小學(xué)三年級(jí) 矩形圖法分析應(yīng)用題詳解

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. 第十四講矩形圖法 一、本講內(nèi)容： 矩形圖中的經(jīng)典模型 矩形圖的其它應(yīng)用 二、前鋪知識(shí) 雞兔同籠綜合/盈虧問題題進(jìn)階 三、后續(xù)知識(shí) 平均數(shù)進(jìn)階 四、課前測(cè)試： 4.1 雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？ 解題思路分析： 1） 從頭46可以確定雞兔一共46只 2） 從足共128，可以確定雞和兔的腳一共有128條,按照常識(shí),一只兔子有4條腿，一只雞2條腿 3） 從題中可以確定總只數(shù)和總腿數(shù)數(shù)量知道，并知道每只雞和兔的腿數(shù)，因此可考慮使用假設(shè)法或者方程來計(jì)算 假設(shè)法解題方法分析： A） 假設(shè)46頭全部為雞，則一共有的腿數(shù)量為46X2=92 條， 發(fā)現(xiàn)腿數(shù)量比實(shí)際少：128-92=36 條，因此需要考慮需要將部分雞變?yōu)橥?，才能增加總的腿條數(shù)，從圖中可以看出，每當(dāng)一只雞變成兔時(shí)，總腿數(shù)會(huì)增加兩條，因此要補(bǔ)足缺的36條腿，需要有多少只雞變成兔呢？ 就是362=18 只，也就是有18只雞變成兔子后，總腿數(shù)滿足要求 假設(shè)法解題過程： 解：假設(shè)46只全部為雞，總腿數(shù)為46 X 2= 92 條，比總腿數(shù)少 128-92=36條 當(dāng)一只雞換成兔子時(shí)，總腿數(shù)增加2條，因此要增加36條腿，需要將362=18 只雞 換成兔子才可以，因此兔子有18只，雞有46 – 18=28只 答：兔子 18只，雞 28只 驗(yàn)證：18 X 4 + 28 X 2 = 72 + 56 =128 條 方程法解題方法分析： 由于總腿數(shù)可以使用只數(shù)X每只的腿數(shù)來表示，并知道總只數(shù)，因此考慮假設(shè)兔只有y只，則雞有46-y只，總腿數(shù)為：4y+（46-y）X 2=128 方程法解題過程： 解：假設(shè)兔只有y只，則雞有46-y只， 總腿數(shù)為：4y+（46-y）X 2=128 4y+46 X 2 -2y=128 4y + 92 -2y=128 2y=128-92 y= 362 y= 18 雞：46-y=46-18=28 答：兔子 18只，雞 28只 驗(yàn)證：18 X 4 + 28 X 2 = 72 + 56 =128 條 4.2 某校安排學(xué)生宿舍，如果每間住5人則有14人沒有床位；如果每間住7人，則多出4個(gè)床位，問宿舍幾間？住宿幾人？ 分析法解題方法分析： 從如果每間住7人，則多出4個(gè)床位，可以判斷最后一間房住了三個(gè)人，我們用圓圈表示人，按照提議可以畫出如下示意圖 從上圖可以看出或者推斷出原先沒有床位的14人已經(jīng)最后一個(gè)房間中的兩個(gè)人，一共16人在第二次分床位時(shí)，分到前面的房間了，如果假定前面房間原先的人保持不動(dòng)，則每個(gè)房間能夠增加兩個(gè)人，因此可以算出16個(gè)人需要幾間房：162=8 個(gè)房間，因此加上最后一個(gè)房間，一共是 8 + 1 =9個(gè)房間，房間數(shù)量計(jì)算出來后可以計(jì)算住宿的人數(shù) 5 X 9 +14=59 人 分析法解題過程： 解： 從題目分析可以確認(rèn)當(dāng)每個(gè)房間分7個(gè)人時(shí)最后一個(gè)房間分了3個(gè)人，也就是，最后一個(gè)房間中出來兩人和第一次分配沒有床位的14人，一共16個(gè)人一起被分配到前面房間，考慮原先房間的人不動(dòng)，因此每個(gè)房間可以在分配2人 分完需要房間數(shù)量為162=8 個(gè)房間， 加上最后一個(gè)沒有住滿的房間，一共是 8 + 1 =9個(gè)房間， 住宿的人數(shù)： 5 X 9 +14=59 人 答：房間數(shù)量為9間，住宿人數(shù)為59人。 盈虧解題方法分析： 從題目中如果每間住7人，則多出4個(gè)床位，這句話可以確定，假如每間房都分滿7個(gè)人，則少4個(gè)人，這相當(dāng)于虧為4，相當(dāng)于在原先多余14個(gè)人基礎(chǔ)上再增加4個(gè)人，就可以每個(gè)房間都增加兩人，剛好分完。 如果每間住5人則有14人沒有床位，這句話可以確定盈為14人，按照提議，假設(shè)再增加4個(gè)人，則可以將這18個(gè)人平均每個(gè)房間可以分2個(gè)人剛好分完，按照盈虧計(jì)算方法：(盈數(shù)+虧數(shù))兩次每份分配之差（7-5）=份數(shù)，也就是房間數(shù)量，計(jì)算出房間數(shù)量后，就可以計(jì)算人數(shù) 盈虧方式解題過程： 解：從題目可以確定每個(gè)房間分5人時(shí)，多14人，每個(gè)房間分7人時(shí)，少 4人 因此房間數(shù)量為：（14+4） （7-5）=9 間 住宿人數(shù)：9 X 5 + 14 =59人 答：房間數(shù)量為9間，住宿人數(shù)為59人 方程解題方法分析： 從題目看，房間數(shù)量沒有發(fā)生變化，總?cè)藬?shù)沒有發(fā)生變化，總?cè)藬?shù)可以利用房間數(shù)量乘上每個(gè)房間住的人數(shù)來得到，然后根據(jù)兩次分法人數(shù)不變來寫方程等式。