人教版八上_軸對稱教案.doc
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______________________________________________________________________________________________________________ 集體備課教案 §13．1．1 軸對稱（一） 教學目標 一、知識與技能 1、在生活實例中認識軸對稱圖． 2、軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的聯系和區(qū)別。 二、過程與方法 分析軸對稱圖形，理解軸對稱的概念． 三、情感態(tài)度價值觀 讓學生體會數學的對稱美在生活中的廣泛應用和體現。 教學重點 軸對稱圖形的概念． 教學難點 能夠識別軸對稱圖形并找出它的對稱軸． 教學方法：探究、實踐操作練習 預習導航 1、分析軸對稱圖形，理解軸對稱的概念． 2、兩個圖形成軸對稱即對稱點的概念 3、軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的聯系和區(qū)別。 教學過程 一、圖片展示，引入新課 我們生活在一個充滿對稱的世界中，許多建筑物都設計成對稱形，藝術作品的創(chuàng)作往往也從對稱角度考慮，自然界的許多動植物也按對稱形生長，中國的方塊字中有些也具有對稱性??對稱給我們帶來多少美的感受！ 軸對稱是對稱中重要的一種，從這節(jié)課開始，我們來學習第十三章：軸對稱．今天我們來研究第一節(jié)，認識什么是軸對稱圖形，什么是對稱軸． 二、新知探究 1、軸對稱圖形及對稱軸的概念形成 （1）出示課本的圖片，觀察它們都有些什么共同特征． 這些圖形都是對稱的。這些圖形從中間分開后，左右兩部分能夠完全重合． 小結：對稱現象無處不在，從自然景觀到分子結構.甚至日常生活用品，人們都可以找到對稱的例子?，F在同學們就從我們生活周圍的事物中來找一些具有對稱特征的例子． 我們的黑板、課桌、椅子等． 我們的身體，還有飛機、汽車、楓葉等都是對稱的． （2）概念形成 如果一個圖形沿一直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．這時，我們也說這個圖形關于這條直線成軸對稱． （3）學生舉例 （4）制作學具，強化概念 取一張質地較硬的紙，將紙對折，并用小刀在紙的中央隨意刻出一個圖案，將紙打開后鋪平，你得到兩個成軸對稱的圖案了嗎？與同伴進行交流． 結論：位于折痕兩側的圖案是對稱的，它們可以互相重合． 由此可以得到軸對稱圖形的特征：一個圖形沿一條直線折疊后，折痕兩側的圖形完全重合． 接下來我們來探討一個有關對稱軸的問題．有些軸對稱圖形的對稱軸只有一條，但有的軸對稱圖形的對稱軸卻不止一條，有的軸對稱圖形的對稱軸甚至有無數條。 （5）例題講解 下列各圖，你能找出它們的對稱軸嗎？ 結果：圖（1）有四條對稱軸；圖（2）有四條對稱軸；圖（3）有無數條對稱軸；圖（4）有兩條對稱軸；圖（5）有七條對稱軸． (1) (2) (3) (4) (5) 2、兩個圖形關于某條直線對稱概念形成 （1）展示掛圖，大家想一想，你發(fā)現了什么？ （2）制作學具，交流討論總結定義 像這樣，把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點． （３）兩個圖形成軸對稱與全等圖形的關系（課本P59思考）． 結論：成軸對稱的兩個圖形全等．如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形全等，并且也是成軸對稱的． 軸對稱是說兩個圖形的位置關系，而軸對稱圖形是說一個具有特殊形狀的圖形． ３、兩個圖形成軸對稱與軸對稱圖形的聯系與區(qū)別 軸對稱的兩個圖形和軸對稱圖形，都要沿某一條直線折疊后重合；如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那么這兩個圖形就關于這條直線成軸對稱；反過來，如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形． 三、鞏固練習 A組：課本P60練習 B組：1、找出英文26個大寫字母中哪些是軸對稱圖形？ 2、你能舉出三個是軸對稱圖形的漢字嗎 3、練習冊習題 C組：1、用兩個圓、兩個三角形、兩條平行線構造軸對稱圖形，別忘了要加上一兩句貼切、詼諧的解說詞。 四、課時小結 這節(jié)課我們主要認識了軸對稱圖形，了解了軸對稱圖形及有關概念，進一步探討了軸對稱的特點，區(qū)分了軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱． 五、作業(yè) 課本習題13．1的1、2題． 六、板書設計 §13．1．1 軸對稱（一） 一、軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個圖形就叫軸對稱圖形，這條直線叫對稱軸． 