機(jī)械臂運動路徑設(shè)計分析

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BatchDoc Word文檔批量處理工具 機(jī)械臂運動路徑設(shè)計分析 摘要 本文探討了六自由度機(jī)械臂從一點到另一點沿任意軌跡移動路徑、一點到另一點沿著給定軌跡移動路徑、以及無碰撞路徑規(guī)劃問題，并討論了設(shè)計參數(shù)對機(jī)械臂靈活性和使用范圍的影響，同時給出了建議。 問題一：（1）首先確定初始坐標(biāo)均為零時機(jī)械臂姿態(tài)，建立多級坐標(biāo)系，利用空間解析幾何的變換基本原理及相對坐標(biāo)系的齊次坐標(biāo)變換的矩陣解析方法，來建立機(jī)器人的運動系統(tǒng)的多級變換方程。通過逆運動學(xué)解法和構(gòu)建規(guī)劃，來求優(yōu)化指令 （2）假定機(jī)械臂初始姿態(tài)為Φ0，曲線離散化，每個離散點作為末端位置，通過得到的相鄰兩點的姿態(tài)，利用（1）中算法計算所有相鄰兩點間的增量指令，將滿足精度要求的指令序列記錄下來。 （3）通過將障礙物理想化為球體，將躲避問題就轉(zhuǎn)化成保證機(jī)械手臂上的點與障礙球球心距離始終大于r的問題。進(jìn)而通過迭代法和指令檢驗法，剔除不符合要求的指令，從而實現(xiàn)避障的目的 問題二：將問題二中的實例應(yīng)用到問題一中的相對應(yīng)的算法中，部分結(jié)果見附錄 問題三：靈活性與適用范圍相互制約，只能根據(jù)權(quán)重求得較優(yōu)連桿長度。 關(guān)鍵詞：多級坐標(biāo)變換 逆運動學(xué)解法 優(yōu)化 指令檢驗 一、問題重述 1.1 問題背景 某型號機(jī)器人（圖示和簡化圖略）一共有6個自由度，分別由六個旋轉(zhuǎn)軸（關(guān)節(jié)）實現(xiàn)，使機(jī)器人的末端可以靈活地在三維空間中運動。機(jī)器人關(guān)于六個自由度的每一個組合，表示機(jī)械臂的一個姿態(tài)，顯然每個姿態(tài)確定頂端指尖的空間位置X：。假定機(jī)器人控制系統(tǒng)只能夠接收改變各個關(guān)節(jié)的姿態(tài)的關(guān)于連桿角度的增量指令（機(jī)器指令），使得指尖（指尖具有夾工具、焊接、擰螺絲等多種功能，不過在這里不要求考慮這方面的控制細(xì)節(jié)）移動到空間點X′，其中各個增量只能取到-2, -1.9, -1.8, ┅，1.8, 1.9, 2這41個離散值（即精度為0.1，絕對值不超過2）。通過一系列的指令序列可以將指尖依次到達(dá)位置X0，X1，┅，Xn，則稱X0，X1，┅，Xn為從指尖初始位置X0到達(dá)目標(biāo)位置Xn的一條路徑（運動軌跡）。根據(jù)具體的目標(biāo)和約束條件計算出合理、便捷、有效的指令序列是機(jī)器人控制中的一個重要問題。假設(shè)機(jī)器人的初始位置在y-z平面上，約定直角坐標(biāo)系的原點設(shè)在圖示的A點，z軸取為AB方向，x軸垂直紙面而y軸則在基座所固定的水平臺面上 1.2 目標(biāo)任務(wù) 問題一：設(shè)計一個通用的算法，用來計算執(zhí)行下面指定動作所要求的指令序列，并要求對算法的適用范圍、計算效率以及近似算法所造成的誤差和增量離散取值所造成的誤差大小進(jìn)行討論（不考慮其他原因造成的誤差）： （1）已知初始姿態(tài)Φ0和一個可達(dá)目標(biāo)點的空間位置（Ox, Oy, Oz），計算指尖到達(dá)目標(biāo)點的指令序列。 （2）要求指尖沿著預(yù)先指定的一條空間曲線x = x(s), y = y(s), z = z(s), a ≦ s ≦b 移動，計算滿足要求的指令序列。 （3）在第①個問題中，假設(shè)在初始位置與目標(biāo)位置之間的區(qū)域中有若干個已知大小、形狀、方向和位置的障礙物，要求機(jī)械臂在運動中始終不能與障礙物相碰，否則會損壞機(jī)器。這個問題稱機(jī)械臂避碰問題，要求機(jī)械臂末端在誤差范圍內(nèi)到達(dá)目標(biāo)點并且整個機(jī)械臂不碰到障礙物（機(jī)械臂連桿的粗細(xì)自己設(shè)定）。 問題二：應(yīng)用你的算法就下面具體的數(shù)據(jù)給出計算結(jié)果，并將計算結(jié)果以三組六維的指令序列（每行6個數(shù)據(jù)）形式存放在Excel文件里，文件名定為answer1.xls，answer2.xls和answer3.xls。 