因此可以設(shè)置房間數(shù)量為Y，第一次分法的總?cè)藬?shù)為5Y+14，第二次分配總?cè)藬?shù)為7Y-4，兩次總?cè)藬?shù)相等 5Y+14=7Y-4 方程法解題過程： 解：設(shè)房間數(shù)量為Y間，住宿人數(shù)7Y-4 5Y+14=7Y-4 14+4=7Y-5Y 18=2Y Y=182=9 間 住宿人數(shù)：7Y-4=7X9-4=59 人 答：房間數(shù)量為9間，住宿人數(shù)為59人 4.3 小強(qiáng)由家里到學(xué)校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘，如果每分鐘走60米，就可以比正常上課時(shí)間提前2分鐘到校。小強(qiáng)家到學(xué)校的路程是多少米？ 分析法解題思路： 從題目看，需要求路程，題目中告訴了兩個(gè)速度，按照路程計(jì)算公式：路程=速度X時(shí)間，因此我們需要先求出小強(qiáng)走的時(shí)間，這樣就可以算路程了 題目中告訴了兩個(gè)速度，想到可能會(huì)用到：速度差X時(shí)間=路程差，速度差我們知道是60-50=10米/分鐘，如果能算出兩次的距離差，是否就可以求出時(shí)間呢，那我們看看能否通過線段圖發(fā)現(xiàn)距離差 從題目中的比上課時(shí)間遲到3分鐘和比上課時(shí)間早2分鐘，可以判斷如果按照某個(gè)速度從家到學(xué)校時(shí)剛剛好，不遲到，不早到，這個(gè)時(shí)間我們可以假定為t，因此按照50米/分鐘速度。在走了t這么長時(shí)間后，小強(qiáng)來到了A點(diǎn)，A點(diǎn)到學(xué)校還需要3分鐘，其距離為50X3=150米 同時(shí)，如果按照60米/分鐘的速度，如果小強(qiáng)到學(xué)校還沒有到上課時(shí)間，如果他繼續(xù)走完t分鐘時(shí)，他應(yīng)該到了B點(diǎn)，B點(diǎn)離學(xué)校的距離為2分鐘走的距離 60X2=120米 在相同的t分鐘時(shí)間內(nèi)，前后兩次的距離差為A到B的距離，距離為 120+150=270米， 因此按照距離差=時(shí)間X速度差的公式得到 270米=t分鐘X10米/分鐘，可以看出t=27分鐘，所以按照50米/分鐘的速度去學(xué)校時(shí)，27分鐘后小強(qiáng)來到了A點(diǎn)，所以按照50米/分鐘的速度，小強(qiáng)到學(xué)校的時(shí)間需要t+3=27+3=30分鐘，那么家到學(xué)校的距離為50米/分鐘X30分鐘=1500米 分析法解題過程 解：從題目來看，兩次的速度差為 60米/分鐘-50米/分鐘=10米/分鐘 假設(shè)兩次走的時(shí)間一樣時(shí)，兩次的距離差可以從下圖看出來為： 50X3+60X2=270米 按照距離差=速度差X時(shí)間，從知道了速度差10米/分鐘以及距離差270米，我們可以計(jì)算出走的時(shí)間：時(shí)間=距離差速度差=27010=27分鐘 因此家到學(xué)校的距離為50X27+50X3=50X（27+3）=50X30=1500米 答：小強(qiáng)家到學(xué)校距離為1500米 方程解題方法分析： 從題目中的比上課時(shí)間遲到3分鐘和比上課時(shí)間早2分鐘，可以判斷如果按照某個(gè)速度從家到學(xué)校時(shí)剛剛好，不遲到，不早到，這個(gè)時(shí)間我們可以假定為t分鐘，因此我們考慮使用時(shí)間t來表示小強(qiáng)家到學(xué)校的距離： 如果速度為50米/分鐘時(shí)，要遲到3分鐘，因此時(shí)間為t+3分鐘，家到學(xué)校距離為 50X（t+3） 如果速度為60米/分鐘時(shí)。要找到2分鐘，因此時(shí)間為t-2分鐘，家到學(xué)校距離為 60X（t-2） 按照距離=速度X時(shí)間，利用小強(qiáng)家到學(xué)校距離不變來寫方程50X（t+3）=60X（t-2） 然后去括號(hào)解方程 方程法解題過程： 解：根據(jù)圖示，設(shè)按照50米/分鐘的速度走，到上課時(shí)間時(shí)，用了t分鐘，來到了A點(diǎn)，因此按照60米/分鐘的速度來到學(xué)校時(shí)，使用的時(shí)間為（t-2）分鐘 列方程如下：50t+50X3=60（t-2） 50t+150=60t-120 150+120=60t-50t 10t=270 t=27 分鐘 距離：60 X （27-2）=60X25=1500米 答：小強(qiáng)家到學(xué)校的路程是1500米。 