二、兩個圖形成軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱． 三、兩個圖形成軸對稱與軸對稱圖形的聯系與區(qū)別 教學反思： §12．1．2 軸對稱（二） ——軸對稱的性質 課型：新授 教學目標 一、知識與技能 了解兩個圖形成軸對稱性的性質，了解軸對稱圖形的性質． 二、過程與方法 探究線段垂直平分線的定義． 三、情感態(tài)度價值觀 經歷探索軸對稱圖形性質的過程，進一步體驗軸對稱的特點，發(fā)展空間觀察． 教學重點 1．軸對稱的性質． 2．線段垂直平分線的定義． 教學難點 體驗軸對稱的特征． 教學方法：探究、引導 教具準備：直尺、鉛筆 預習導航: 1．了解兩個圖形成軸對稱性的性質，了解軸對稱圖形的性質． （1）如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線． （2）關于某條直線對稱的兩個圖形全等，對應線段對應角相等 2．探究線段垂直平分線的定義 教學過程 一． 回顧復習、引入新課 提問軸對稱圖形與兩圖形成軸對稱的定義，今天繼續(xù)來研究軸對稱的性質． 二． 新知探究 1、探究軸對稱的性質 如圖，△ABC和△A′B′C′關于直線MN對稱，點A′、B′、C′分別是點A、B、C的對稱點， （1） △ABC和△A′B′C′有什么關系？對應線段、對應角有什么關系？ （2） 線段AA′、BB′、CC′與直線MN有什么關系？ （3）延長對應線段，兩條延長線相交嗎？交點與對稱軸有什么關系？ 教師引導學生討論歸納 軸對稱的性質： a、關于某條直線對稱的兩個圖形全等，對應線段對應角相等 b、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線． c、成軸對稱的兩個圖形，對應線段的延長線如果相交，交點一定在對稱軸上。 2、探究線段垂直平分線的定義 （1）學生活動：自己動手畫一個軸對稱圖形，并找出兩對稱點，看一下對稱軸和兩對稱點連線的關系。我們可以看出軸對稱圖形與兩個圖形關于直線對稱一樣，對稱軸所在直線經過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段． （2）歸納定義：對稱軸所在直線經過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段．我們把經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線． 三、例題講解 例1如圖，若沿虛線對折，左邊部分與右邊部分重合，請找出圖中A、B、C的對稱點，并說出圖中有哪些角相等?哪些線段相等? 例2如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH關于MN對稱。 （1）A、B、C、D的對稱點分別是 ，線段AC、AB的對應線段分別是 ，CD= ， ∠CBA= ， ∠ADC= ． （2）AE與BF平行嗎？為什么？ （3）延長線段AB、EF，兩條延長線相交嗎？交點與對稱軸有什么關系？ 四、鞏固練習 課本習題12．1─3、4、10題． 五．課時小結 這節(jié)課通過探索軸對稱圖形對稱性的過程，了解了線段的垂直平分線的定義 六、課后作業(yè) 數學小冊子 七、板書設計 §12．1．2 軸對稱（二） 一、圖形軸對稱的性質 二、線段垂直平分線的定義 課后反思： §12．1．2 軸對稱（三） ——線段的垂直平分線的性質 課型：新授 教學目標 一、知識與技能 1．線段垂直平分線的性質 二、過程與方法 利用線段垂直平分線性質證明線段相等 三、情感態(tài)度價值觀 經歷探索線段垂直平分線性質的過程，進一步培養(yǎng)學生探究能力 教學重點 線段垂直平分線的性質． 教學難點 探究線段平分線性質 教學方法：探究、引導 教具準備：直尺、鉛筆 預習導航: 1．線段垂直平分線的性質 2、利用線段垂直平分線性質證明線段相等 教學過程 一．復習回顧，引入新課 1、復習軸對稱的性質 2、復習線段垂直平分線的定義 今天繼續(xù)來研究線段垂直平分線的性質． 二．新知探究 1、探究線段垂直平分線的性質 [探究1] 如下圖．木條L與AB釘在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的點，分別量一量點P1，P2，P3，…到A與B的距離，你有什么發(fā)現？ （1）用平面圖將上述問題進行轉化，先作出線段AB，過AB中點作AB的垂直平分線L，在L上取P1、P2、P3…，連結AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… （2）作好圖后，用刻度尺量出它的長度AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…討論發(fā)現什么樣的規(guī)律． (3)總結歸納性質： 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，… 2、證明線段垂直平分線的性質 引導學生畫出圖形，寫出已知、求證。 (1)證法一：利用判定兩個三角形全等． 如下圖，在△APC和△BPC中， PC=PC ∠PCA=∠PCB=90° AC=BC △APC≌△BPC PA=PB. (2) 證法二：利用軸對稱性質． 由于點C是線段AB的中點，將線段AB沿直線L對折，線段PA與PB是重合的，因此它們也是相等的． 三、例題講解 圖8 例1圖8是某跨河大橋的斜拉索，圖中AO＝BO，PO⊥AB，則必有PA＝PB，為什么? A 例2如圖，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝ 10cm，AB的垂直平分線ED交AC于D點，求：△BCD的周長。 四．鞏固練習 （一）課本P34練習 1、 （二）1、已知互不平行的兩條線段AB, A′B′關于直線l對稱， AB, A′B′所在的直線交于點P，判斷下列正誤。 1）AB=A′B′（ ） 2）點P在直線l上（ ） 3）若A, A′是對稱點，則l垂直平分線段A A′（ ） 4）若B, B′是對稱點，則PB=P B′( ) （三）如右圖所示，直線MN和DE分別是線段 AB、BC的垂直平分線，它們交于P點，請問PA和 PC相等嗎?為什么? 五．課時小結 這節(jié)課通過探索軸對稱圖形對稱性的過程，了解了線段的垂直平分線的有關性質，同學們應靈活運用這些性質來解決問題． 六、課后作業(yè) （一）課本習題12．1的第5題． （二）復習題12第5題 七、板書設計 §12．1．2 軸對稱（二） 一、復習線段垂直平分線的定義 二、線段垂直平分線的性質 課后反思： §12．1．2 軸對稱（四） ——線段的垂直平分線的判定 課型：新授 教學目標 一、知識與技能 1．線段垂直平分線的判定 二、過程與方法 利用線段垂直平分線判定證明線段相等或垂直 三、情感態(tài)度價值觀 經歷探索線段垂直平分線判定的證明過程，進一步培養(yǎng)學生探究能力 教學重點 線段垂直平分線的判定． 教學難點 探究線段平分線判定 教學方法：探究、引導 教具準備：直尺、鉛筆 預習導航: 1．線段垂直平分線的判定 2、利用線段平分線判定證明線段相等或垂直 3、成軸對稱的兩個圖形，對應線段的延長線如果相交，交點一定在對稱軸上； 教學過程 一．創(chuàng)設情境，引入新課 如下圖．用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一個簡易的“弓”，“箭”通過木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向與木棒垂直呢？為什么？ 三． 新知探究 1、探究線段垂直平分線的判定 （1）活動：1．用平面圖形將上述問題進行轉化．作線段AB，取其中點P，過P作L，在L上取點P1、P2，連結AP1、AP2、BP1、BP2．會有以下兩種可能． 2．討論：要使L與AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2應滿足什么條件？ （2） 探究過程： 1．如上圖甲，若AP1≠BP1，那么沿L將圖形折疊后，A與B不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1，即L與AB不垂直． 2．如上圖乙，若AP1=BP1，那么沿L將圖形折疊后，A與B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即L與A、B重合．當AP2=BP2時，亦然．（教師引導學生寫出證明過程） （3）探究結論： 與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．也就是說在[探究2]圖中，只要使箭端到弓兩端的端點的距離相等，就能保持射出箭的方向與木棒垂直． （4）總結概括線段垂直平分線的判定，即：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 2、證明線段垂直平分線的判定 已知：線段AB，點P是平面內一點且PA＝PB． 求證：P點在AB的垂直平分線上． （分組討論，鼓勵學生多想證明方法，并派代表上黑板寫寫本組的證明過程） （1）證法一： 證明：過點P作已知線段AB的垂線PC． ∵PA＝PB，PC＝PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC＝BC， 即P點在AB的垂直平分線上． （2）證法二： 證明：取AB的中點C，過PC作直線． ∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB， ∴△APC≌△BPC(SSS)． ∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB． ∴P點在AB的垂直平分線上． ? （3）證法三： 證明：過P點作∠APB的角平分線． ∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC， ∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等，對應邊相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∴P點在線段AB的垂直平分線上 ? 