假設(shè)在機(jī)械臂的旁邊有一個待加工的中空圓臺形工件，上部開口。工件高180mm，下底外半徑168mm，上底外半徑96mm，壁厚8mm。豎立地固定在x－y平面的操作臺上，底部的中心在 (210, 0, 0)。 ①．要求機(jī)械臂（指尖）從初始位置移動到工具箱所在位置的 (20,－200, 120) 處，以夾取要用的工具。 ②．如果圓臺形工件外表面與平面x =2z的交線是一條裂紋需要焊接，請你給出機(jī)械臂指尖繞這條曲線一周的指令序列。 ③．有一項任務(wù)是在工件內(nèi)壁點焊四個小零件，它們在內(nèi)表面上的位置到x-y平面的投影為（320,-104）、（120,106）、（190,-125）和（255,88）。要求機(jī)械臂從圓臺的上部開口處伸進(jìn)去到達(dá)這些點進(jìn)行加工，為簡捷起見，不妨不計焊條等的長度，只考慮指尖的軌跡 問題三：制造廠家希望通過修改各條連桿的相對長度以及各關(guān)節(jié)最大旋轉(zhuǎn)角度等設(shè)計參數(shù)提高機(jī)械臂的靈活性和適用范圍。請根據(jù)你們的計算模型給他們提供合理的建議。 二、問題分析 機(jī)械臂運動路徑設(shè)計問題主要涉及到相對坐標(biāo)系坐標(biāo)變換、機(jī)器人正運動學(xué)分析、逆運動學(xué)求解、優(yōu)化以及機(jī)器人避碰問題。 1．運動方程的建立 從機(jī)構(gòu)學(xué)觀點來看，機(jī)器人屬于空間機(jī)構(gòu)范疇。桿件每次轉(zhuǎn)動因此，采用空間解析幾何的變換基本原理及坐標(biāo)變換的矩陣解析方法，來建立機(jī)器人的運動系統(tǒng)的多級變換方程。 由于旋轉(zhuǎn)軸涉及到平行連桿和垂直連桿兩類，因此對于各類旋轉(zhuǎn)變換，所使用的變換矩陣也不相同。 同時，此題中涉及的機(jī)器人有6個自由度，則從工件的坐標(biāo)位置到固定坐標(biāo)系的變換要經(jīng)過多級坐標(biāo)變換。采用多級坐標(biāo)變換的方法。 由上述三點，便可建立機(jī)器人運動系統(tǒng)的坐標(biāo)變換關(guān)系式。 2．尖端軌跡曲線模型的建立 對于已給定一條空間曲線x=(s),y=(y),z=(z),可將其看成一個點的集合。因此機(jī)械臂實現(xiàn)一個空間軌跡的過程是實現(xiàn)軌跡離散的過程。如果這些離散點間距很大，機(jī)械臂軌跡與要求的軌跡就有較大誤差。只有這些離散點彼此很接近，才有可能使機(jī)械臂的軌跡以滿足要求精確度逼近要求的軌跡。連續(xù)軌跡的控制實際上就是在多次執(zhí)行離散點間的點位控制，離散點點越密集越能逼近要求的運動曲線 3．避碰問題 假設(shè)空間障礙物為半徑為r的球體，則這些球體空間便形成了機(jī)械手臂的約束。而躲避問題就轉(zhuǎn)化成保證機(jī)械手臂上的點與障礙球球心距離始終大于r的問題。根據(jù)運動規(guī)律，不難知道手臂相對于初始位置的姿態(tài)決定于之前執(zhí)行的所有指令的和。已知連桿上的點L在其所在的相對坐標(biāo)系中的坐標(biāo)及轉(zhuǎn)動的指令，根據(jù)齊次坐標(biāo)變換矩陣就可得到L在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，然后可計算距離。所以 可以用問題1-1算法產(chǎn)生點到點的指令，可以利用迭代法從初始位置開始提前檢驗每個指令，不滿足要求的無法執(zhí)行。 4.自由度分析： 由題中指出的：指尖———E點，具有夾工具、焊接、擰螺絲等多種功能，不過在這里不要求考慮這方面的控制細(xì)節(jié)。則將情況理想化，不考慮第6個自由度對運動的影響。 三、模型的假設(shè) 1.各關(guān)節(jié)連桿在輸入指令后同時開始轉(zhuǎn)動，速度為低速，各桿件之間無摩擦， 臂各旋轉(zhuǎn)軸最大運動速度相同 2.在軌跡規(guī)劃中不考慮機(jī)械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的限制。 3.不考慮機(jī)械臂結(jié)構(gòu)和裝配產(chǎn)生的誤差。 4.連桿為剛體，不會發(fā)生形變 5.設(shè)機(jī)器人的初始位置是在一個平面上的（y-z 平面）。 6.關(guān)節(jié)視為質(zhì)點，它們所占的面積可忽略不計。 