五、模塊一：矩形圖中的經(jīng)典模型 例1：某個(gè)長方形原本的長是10cm，如果它的寬減少3cm，長增加5cm，面積保持不變，那么原本長方形的面積為多少？ 矩形分析法解題思路分析： 按照題意，畫出下圖，原長方形為圖中斜線部分+A部分，變化后的圖形為圖中斜線部分+B部分，由于兩個(gè)圖形的面積相等，因此圖中A部分和B部分的面積相等 按照題中出現(xiàn)面積關(guān)鍵點(diǎn)，因此想到長方形的面積公式：長方形面積=長X寬 按照公式可以計(jì)算出A的面積為10X5=50平方厘米，因此圖形B的面積也為50平方厘米，按照長方的面積公式 50=5X？？，因此可以計(jì)算出B的一邊長度為10cm 這樣就可以求出原長方形B的寬+5cm，計(jì)算結(jié)果為10+5=15cm，然后按照長方形的面積計(jì)算公式計(jì)算面積為10X15=150平方厘米 矩形分析法解題過程： 解：按照題意，畫出如下圖形，根據(jù)面積相等可知A的面積=B的面積 A的面積為：10X5=50平方厘米 計(jì)算B長方不知道的一邊寬度：505=10cm 按照?qǐng)D形可以知道原長方形的寬度為5+10=15cm 原長方的面積為：10X15=150 cm2 答：原長方形面積為150平方厘米 方程法題思路分析： 按照題中要求面積，因此需要知道長方形的長和寬，長度題目告訴為10cm，因此可以設(shè)寬為Ycm，因此原長方形面積為10Y平方厘米 我們來看變化后長方的長度為15cm，寬度為（Y-5）cm，那么面積為15X（Y-5）平方厘米，按照面積相等建立方程 10Y=15 X（Y-5），然后解方程 方程法解題過程： 解：設(shè)原長方形的寬為Ycm，縮短后的新長方形寬度為（Y-5）cm 按照面積相等列方程如下： 10Y=15 X（Y-5） 10Y=15Y-15X5 75=15Y-10Y 5Y=75 Y=15 cm 面積為：10X15=150 cm2 答：原長方形面積為150平方厘米 六、模塊二 ：經(jīng)典模型的應(yīng)用 在小學(xué)階段各種應(yīng)用題的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了很多不同的公式，大部分的公式都可以總結(jié)為：一個(gè)數(shù)X另一個(gè)數(shù)=乘積。 例如在平均數(shù)問題中有“平均數(shù)X數(shù)量=總數(shù)”，在行程問題中有“速度X時(shí)間=路程”, 雞兔同籠問題中有“每只雞的腿數(shù)X雞的只數(shù)=雞的總共腿數(shù)”…… 而長方形的面積公式恰好也是類似的公式“長X寬=面積”，那么我們就類比這個(gè)公式可以將其它問題都轉(zhuǎn)化為長方形的面積來處理，從而實(shí)現(xiàn)了將具體的應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為幾何方面 的面積問題 例1：早上8:00,小明從家里去學(xué)校，如果小明每分鐘走60米，恰好能不遲到，如果每分鐘少走10米，那么就會(huì)遲到6分鐘，那么小明家距離學(xué)校多少米？ 方程法解題思路分析 從題目看小明家到學(xué)校的距離沒法發(fā)生變化，但速度在前后兩次發(fā)生了變化，導(dǎo)致到學(xué)校的時(shí)間發(fā)生了變化，由于有距離、速度、時(shí)間出現(xiàn)，可以想到距離=速度X時(shí)間，從題目看速度知道，時(shí)間和距離不知道，考慮計(jì)算方便，我們可以設(shè)置剛好不遲到的時(shí)間為t分鐘，那么小明家到學(xué)校的距離可以表示為60t，當(dāng)速度減少10米/分鐘時(shí)，那么小明到學(xué)校的時(shí)間需要花（t+6）分鐘，因?yàn)榻档退俣群髸?huì)遲到6分鐘，那么小明家到學(xué)校的距離也可以表示為（60-10）X （t+6）=50t+300，因?yàn)榫嚯x沒有發(fā)生變化，前后兩次速度表示的距離應(yīng)該相等，因此可以用等式表示60t=50X（t+6）,然后解方程 方程法解題過程： 解：設(shè)小明按照60米/分鐘速度到學(xué)校的時(shí)間為t分鐘 根據(jù)距離不變，寫方程如下： 60t=（60-10）X（t+6） 60t=50t+50X6 10t=300 t=30 分鐘 距離為：60t=60X30=1800米 答：小明家到學(xué)校距離為1800米 矩形圖分析法解題思路分析： 由于距離=時(shí)間X速度，和長方形的面積公式：面積=長X寬 類型，因此可以考慮將時(shí)間看為長，速度看為寬，距離看作面積，這樣我們可以畫下圖圖形 速度為60米/分鐘：，可以畫出如下長方形 如果每分鐘少走10米，相當(dāng)于寬減少10米/分鐘，遲到6分鐘，可以認(rèn)為長度增加了6分鐘，按照距離不變，也就是A+ 斜線部分的面積和斜線部分+B的面積相等，也就是A=B的面積，從圖可以看出B的面積等于50X6=300，，因此A的面積也等于300，A的面積等于10XA的長，因此10XA的長=300，A的長度也就是時(shí)間=30，現(xiàn)在速度和時(shí)間都有了，計(jì)算距離就方便了：距離=速度X時(shí)間 距離=60X30=1800米 矩形圖分析法解題過程： 解： 按照題意，可以考慮假定長方形的長為時(shí)間，寬為速度，這樣可以畫出下圖 由于距離保持不變，也就是面積不變，因此A圖形面積等于B圖形面積 B的面積為50X6=300，因此A的長度為面積寬=30010=30 30就是按照60米/分鐘到學(xué)校不遲到的時(shí)間， 因此家到學(xué)校的距離為60X30=1800米 答：小明家到學(xué)校距離為1800米 例2：養(yǎng)豬專業(yè)戶王大伯說：“如果賣掉75頭豬，那么飼料可維持20夭，如果買進(jìn)100頭豬，那 么飼料只能維持15天?！