3、概括線段垂直平分線的性質與判定的區(qū)別與聯系 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與這條線段兩個端點距離相等的點都在它的垂直平分線上．所以線段的垂直平分線可以看成是與線段兩端點距離相等的所有點的集合． 三、例題解析 見課本P38頁的12題 四．鞏固練習 （一）課本P34練習 2． 五．課時小結 這節(jié)課通過探索了解了線段的垂直平分線的判定，同學們應靈活運用這些判定來解決問題． 六、課后作業(yè) （一）課本習題12．1─12題． 七、板書設計 §12．1．2 軸對稱（四） ——線段的垂直平分線的判定 一、復習 ：線段垂直平分線的定義及圖形軸對稱的性質 二、線段垂直平分線的判定 課后反思： §12．1．2 軸對稱（五） --利用軸對稱的性質作圖 課型：新授 教學目標 一、知識與技能 掌握用“連結對稱點的線段被對稱軸垂直平分” 二、過程與方法 熟練畫出軸對稱圖形的對稱軸。 三、情感態(tài)度價值觀 培養(yǎng)良好的動手實踐能力。 重點：驗證一個圖形是不是軸對稱圖形 難點：畫軸對稱圖形的對稱軸。 教學方法：動手操作，探究 預習導航: 1、 尺規(guī)作圖：線段垂直平分線的做法 2、 根據軸對稱的性質做軸對稱圖形的對稱軸 3、 利用線段垂直平分線的性質作圖 4、 利用線段垂直平分線的性質與角平分線的性質綜合作圖 教學過程 一、 提出問題 1、 如果我們感覺兩個圖形是軸對稱的，你準備用什么方法驗證？ 2、 兩個成軸對稱的圖形，不經過折疊，你用什么方法畫出它的對稱軸？ 二、 學習新知 1、畫一條線段的垂直平分線（尺規(guī)作圖） 課本P34頁 已知：線段AB(如圖)．? 求作：線段AB的垂直平分線． 作法：1．分別以點A和B為圓心，以大于 AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D． 2．作直線CD． 直線CD就是線段AB的垂直平分線． ? 2、問：這樣所作的直線為什么是線段的垂直平分線？ 三、例題解析 例1、試著畫出下邊兩個軸對稱圖形的對稱軸。 例2、下面是我們學過的一些幾何圖形，說出下面圖形是不是軸對稱圖形，并完成下表。 長方形 正方形 三角形 等腰三角形 等邊三角形 平行四邊形 任意梯形 等腰梯形 圓 圖 形 長方 形 正方 形 三角 形 等腰 三角 形 等邊 三角 形 平行 四邊 形 任意 梯形 等腰 梯形 圓 對稱軸的條數 四、隨堂練習 A組 1：畫出以下圖形的對稱軸 2課本P35練習題3 3、課本P37習題5 B組 1：下面的虛線，哪些是圖形的對稱軸，哪些不是? 2、課本P37習題7、11 四、小結 1、線段垂直平分線作法 2、畫成軸對稱的圖形的對稱軸的幾種常見方法 （1）將圖形對折 （2）尺規(guī)作圖 （3）用刻度尺先取一對對稱點連線的中點，然后畫垂線 五、作業(yè) 習題12.16、9、 六、板書設計 §12．1．2 軸對稱（五） --利用軸對稱的性質作圖 一、情境導入 二、探究新知 三、例題解析 課后反思： §12．2 作軸對稱圖形 課型：新授 教學目標 一、知識與技能 1．通過實際操作，了解什么叫做軸對稱變換． 二、過程與方法 作出一個圖形關于一條直線的軸對稱圖形． 三、情感態(tài)度價值觀 通過動手操作進一步培養(yǎng)學生實踐操作能力 教學重點 1．軸對稱變換的定義． 2．能夠按要求作出簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形． 教學難點 1．作出簡單平面圖形關于直線的軸對稱圖形． 2．利用軸對稱進行一些圖案設計． 教學方法：動手實踐操作 預習導航: 1、利用軸對稱性質作一個點、一條線段、一個三角形關于某條直線的對稱點、線段、三角形 2、作一個圖形經軸對稱變換后的圖形 3、利用軸對稱變換設計一些簡單的圖案 教學過程 一、創(chuàng)設情境，引入新課 1、 復習回顧軸對稱圖形以及軸對稱圖形的一些相關的性質問題． 2、操作實踐，引出課題 活動1將一張紙對折后，用針尖在紙上扎出一個圖案，將紙打開后鋪平，得到的兩個圖案是關于折痕成軸對稱的圖形． 活動2準備一張質地較軟，吸水性能好的紙或報紙，在紙的一側上滴上一滴墨水，將紙迅速對折，壓平，并且手指壓出清晰的折痕．再將紙打開后鋪平，位于折痕兩側的墨跡圖案也是對稱的． 這節(jié)課我們就是來作簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形． 