四、符號說明 ：坐標(biāo)系，為固定坐標(biāo)系，其余為固定在桿上的相對坐標(biāo)系 ：到的坐標(biāo)系變換矩陣 :尖端移動終點在固定坐標(biāo)系中的x方向坐標(biāo) ：尖端移動終點在固定坐標(biāo)系中的y方向坐標(biāo) ：尖端移動終點在固定坐標(biāo)系中的z方向坐標(biāo) ：尖端轉(zhuǎn)動起點在固定坐標(biāo)系中初始x方向坐標(biāo) ：尖端轉(zhuǎn)動起點在固定坐標(biāo)系中初始y方向坐標(biāo) ：尖端轉(zhuǎn)動起點在固定坐標(biāo)系中初始z方向坐標(biāo) ------第i個自由度的相對于初始姿態(tài)轉(zhuǎn)角(i=1,2,3,4,5,6) -----第i個自由度轉(zhuǎn)角的增量(i=1,2,3,4,5,6) si------sin ci------cos 五、模型建立與求解 5.1運動學(xué)模型建立與求解 5.1.1機(jī)器人運動方程的建立 為了產(chǎn)生點到點的運動序列, 首先我們先作出初始角度均為0時的姿態(tài)，以每個節(jié)點為原點建立坐標(biāo)系到如圖5.1.1。 圖-5.1.1 從圖-5.1.2可以看出F點相當(dāng)于將繞Z軸旋轉(zhuǎn)得到，同理其他節(jié)點分別相當(dāng)于將前一坐標(biāo)系繞X,X,Z,X,Z軸轉(zhuǎn)動。可得到各坐標(biāo)系相對于前一個的坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換公式。從而得到機(jī)械臂各個關(guān)節(jié)的變換矩陣 旋轉(zhuǎn)矩陣： 位置矢量： 圖-5.1.2 ：機(jī)器人連桿參數(shù)（見表格1） ： 其中 2．確定固定坐標(biāo)系中E點位置 由題設(shè)中，已知固定坐標(biāo)系原點，根據(jù)給定的連桿長度和角度，易計算得出，在固定坐標(biāo)系中E位置： 　　　　　 Ex=-65(-cos(s1)sin(s4)+(-sin(s1)cos(s2)cos(s3)+sin(s1)sin(s2)sin(s3))cos(s4))sin(s5)+65(sin(s1)cos(s2)sin(s3)+sin(s1)sin(s2)cos(s3))cos(s5)+255sin(s1)cos(s2)sin(s3)+255sin(s1)sin(s2)cos(s3)+255sin(s1)sin(s2) Ey=-65(-sin(s1)sin(s4)+(cos(s1)cos(s2)cos(s3)-cos(s1)sin(s2)sin(s3))cos(s4))sin(s5)+65(-cos(s1)cos(s2)sin(s3)-cos(s1)sin(s2)cos(s3))cos(s5)-255cos(s1)cos(s2)*sin(s3)-255cos(s1)sin(s2)cos(s3)-255cos(s1)sin(s2) Ez=140-65(sin(s2)cos(s3)+cos(s2)sin(s3))cos(s4)sin(s5)+65(-sin(s2)sin(s3)+cos(s2)cos(s3))cos(s5)-255sin(s2)sin(s3)+255cos(s2)cos(s3)+255cos(s2) 這樣便得到了運動學(xué)方程。 5.1.2 利用逆運動學(xué)方法求解 （1）求 可用逆變換左乘運動方程式兩邊得： 根據(jù)對性元素相等可解的 解得: （2）求 由： 解得: （3）求 （1） （2） 解得： 其中 （4）求 或 （5）求 由，可以解得： 或 （6）求 ；或 5.2問題1—1的模型 在已有六自由度手臂運動方程和逆運動學(xué)解法的基礎(chǔ)上，若已知機(jī)械臂末端轉(zhuǎn)動終點坐標(biāo)和轉(zhuǎn)動起點坐標(biāo)已知，就可以得到各關(guān)節(jié)的坐標(biāo)，連桿的相對于初始狀態(tài)的角度變化及機(jī)械臂的姿態(tài)。 5.2.1機(jī)械臂最佳姿態(tài)的確定 對于一般六自由度機(jī)械臂，帶入末端坐標(biāo)（x,y,z）會得到16組，考慮用機(jī)械臂指尖實際到達(dá)的空間位置（,,）到理想位置（x,y,z）的偏差距離與移動距離的比值最少來衡量機(jī)械臂是否是最佳姿態(tài)，所以我們通過定義一個參量－偏移系數(shù)來尋找最佳指令， 其數(shù)學(xué)模型可表示為： Min :尖端移動終點在固定坐標(biāo)系中的x方向坐標(biāo) ：尖端移動終點在固定坐標(biāo)系中的y方向坐標(biāo) ：尖端移動終點在固定坐標(biāo)系中的z方向坐標(biāo) ：尖端轉(zhuǎn)動起點在固定坐標(biāo)系中初始x方向坐標(biāo) ：尖端轉(zhuǎn)動起點在固定坐標(biāo)系中初始y方向坐標(biāo) ：尖端轉(zhuǎn)動起點在固定坐標(biāo)系中初始z方向坐標(biāo) 當(dāng)尖端移動終點坐標(biāo)（x，y，z）已知情況下，利用MATLAB Robotics Tool可得到T矩陣，利用逆運動學(xué)解法，可得到，因指令中各個增量只能取到-2, -1.9, -1.8, ┅，1.8, 1.9, 2這41個離散值（即精度為0.1，絕對值不超過2），所以最終轉(zhuǎn)動的均只保留小數(shù)點后一位。