眴枺和醮蟛还拆B(yǎng)了多少頭豬？ 方程解題法解題分析： 從題目看，飼料總數(shù)沒有發(fā)生變化，但豬的數(shù)量和能夠喂的天數(shù)在變化，因此考慮每天每頭豬吃的飼料是一樣的，從題目問有多少頭豬考慮，我們可以假設(shè)豬的數(shù)量為Y頭，因此賣掉75頭時(shí)，可以用下面的等式表示總飼料：賣掉后剩下的豬（Y-75）頭X喂的天數(shù)，也就是20X（Y-75） 如果是利用買家100頭豬后表示總飼料：買進(jìn)后總的豬（Y+100）頭X喂的天數(shù)，也就是15X（Y+100） 根據(jù)總飼料不變得等式：20X（Y-75）=15X（Y+100），然后解方程 方程解題法解題過程： 解：設(shè)王大伯一共養(yǎng)了Y頭豬 根據(jù)豬飼料總數(shù)不變，等方程20X（Y-75）=15X（Y+100） 20Y-20X75=15Y+15X100 5Y=1500+20X75 5Y=3000 Y=600 （頭） 答：王大伯一共養(yǎng)了600頭豬 矩形圖分析法解題分析： 從題目看，飼料總數(shù)沒有發(fā)生變化，但豬的數(shù)量和能夠喂的天數(shù)在變化，因此考慮每天每頭豬吃的飼料是一樣的，都為1份，那么總飼料份數(shù)=豬的數(shù)量X喂的天數(shù)；這個(gè)和長方形面積公式一致，我們考慮將豬的數(shù)量看為長，喂的天數(shù)看為寬；可以得如下長方形，如果不買不賣豬的數(shù)量為AI線段表示，天數(shù)為AC，飼料總數(shù)為ACKI的面積AIXAC；如果賣掉75頭豬，則剩余豬的數(shù)量為AH，線段HI=75頭，喂的天數(shù)為AD，20天（AD=20天），飼料總數(shù)為AHED的面積；如果買進(jìn)100頭豬，則豬的數(shù)量為AL，增加的100頭用IL表示IL=100頭：買進(jìn)豬后的天數(shù)為ML天，按照題目中條件天數(shù)為15天，因此ML=15天，總飼料數(shù)量為ALMB長方形的面積，由于總飼料沒有變化，因此長方形AHED和長方形ALMB的面積相等，從圖中可以看出長方形BGED的面積和長方形HLMG的面積相等，長方形HLMG的面積=HL X ML=（75+100）X 15； 長方形BGFD的面積=BGXBD=BGX（AD-AB）=BGX（20-15）=5BG 根據(jù)面積相當(dāng)BG=面積BD=面積5=（75+100）X 155=525 BG就是賣掉75頭后剩余的豬數(shù)量525頭，所以總豬的數(shù)量為AI=AH+HI=525+75=600頭 矩形圖分析法解題過程： 解： 根據(jù)題意可以畫出如下圖形，長方形的長表示豬的頭數(shù)，寬表示喂的天數(shù)，長方形的面積表示總飼料 按照總飼料不變，長方形BDEG的面積和長方形HLMG的面積相等 長方形HLMG的面積為（100+75）X15=2625 長方形BDEG的面積也為1625，該長方形寬BD=5，因此長方形長BG為16255=525 所以原先王大伯養(yǎng)的豬數(shù)量為AH+HI=525+75=600頭 答：王大伯一共養(yǎng)了600頭豬 盈虧法解題分析 這個(gè)題目我們根據(jù)題意可以這么理解，當(dāng)每頭豬分20桶飼料時(shí)，有75頭豬沒有分到飼料，因此如果要每頭豬都分到20桶飼料，那么還缺20X75桶飼料，這個(gè)是虧，如果每頭豬分15桶飼料時(shí)，還剩飼料，剩的飼料可以分給100頭豬，因此剩余的飼料為15X100桶，所以按照盈虧計(jì)算法，前后兩次的飼料總數(shù)差為：盈+虧=15X100+20X75=3000，導(dǎo)致飼料變化的原因是每次分的桶數(shù)不一樣導(dǎo)致的，因此兩次分的桶數(shù)差為：20-15=5桶 所以有豬的頭數(shù)為30005=600頭 盈虧法解題過程： 解： 按照題意，如果不買也不買豬考慮，如果每頭豬分20份飼料，就有75頭無法分到飼料；飼料缺份數(shù)為：20X75=1500份 如果每頭豬分15份飼料，剩余的飼料可以再分給100頭豬，因此飼料多的份數(shù)為：100X15=1500份 所以按照盈虧法計(jì)算養(yǎng)的豬的頭數(shù)為：（20X75+100X15）（20-15）=600 （頭） 答：王大伯一共養(yǎng)了600頭豬 分析法解題法解題分析： 下圖上半部分可以看出，賣掉75頭豬后，剩余的豬每頭豬都可以吃20天 當(dāng)不賣而是買回100頭豬時(shí)，如下圖的下半部分所示，那么每頭豬可以吃15天 