太原理工大學碩士數(shù)理統(tǒng)計期末復習重點.doc

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13 太原理工大學碩士數(shù)理統(tǒng)計重點 1統(tǒng)計量與抽樣分布 1.1基本概念： 總體X的樣本X1，X2，…，Xn，則T(X1，X2，…，Xn)即為統(tǒng)計量 樣本均值 樣本方差 修正樣本方差 樣本k階原點矩 樣本k階中心矩 經(jīng)驗分布函數(shù) 其中Vn(x)表示隨機事件出現(xiàn)的次數(shù),顯然,則有 n n l 二項分布B(n,p): EX=np DX=np(1-p) l 泊松分布: l 均勻分布U(a,b): l 指數(shù)分布: l 正態(tài)分布: 當時， 1.2統(tǒng)計量： T是θ的充分統(tǒng)計量與θ無關 T是θ的完備統(tǒng)計量要使E[g(T)]=0,必有g(T)=0 且h非負T是θ的充分統(tǒng)計量 T是θ的充分完備統(tǒng)計量 是的充分完備統(tǒng)計量 1.3抽樣分布： 分布： T分布： 當n>2時，ET=0 F分布： 補充： n Z=X+Y的概率密度 f(x,y)是X和Y的聯(lián)合概率密度 n 的概率密度 n 的概率密度 l 函數(shù)： l B函數(shù)： 1.4次序統(tǒng)計量及其分布： X(k)的分布密度： X(1)的分布密度： X(n)的分布密度： 2參數(shù)估計 2.1點估計與優(yōu)良性： 的均方誤差： 若是無偏估計，則 對于的任意一個無偏估計量，有，則是的最小方差無偏估計， 記MVUE 相合估計(一致估計): 2.2點估計量的求法： 矩估計法： 1　 求出總體的k階原點矩: 2　 解方程組 (k=1,2,...,m)，得即為所求 最大似然估計法： 1　 寫出似然函數(shù)，求出lnL及似然方程 i=1,2,...,m 2　 解似然方程得到，即最大似然估計 i=1,2,...,m 補充： n 似然方程無解時，求出的定義域中使得似然函數(shù)最大的值，即為最大似然估計 2.3MVUE和有效估計： T是的充分完備統(tǒng)計量，是的一個無偏估計為的惟一的MVUE 最小方差無偏估計的求解步驟： 1　 求出參數(shù)的充分完備統(tǒng)計量T 2　 求出，則是的一個無偏估計 或求出一個無偏估計，然后改寫成用T表示的函數(shù) 3　 綜合，是的MVUE 或者：求出的矩估計或ML估計，再求效率，為1則必為MVUE T是的一個無偏估計，則滿足信息不等式，其中或，為樣本的聯(lián)合分布。 最小方差無偏估計達到羅-克拉姆下界有效估計量效率為1 無偏估計的效率： 是的最大似然估計，且是的充分統(tǒng)計量是的有效估計 2.4區(qū)間估計： 一個總體的情況： 已知，求的置信區(qū)間： 未知，求的置信區(qū)間： 已知，求的置信區(qū)間： 未知，求的置信區(qū)間： 兩個總體的情況：， 均已知時，求的區(qū)間估計： 未知時，求的區(qū)間估計： 未知時，求： 非正態(tài)總體的區(qū)間估計： 當時， ，故用Sn代替Sn-1 3統(tǒng)計決策與貝葉斯估計 3.1統(tǒng)計決策的基本概念：三要素、統(tǒng)計決策函數(shù)及風險函數(shù) 三要素：樣本空間和分布族、行動空間（判決空間）、損失函數(shù) 統(tǒng)計決策函數(shù)d(X):本質(zhì)上是一個統(tǒng)計量，可用來估計未知參數(shù) 風險函數(shù)：是關于的函數(shù) 3.2貝葉斯估計： 1　 求樣本X=(X1,X2,...,Xn)的分布： 2　 樣本X與的聯(lián)合概率分布： 3　 求關于x的邊緣密度 4　 的后驗密度為： 取時 的貝葉斯估計為： 貝葉斯風險為： 取時，貝葉斯估計為： 補充： n 的貝葉斯估計：取損失函數(shù)，則貝葉斯估計為 n 3.3minimax估計 對決策空間中的決策函數(shù)d1(X),d2(X),...，分別求出在上的最大風險值 在所有的最大風險值中選取相對最小值，此值對應的決策函數(shù)就是最小最大決策函數(shù)。 4假設檢驗 4.1基本概念： 零假設通常受到保護，而備選假設是當零假設被拒絕后才能被接受。 檢驗規(guī)則：構(gòu)造一個統(tǒng)計量T(X1,X2,...,X3)，當H0服從某一分布，當H0不成立時，T的偏大偏小特征。據(jù)此，構(gòu)造拒絕域W 第一類錯誤（棄真錯誤）： 第二類錯誤（存?zhèn)五e誤）： 勢函數(shù)： 當時，為犯第一類錯誤的概率 當時，為犯第二類錯誤的概率 4.2正態(tài)總體均值與方差的假設檢驗： 一個總體的情況： 已知，檢驗： 未知，檢驗： 已知，檢驗： 未知，檢驗： 兩個總體的情況：， 未知時，檢驗： 未知時，檢驗： 單邊檢驗：舉例說明，已知，檢驗： 構(gòu)造，給定顯著性水平，有。當H0成立時，因此。故拒絕域為 4.3非參數(shù)假設檢驗方法： 擬合優(yōu)度檢驗: 其中Ni表示樣本中取值為i的個數(shù)，r表示分布中未知參數(shù)的個數(shù) 科爾莫戈羅夫檢驗： 實際檢驗的是 斯米爾諾夫檢驗： 實際檢驗的是 4.4似然比檢驗 明確零假設和備選假設： 構(gòu)造似然比： 拒絕域： 5方差分析 5.1單因素方差分析： 數(shù)學模型,(i=1,2,...,m;j=1,2,...,ni) 總離差平方和 組內(nèi)離差平方和 組間離差平方和 當H0成立時， 構(gòu)造統(tǒng)計量，當H0不成立時，有偏大特征 且 應用： n 若原始數(shù)據(jù)比較大而且集中，可減去同一數(shù)值再解題 n 輔助量： 5.2兩因素方差分析： 數(shù)學模型,(i=1,2,...,r;j=1,2,...,s) 總離差平方和 組內(nèi)離差平方和 因素B引起的離差平方和 當H0成立時， 因素A引起的離差平方和 當H0成立時， 輔助量： 構(gòu)造統(tǒng)計量： 6回歸分析 6.1一元線性回歸： 回歸模型：i=1,2,...,n. 的估計： 分布： 的估計： 6.2多元線性回歸： 回歸模型： i=1,2,...,n. 參數(shù)估計： 7多元分析初步 7.1定義及性質(zhì)： 其中為X的均值向量，為X的協(xié)方差矩陣 Y=CX+b，則 若，剛 7.2參數(shù)的估計與假設檢驗： 樣本均值向量 樣本離差陣 最大似然估計 最小方差無偏估計