所以對得到的取位處理，然后回代入正方向運動學(xué)方程，解得的（,,）才為實際位置。通過對M的比較得到最佳。 5.2.2 指令生成 在已知（i=1,2,3,4,5，6）后，只需要設(shè)計一種方式使機(jī)械臂從轉(zhuǎn)到。這里根據(jù)點位機(jī)械臂運動特點選用加速——勻速——減速三段式控制方式。如圖5－2中的方式二。 規(guī)定一個加速時間T(T=theta12-theta(i-1,1) theta(i,1) =theta12; else theta(i,1) =theta11; end %theta3 theta31=asin(1)+atan(1/6); theta32=pi-asin(1)+atan(1/6); if theta31-theta(i-1,3)>=theta32-theta(i-1,3) theta(i,3) = theta32; else theta(i,3) = theta31; end %theta2 w=atan((c1(i,j)*px+s1(i,j)*py-65*(c1(i,j)*ax+s1(i,j)*ay))/(pz-65*az)); B=(255*c3(i,j))/sqrt((c1(i,j)*px+s1(i,j)*py-65*c1(i,j)*ax-65*s1(i,j)*ay)^2+(pz-p*az)^2); theta21=asin(B-w-theta(i,3)); theta22=pi-asin(B)-w-theta(i,3); if theta21-theta(i-1,2)>=theta22-theta(i-1,2) theta(i,2) = theta22; else theta(i,2) = theta21; end %theta5 theta51=acos(s231(i,j)*(c1(i,j)*ax+s1(i,j)*ay)-c231(i,j)*az); theta52=2*pi-acos(s232(i,j)*(c1(i,j)*ax+s1(i,j)*ay)-c232(i,j)*az); if theta51-theta(i-1,5)>=b5-theta(i-1,5) theta(i,5) = theta52; else theta(i,5) = theta51; end %theta4 theta41=asin((s511(i,j)*ax-c1(i,j)*ay)/s511(i,j)); theta42=pi-asin((s1(i,j)*ax-c1(i,j)*ay)/s511(i,j)); if atheta41-theta(i-1,4)>=theta42-theta(i-1,4) theta(i,4) = theta42; else theta(i,4) = theta41; end %theta6 theta61=asin((sin(c1(i,j)*ox+s1(i,j)*oy)-c231(i,j)*oz)/s511(i,j)); theta62=pi-asin((s231(i,j)*(c1(i,j)*ox+s1(i,j)*oy)-c231(i,j)*oz)/s511(i,j)); if theta61-theta(i-1,6)>=theta62-theta(i-1,6) theta(i,6) = theta62; else theta(i,6) = theta61; end end 問題2-1 T06=transl(20,-200,120); nx=T06(1,1);ny=T06(2,1);nz=T06(3,1); ox=T06(1,2);oy=T06(2,2);oz=T06(3,2); ax=T06(1,3);ay=T06(2,3);az=T06(3,3); px=T06(1,4);py=T06(2,4);pz=T06(3,4); n=[nx ny nz]; o=[ox oy oz]; a=[ax ay az]; p=[px py pz]; theta=zeros(7,6); for i=2:100 %theta1 