吃15天時(shí)豬比可以吃20天時(shí)豬的數(shù)量多75+100=175頭豬，這就可以理解為原先賣完后剩余的豬，如果每頭豬拿出5天的飼料，可以滿足新增加的175頭豬吃15天，這樣就可以算出原先賣掉后剩余的豬數(shù)量為175X155=525頭，考慮原先賣掉的75頭，那么一共就是75+525=600頭豬 分析法解題過程： 解： 按照題意可以用下圖表示，豬數(shù)量和飼料、吃的天數(shù)的關(guān)系 從圖中看出，前后兩次豬的數(shù)量不一樣，吃15天時(shí)豬的數(shù)量比吃20天時(shí)豬數(shù)量多175頭 由于吃的天數(shù)相差5天，可以計(jì)算出第一次賣掉后剩下的豬數(shù)量為：175X155=525頭，考慮原先賣掉的75頭，那么一共就是75+525=600頭豬 答：王大伯一共養(yǎng)了600頭豬 練一練 一艘遠(yuǎn)洋輪船上共有28名海員，船上的淡水可以供全體海員用40天，輪船離開港口10 天后在海上救起了12名遇難的外國船員，剩下的淡水可以供船上的人用多少天？ 分析法解題法： 【解題分析】 從題目看是10天后，救起了12名船員，因此按照題意，在10天后，救起其他船員時(shí)，如果不救的情況28名船員還可以使用30天淡水，假設(shè)每個(gè)人一天使用一份水，這樣船上淡水總量為28X30份，但現(xiàn)在救起了12名，那么總的船員數(shù)量為28+12=40人，總的淡水份數(shù)人數(shù)就是天數(shù) 解題過程： 解： 按照題意，在救國外船員時(shí)，船上的淡水可以供28人使用30天，假設(shè)每個(gè)船員每天使用1份水，則船上有淡水30X28份 救起12人后，人數(shù)變?yōu)?0人，所以使用天數(shù)為28X3040=21天 答：剩下的淡水可以供船上的人用21天 矩形圖分析法： 【解題過程】 假設(shè)1個(gè)人1天用水1份，用橫線表示人數(shù)，用豎線表示天數(shù)，則面積就可以表示淡水總量，救人時(shí)單位總量可以表示為長方形ABCD的面積30X28 救人后船上人數(shù)增加12人，變成了40人，淡水使用天數(shù)會(huì)減少，因此淡水總量可以用長方形AEFG面積表示：AG人數(shù)XGF天數(shù)， 由于淡水總量不變，因此長方形ABCD的面積和長方形AEFG面積相等， 因此40 X GF=30X28 GF=30X2840=21 天 答：剩下的淡水可以供船上的人用21天 七、模塊三：矩形圖的其它用法 例1：有甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)零件.甲車間共20名工人，每人每天平均生產(chǎn)50個(gè)零件，乙車間每人每天平均生產(chǎn)40個(gè)零件，兩個(gè)車間每人每天平均生產(chǎn)44個(gè)零件.請(qǐng)問：乙車間有多少名工人？ 分析法解題法： 【解題分析】 從題目看我們知道每天平均生產(chǎn)44個(gè)，甲車間每個(gè)人生產(chǎn)50個(gè)，每個(gè)人比平均數(shù)多50-44=6個(gè)，那么甲車間20人一共比平均數(shù)多6X20=120個(gè)，但乙車間每個(gè)人只生產(chǎn)了40個(gè)，每個(gè)人要比平均數(shù)少4個(gè)，因此甲車間多的就要分給乙車間的工人，每個(gè)工人分4個(gè)，讓大家一樣多，到平均數(shù)，因此120個(gè)里有多少個(gè)4個(gè)，就是乙車間的人數(shù) 解題過程： 解： 甲車間每個(gè)人生產(chǎn)數(shù)比平均數(shù)多6個(gè)，總共多20X6=120個(gè) 乙車間每個(gè)人生產(chǎn)比平均數(shù)少4個(gè)，甲車間多的要分給乙車間每人4個(gè)才能是平均數(shù)，因此乙車間人數(shù)為1204=30 人 答：乙車間有30名工人 方程法解題法： 【解題分析】 從題目看我們不知道乙車間人數(shù)，因此可以考慮假設(shè)乙車間人數(shù)為Y人 那么乙車間生產(chǎn)數(shù)量為40Y 甲車間生產(chǎn)數(shù)量為50X20=1000 使用平均數(shù)計(jì)算總的生產(chǎn)數(shù)量為44 X（Y+20） 按照甲車間生產(chǎn)數(shù)量+乙車間生產(chǎn)數(shù)量=總數(shù)量寫方程 解題過程： 解： 設(shè)乙車間人數(shù)為Y人 甲車間生產(chǎn)數(shù)量為50X20=1000 乙車間生產(chǎn)數(shù)量為40Y 寫方程如下：（Y+20）X 44 = 40Y+1000 44Y+20X44=40Y+1000 44Y-40Y=100-880 4Y=120 Y=30 答：乙車間有30名工人 矩形圖分析法： 【解題過程】 我們考慮生產(chǎn)零件總數(shù)等于人數(shù)X每個(gè)人生產(chǎn)的數(shù)量，這個(gè)和長方形面積公式類似面積=長X寬；因此我們可以用長表示人數(shù)，寬表示每個(gè)人生產(chǎn)的數(shù)量，面積表示總數(shù) 從圖形可以看出長方形ABCD面積表示甲車間生產(chǎn)的數(shù)量，長方形DGJL面積表示乙車間生產(chǎn)的數(shù)量，長方形AEIL面積表示甲、乙車間生產(chǎn)的總數(shù)量，其面積為前面兩個(gè)長方形面積之和，因此推斷長方形BEFC和長方形GFIJ面積相等，從圖上可以看出BE=6，EF=20，IJ=4 所以GJ=SGFIJ IJ=SBEFC 4=EF X BE 4=20X6 4=30 所以乙車間人數(shù)為30人 答：乙車間有30名工人 例2: 園園買回3元一本和2元一本的兩種本子共20本，并用去56元，求買回來的兩種本子各多 少本？ 