導(dǎo)學(xué),達標(biāo)檢測,,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識點一三維形式的柯西不等式,思考1類比平面向量，在空間向量中，如何用|α||β|≥|αβ|推導(dǎo)三維形式的柯西不等式？,答案設(shè)α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，,∵|α||β|≥|αβ|，,思考2三維形式的柯西不等式中，等號成立的條件是什么？,答案當(dāng)且僅當(dāng)α，β共線時，即β＝0或存在實數(shù)k，使a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3時，等號成立.,梳理三維形式的柯西不等式,(a1b1＋a2b2＋a3b3)2,知識點二一般形式的柯西不等式,1.一般形式的柯西不等式,(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2,2.柯西不等式等號成立的條件當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個實數(shù)k，使得________(i＝1,2，…，n)時等號成立.當(dāng)向量(a1，a2，…，an)與向量(b1，b2，…，bn)共線時，等號成立.,ai＝kbi,題型探究,類型一利用柯西不等式證明不等式,命題角度1三維形式的柯西不等式的應(yīng)用例1設(shè)a，b，c為正數(shù)，且不全相等.,證明,因為題設(shè)中a，b，c不全相等，故①中等號不成立，,反思與感悟有些問題一般不具備直接應(yīng)用柯西不等式的條件，可以通過：(1)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以巧拆常數(shù).(2)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以重新安排各項的次序.(3)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以改變式子的結(jié)構(gòu)，從而達到使用柯西不等式的目的.(4)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以添項.,證明由柯西不等式知，,證明,∴原不等式成立.,命題角度2一般形式的柯西不等式的應(yīng)用,證明,反思與感悟一般形式的柯西不等式看著往往感覺比較復(fù)雜，這時一定要注意式子的結(jié)構(gòu)特征，一邊一定要出現(xiàn)“方、和、積”的形式.,跟蹤訓(xùn)練2已知a1，a2，…，an∈R＋，且a1＋a2＋…＋an＝1，求證：,證明,＝(a1＋a2＋…＋an)2＝1，,類型二利用柯西不等式求函數(shù)的最值,例3(1)若實數(shù)x，y，z滿足x＋2y＋3z＝a(a為常數(shù))，則x2＋y2＋z2的最小值為_____.,答案,解析,即14(x2＋y2＋z2)≥a2，,解∵x＋y＋z＝1，,解答,＝(1＋2＋3)2＝36.,反思與感悟利用柯西不等式求最值時，關(guān)鍵是對原目標(biāo)函數(shù)進行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.同時，要注意等號成立的條件.,跟蹤訓(xùn)練3已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為4.(1)求a＋b＋c的值；,解答,解因為f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，當(dāng)且僅當(dāng)－a≤x≤b時，等號成立.又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值為a＋b＋c，又已知f(x)的最小值為4，所以a＋b＋c＝4.,解由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得,解答,達標(biāo)檢測,1,2,4,3,答案,解析,√,1,2,4,3,∴a＋2b＋3c的最小值為9.,答案,解析,√,1,2,4,3,答案,解析,16,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝d時取等號.,1,2,4,3,證明,規(guī)律與方法,2.要求ax＋by＋z的最大值，利用柯西不等式(ax＋by＋z)2≤(a2＋b2＋12)(x2＋y2＋z2)的形式，再結(jié)合已知條件進行配湊，是常見的變形技巧.對于許多不等式問題，用柯西不等式來解往往是簡明的，正確理解柯西不等式，掌握它的結(jié)構(gòu)特點，就能更靈活地應(yīng)用它.,本課結(jié)束,,