theta11=atan((py-65*ay)/(px-65*ax)); theta12=pi+atan((py-65*ay)/(px-65*ax)); if theta11-theta(i-1,1)>=theta12-theta(i-1,1) theta(i,1) =theta12; else theta(i,1) =theta11; end %theta3 theta31=asin(1)+atan(1/6); theta32=pi-asin(1)+atan(1/6); if theta31-theta(i-1,3)>=theta32-theta(i-1,3) theta(i,3) = theta32; else theta(i,3) = theta31; end c1(i)=cos(theta(i,1)); s1(i)=sin(theta(i,1)); c3(i)=cos(theta(i,3)); s3(i)=sin(theta(i,3)); c23(i)=cos(theta(i,1)+theta(i,3)); s23(i)=sin(theta(i,1)+theta(i,3)); %theta2 w(i)=atan((c1(i)*px+s1(i)*py-65*(c1(i)*ax+s1(i)*ay))/(pz-65*az)); B(i)=(255*c3(i))/sqrt((c1(i)*px+s1(i)*py-65*c1(i)*ax-65*s1(i)*ay)^2+(pz-1*az)^2); theta21=asin(B(i)-w(i)-theta(i,3)); theta22=pi-asin(B(i))-w(i)-theta(i,3); if theta21-theta(i-1,2)>=theta22-theta(i-1,2) theta(i,2) = theta22; else theta(i,2) = theta21; end %theta5 theta51=acos(s23(i)*(c1(i)*ax+s1(i)*ay)-c23(i)*az); theta52=2*pi-acos(s23(i)*(c1(i)*ax+s1(i)*ay)-c23(i)*az); if theta51-theta(i-1,5)>=theta52-theta(i-1,5) theta(i,5) = theta52; else theta(i,5) = theta51; end c5(i)=cos(theta(i,5)); s5(i)=sin(theta(i,5)); %theta4 theta41=asin((s5(i)*ax-c1(i)*ay)/s5(i)); theta42=pi-asin((s1(i)*ax-c1(i)*ay)/s5(i)); if theta41-theta(i-1,4)>=theta42-theta(i-1,4) theta(i,4) = theta42; else theta(i,4) = theta41; end %theta6 theta61=asin((sin(c1(i)*ox+s1(i)*oy)-c23(i)*oz)/s5(i)); theta62=pi-asin((s23(i)*(c1(i)*ox+s1(i)*oy)-c23(i)*oz)/s5(i)); if theta61-theta(i-1,6)>=theta62-theta(i-1,6) theta(i,6) = theta62; else theta(i,6) = theta61; end end 問題2-1 L1 = link([ pi/2 0 0 140 0], standard); L2 = link([ 0 225 0 0 0], standard); L3 = link([-pi/2 0 0 0 0], standard); L4 = link([pi/2 0 0 225 0], standard); L5 = link([-pi/2 0 0 0 0], standard); L6 = link([0 0 0 65 0], standard); r=robot({L1 L2 L3 L4 L5 L6}); r.name=robot; drivebot(r); q=[0 0 -pi/2 0 -pi/2 0]; q1=[-1.4713 1.0647 -0.7557 0 -0.3072 0]; qi=q1+q; t=0:0.056:15; q=jtraj(q,qi,t); hold on T=fkine(r,q); sizeT=size(T); for i=1:sizeT(3) x=T(1,4,i); y=T(2,4,i); z=T(3,4,i); hold on plot3(x,y,z) end plot(r,q) BatchDoc Word文檔批量處理工具