分析法解題法： 【解題分析】 按照題意，假設(shè)20本全部是3元一本的則需要20X3=60元，，比實(shí)際多用60-56=4元如果按照下圖將其中一本換成2元一本的則需要錢數(shù)位19X3+1X2=59元，如果是2本換成2元的則需要錢數(shù)為18X3+2X2=58元，因此推斷每降一本三元的換成1本2元的就少花1元，全部是3元一本的會(huì)多4元，那么需要將41=4本3元一本的換成2元一本的，則剛好需要56元，16X3+4X2=56元 解題過程： 解： 如果20本全部是3元一本，則需要錢數(shù)為：20X3=60元，多60-56=4元 如果將一本3元的換成2元一本的則可以少3-2=1元 41=4 將4本3元一本的換成2元一本的，則需要錢數(shù)（20-4）X3+ 4X2=56元，剛好 2元一本的4本 3元一本的本數(shù)：20-4=16本 答：2元一本的4本，3元一本的16本 方程法解題法： 【解題分析】 題目知道總本數(shù)，需要求每種本子的數(shù)量，又知道每本的價(jià)格及總錢數(shù)，因此考慮設(shè)其中的一種本子數(shù)量為Y本，則另外一種的本子數(shù)量為（20-Y）本按照總錢數(shù)等于每種本子的錢數(shù)和寫方程等式 解題過程： 解： 設(shè)2元一本的本數(shù)為Y本，3元一本的為（20-Y）本 2Y+3 X（20-Y）=56 2Y+60-3Y=56 60-56=3Y-2Y Y=4 3元一本的數(shù)量為（20-Y）=20-4=16本 乙車間生產(chǎn)數(shù)量為40Y 答：2元一本的4本，3元一本的16本 八、本講鞏固 8.1：某個(gè)長方形原本的長是20厘米，如果它的長減少4厘米，寬再增加5厘米，面積保持 不變，那么原本長方形的面積為多少？ 【解題過程】 按照題意，可以使用長方形ABCD表示原長方形，長AB=20cm，長度減少4cm，寬度增加5cm后變成長方形AHFE，長AH=EF=20-4=16cm 由于原長方形和新長方形面積相等，所以長方形DEFG的面積和長方形BCGH面積相等；SDEFG =EF X DE=16 X 5=80cm2 ； 所以SBCGH =CG X BC== SDEFG =80cm2 BC=80CG=804=20cm 所以SABCD=AB X BC =20X20=400 cm2 答：原本長方形的面積為400 cm2 8.2：小明有若干粒巧克力，如果每天吃10 粒，那么正好整數(shù)天吃完，如果每天少吃2 粒，正好可以多吃5天，那么小明原本共有多少粒巧克力？ 矩形圖分析法： 【解題過程】 總巧克力數(shù)量等于每天吃的粒數(shù)X吃的天數(shù)，這個(gè)和長方形面積公式類似面積=長X寬；因此我們可以用長表示天數(shù)，寬表示每天吃的數(shù)量，面積表示總巧克力數(shù)量 從圖形可以看出長方形ABCD面積表示每天吃10粒時(shí)巧克力總數(shù)量，長方形AEFH面積表示每天吃8粒時(shí)巧克力總數(shù)量，由于巧克力總數(shù)量不變，因此長方形DEGC和長方形BGFH的面積相等，從圖上可以看出BH=5，BG=8，CG=2 BGFH的面積：BH X BG=5X8=40，因此長方形DEGC的面積也為40 EG=40 CG=40 2=20 從圖上看出EG=AB，所以AB=20，因此每天吃10粒的天數(shù)為20天 巧克力粒數(shù)為：20X10=200粒 答：小明原本共有200粒巧克力 方程法解題法： 【解題分析】 從提題目知道每天吃的巧克力的粒數(shù)，因此如果知道天數(shù)就可以方便的算出總巧克力粒數(shù)，因此我們可以考慮假設(shè)每天吃10粒的天數(shù)為Y天，按照總數(shù)=每天的粒數(shù)X天數(shù)，同時(shí)總數(shù)不變寫方程，解方程 解題過程： 解： 設(shè)每天10?？梢猿訷天，那么每天少吃2粒，也就是每天8粒時(shí)，吃的天數(shù)為（Y+5）天，寫方程如下 10Y =8 X （Y+5） 10Y-8Y=8X5 2Y=40 Y=20 天 巧克力總粒數(shù)：20X10=200粒 答：小明原本共有200粒巧克力 8.3：早上8 :00，小明從家里去學(xué)校，如果小明每分鐘走60米，恰好能不遲到，如果每 分鐘多走10米，那么就會(huì)提前5分鐘到達(dá)，那么小明家距離學(xué)校多少米？ 