二、新知探究 由我們已經學過的知識知道，連結任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分． 類似地，我們也可以由一個圖形得到與它成軸對稱的另一個圖形，重復這個過程，可以得到美麗的圖案． 對稱軸方向和位置發(fā)生變化時，得到的圖形的方向和位置也會發(fā)生變化．大家看大屏幕，從電腦演示的圖案變化中找出對稱軸的方向和位置，體會對稱軸方向和位置的變化在圖案設計中的奇妙用途． 下面，同學們自己動手在一張紙上畫一個圖形，將這張紙折疊描圖，再打開看看，得到了什么？改變折痕的位置并重復幾次，又得到了什么？同學們互相交流一下． 結論： 1、由一個平面圖形可以得到它關于一條直線L對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同； 2、新圖形上的每一點，都是原圖形上的某一點關于直線L的對稱點； 3、連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分． 4、兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點一定在對稱軸上。 我們把上面由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換． 成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看作由另一個圖形經過軸對稱變換后得到．一個軸對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎，經軸對稱變換擴展而成的． 三、例題講解 1、如圖，已知點A和直線l，試畫出點A關于直線l的對稱點A′。請說說你的畫法 A . 2、 作△ABC關于直線l的對稱的圖形△A′B′C′ 歸納：見P41 三．隨堂練習 1、已知△ABC，及點A的對稱點A′，請作出對稱軸直線l，并畫出△ABC關于直線l的對稱圖形。 A . A′ B C 2．如圖(1)，請畫出三角形關于直線l對稱的圖形?！ ? 3、為學校運動會設計一徽標，要求貼近學生生活，突出運動主題，是軸對稱圖案。 四．課時小結 本節(jié)課我們主要學習了如何通過軸對稱變換來作出一個圖形的軸對稱圖形，并且利用軸對稱變換來設計一些美麗的圖案．在利用軸對稱變換設計圖案時，要注意運用對稱軸位置和方向的變化，使我們設計出更新疑獨特的美麗圖案． 五、作業(yè) 習題12.2 1、5、10 板書設計 §12．2．做軸對稱圖形 一、軸對稱變換 由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換． 二、利用軸對稱變換設計圖案 課后反思： §14．2 作軸對稱圖形 ——生活中的距離最短問題 課型：新授 教學目標： 一、知識與技能 利用軸對稱變換解決實際問題 二、過程與方法 利用作圖解決生活中的問題 三、情感態(tài)度價值觀 通過動手操作進一步培養(yǎng)學生實踐操作能力 重點：極值問題的解決 難點：極值問題的說理證明 教學方法：探究引導 預習導航： 極值問題的解決、說理及證明 教學過程： 一、情境導入： 復習回顧 1、軸對稱概念的內容是什么？ 2、軸對稱具有什么性質？ 二、講解新課 今天，我們要應用上述性質來解決一個實際問題． [探究1] 若A、B是直線a兩側的已知點，現要在a上作出一點C，使AC＋CB為最小，怎么辦呢？請同學們在白紙上作出點C． 生：這個問題容易解決，連結AB，設其交直線a于點C，則點C即為所求． [探究2] 如圖（1）．要在燃氣管道L上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣．泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？ 你可以在L上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現什么規(guī)律嗎？ 過程：把管道L近似地看成一條直線如圖（2），設B′是B的對稱點，將問題轉化為在L上找一點C使AC與CB′的和最小，由于在連結AB′的線中，線段AB′最短．因此，線結AB′與直線L的交點C的位置即為所求． 結果：作B關于直線L的對稱點B′，連結AB′，交直線L于點C，C為所求． 三、例題講解 為什么在點C的位置修建泵站，就能使所用的輸管道最短？ 過程：將實際問題轉化為數學問題，該問題就是證明AC+CB最?。? 結果： 如上圖，在直線L上取不同于點C的任意一點C′．由于B′點是B點關于L的對稱點，所以BC′=B′C′，故AC′+BC′=AC′+B′C′在△A′B′C′中AC′+BC′>AB′，而AB′=AC+CB′=AC+CB，則有AC+CB
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