矩形圖分析法： 【解題過程】 距離=速度X時(shí)間，這個(gè)和長方形面積公式類似面積=長X寬；因此我們可以用長表示時(shí)間，寬表示速度，面積表示距離 從圖形可以看出長方形ABCD面積及長方形AEFH面積都可以表示小明家道學(xué)校的距離，因此長方形DEFG和長方形BCGH的面積相等，從圖上可以看出BH=5，BC=60，F(xiàn)G=10 BCGH的面積：BC X BH=60X5=300，因此長方形DEFG的面積也為300 DG=300 GF=300 10=30 DG表示按照70米/分鐘速度到學(xué)校的時(shí)間30分鐘，所以距離為：70X30=2100米 答：小明家距離學(xué)校2100米 方程法解題法： 【解題分析】 根據(jù)：距離=速度X時(shí)間，從題目知道速度，因此可以設(shè)時(shí)間為Y，然后根據(jù)距離不變寫方程，解方程 解題過程： 解： 設(shè)每分鐘60米速度到學(xué)校時(shí)間為Y分鐘，那么速度增加10米/分鐘后，到學(xué)校時(shí)間為（Y-5）分鐘，按照距離相等寫方程如下 70X（Y-5） =60Y 70Y-60Y=70X5 10Y=350 Y=35 分鐘 距離：60X35=2100米 答：小明家距離學(xué)校2100米 8.4：某次考試，四年級(jí)一班的同學(xué)平均分是86分，四年級(jí)二班的同學(xué)平均分是91分，兩 個(gè)班的總平均分是89分，已知一班有30人，那么二班有多少人？ 矩形圖分析法： 【解題過程】 總分=每個(gè)學(xué)生分?jǐn)?shù)X人數(shù)，這個(gè)和長方形面積公式類似面積=長X寬；因此我們可以用長表示人數(shù)，寬表示每個(gè)學(xué)生分?jǐn)?shù)，面積表示總分 從圖形可以看出長方形ABCD面積可以表示二班總分，長方形DGJL面積可以表示一班總分；長方形AEIL面積表示一、二班一共的總分，其面積為ABCD面積、DGJL面積兩個(gè)長方形面積之和，因此推斷長方形BEFC和長方形GFIJ面積相等，從圖上可以看出BE=91-89=2，DL=30，IJ=AE-JL=89-86=3 所以BC= SBEFC BE= SGFIJ 2=IJ X GJ 2=3X30 2=45 所以二班人數(shù)為45人 答：二班有45人 方程法解題法： 【解題分析】 根據(jù)：總分=每個(gè)學(xué)生分?jǐn)?shù)X人數(shù)，從題目知道每個(gè)人平均分和一班人數(shù)，因此可以設(shè)二班人數(shù)為Y人，然后根據(jù)總分不變寫方程，解方程 解題過程： 解： 設(shè)二班人數(shù)為Y人，一二班總?cè)藬?shù)為（30+Y）人，寫方程如下 91Y + 86 X 30 =89X（30+Y） 91Y-89Y=89X30 - 86 X 30 2Y=（89-86）X 30 Y=45 人 答：二班有45人 分析法解題法： 【解題分析】 從題目看我們知道兩個(gè)班總平均分為89分，一班平均分為86分，有30個(gè)人，，因此需要滿足兩個(gè)班的總平均分，還差 （89-86）X30 = 90分，這個(gè)需要二班高于總平均分部分來給一班；一班平均分為91分，平均每個(gè)人要比總平均數(shù)多2分，那需要多少個(gè)人才能提供一班少的90分呢，因此算90分里有多少個(gè)2分，這樣就可以算出二班人數(shù) 解題過程： 解： 一班平均分比比總平均數(shù)少3分，30個(gè)人總共少30X3=90個(gè) 二班平均分比總平均分多2分，就是每個(gè)人比總平均分舵多2分，因此二班人數(shù)X2=一班總少的份數(shù) 二班人數(shù)：902=45 人 答：二班有45人 8.5：在已考的5次考試中，張明的平均成績?yōu)?80分（每次考試的滿分是100分），為了使 平均成績盡快達(dá)到92分或以上，他至少還要連考多少次滿分？ 矩形圖分析法： 【解題過程】 總分=每次考的分?jǐn)?shù)X次數(shù)，這個(gè)和長方形面積公式類似面積=長X寬；因此我們可以用長表示考試次數(shù)，寬表示每次考的分?jǐn)?shù)，面積表示總分 用長方形ABCD面積可以表示考100分次數(shù)的總分，長方形DGJL面積可以表示平均80分的5次的總分；長方形AEIL面積表示總的考試次數(shù)的總分，其面積為ABCD面積、DGJL面積兩個(gè)長方形面積之和，因此推斷長方形BEFC和長方形GFIJ面積相等，從圖上可以看出BE=100-92=8，F(xiàn)I=GJ=DL=5，IJ=FG=AE-JL=92-80=12 所以BC= SBEFC BE= SGFIJ 8=IJ X GJ 8=12X5 8=608=7 … 4 所以至少要連考8次100分平均分才能達(dá)到92分以上 答：張明至少還要連考8次滿分 方程法解題法： 【解題分析】 根據(jù)：總分=每次考的分?jǐn)?shù)X次數(shù)，從題目知道平均分92分、平均分80分機(jī)平均80分的次數(shù)，還有考100分，但考100分次數(shù)不知道，因此可以設(shè)考100分的次數(shù)為Y次，然后根據(jù)總分不變寫方程，解方程 解題過程： 解： 設(shè)考100分的次數(shù)為Y次，總的考試次數(shù)為（5+Y）次，寫方程如下 100Y + 80 X 5 =92X（5+Y） 100Y-92Y=92X5 - 80 X 5 8Y=（92-80）X 5 Y=7 …4 因此次數(shù)為8次 答：張明至少還要連考8次滿分 九、復(fù)習(xí)鞏固 9.1：松松和星星兩家相距2016米，兩人從各自家中同時(shí)出發(fā)，向?qū)Ψ郊抑星斑M(jìn)，松松每秒走 1米，星星每秒走2米.那么多少秒之后兩人之間的距離還剩下216米？ 分析法解題法解題分析： 根據(jù)題目可以畫出如下示意圖，在松松走到A點(diǎn)，星星走到B點(diǎn)時(shí)，他們相距216米，因此AB=216，知道松松和星星家之間的總距離為2016米，因此他們一共走的距離為2016-216=1800米，然后按照距離=速度X時(shí)間方式計(jì)算時(shí)間：時(shí)間=距離速度 解題過程： 解： 按照題意可以畫出上圖示意圖，AB表示他們相距216米 他們一共走的距離為2016-216=1800米 松松的速度為1米/秒，星星的速度為2米/秒，他們總的速度為1+2=3米/秒 按照時(shí)間=距離速度得 時(shí)間：18003=600秒 答：600秒之后兩人之間的距離還剩下216米 方程法解題法解題分析： 題目中有速度、距離、時(shí)間，因此想到 距離=速度X時(shí)間的公式，從題目知道總距離、速度，最后兩個(gè)人得距離，要求時(shí)間，因此我們可以考慮設(shè)走的時(shí)間為T秒，然后根據(jù)每個(gè)人走的路程、總路程來寫方程，解方程 解題過程： 解：設(shè)T秒之后兩人之間的距離還剩下216米，根據(jù)總路程寫方程如下 1T + 2T+216 =2016 3T=1800 T=600 (秒) 答：600秒之后兩人之間的距離還剩下216米 9.2：松松和星星在進(jìn)行賽跑，兩人處于同一起跑線，由于松松跑得慢，所以星星讓松松先 跑了6秒，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)終點(diǎn).已知松松的速度每秒3米，星星的速度是每秒5米，那 么松松一共跑了多少秒？他們比賽的路程是多少米？ 分析法解題法解題分析： 根據(jù)題目可以畫出如下示意圖，在松松從A跑到C點(diǎn)是先跑6秒跑的距離，其距離為3X6=18米，當(dāng)松松在C點(diǎn)繼續(xù)跑時(shí)，星星開始從A點(diǎn)跑，由于他們同時(shí)到B點(diǎn)終點(diǎn)，因此星星從A到B的時(shí)間和松松從C到B點(diǎn)跑的時(shí)間一樣，所以星星在到達(dá)B點(diǎn)時(shí)比松松多跑18米，但用的時(shí)間一樣。 從題目中知道松松的速度為3米/秒，星星的速度為5米/秒，因此如果他們都跑1秒時(shí)，星星跑5米，松松跑3米，星星每秒多跑2米，從前面分析，星星多跑了18米，那么星星跑的時(shí)間為182=9秒 解題過程： 解： 按照題意可以畫出上圖示意圖，AC為松松先跑的距離：3X6=18米； 松松從C跑到終點(diǎn)B和星星從A跑到終點(diǎn)B的時(shí)間一樣，但星星多跑了18米，按照速度差X時(shí)間=距離差，知道時(shí)間=距離差速度差 星星跑的時(shí)間為：18（5-3）=9秒 松松先跑6秒，松松跑的時(shí)間為：9+6=15秒 按照距離=時(shí)間X速度得，A到B的距離：5 X 9 = 45米 答：松松一共跑了15秒；他們比賽的路程是45米 方程法解題法解題分析： 題目中有速度、距離、時(shí)間，因此想到 距離=速度X時(shí)間的公式，從題目知道兩個(gè)人各自的速度，距離和時(shí)間不知道，但兩個(gè)人比賽跑的距離相等，為了方便計(jì)算，可以考慮星星跑的時(shí)間為T秒，那么松松先跑6秒，因此松松跑的時(shí)間為（T+6）秒然后根據(jù)每個(gè)人跑的路程一樣來寫方程，解方程 解題過程： 解： 設(shè)星星跑了T秒到終點(diǎn)，松松跑了（T+6）秒，根據(jù)兩個(gè)人跑的距離一樣寫方程如下 5T=3X（T+6） 5T-3T=3X6 2T=18 T=9 (秒) 松松跑的時(shí)間：T+6=9+6=15秒 距離為：5X9=45米 答：松松一共跑了15秒；他們比賽的路程是45米 9.3：甲、乙、丙、丁在比較他們的身高，甲說:“我最高.”乙說:“我不最矮.”丙 說：“我沒甲高，但還有人比我矮.”丁說：“我最矮.”實(shí)際測(cè)量的結(jié)果表明，只有一人說錯(cuò)了.請(qǐng)將他們按身高次序從高到矮排列 出來. 【解題過程】 解：按照題意可以畫出下表 最高 第二高 第二矮 最矮 甲 甲 乙 可能乙 可能乙 丙 可能丙 可能丙 丁 丁 1） 從上面表格看，如果丁錯(cuò)，那么其他人是正確的，就沒有最矮的人，因此丁說的是對(duì)的 2） 如果甲是對(duì)的話，加上定也是對(duì)的，乙和丙，無論誰在第二高或者第二矮，都成立，這樣就沒有錯(cuò)的，因此甲不能正確，因此甲說錯(cuò)了 3） 甲錯(cuò)了，他不在最高，乙、丙都是對(duì)的，因此按照丙說沒有甲高，有人比我矮，推斷甲在第二高，丙在第二矮，這樣乙在最高和他說不是最矮相一致 4） 所以身高順序?yàn)椋阂?、甲、丙、丁，如下圖 最高 第二高 第二矮 最矮 甲 甲 乙 乙 丙 丙 丁 丁 答：身高順序從高到矮排列：乙、甲、丙、丁 .