江西省萍鄉(xiāng)市高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.7.3 球課件 北師大版必修2.ppt

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7.3球,1.理解球的截面,并能解決相關問題.2.了解圓的切線的相關概念,記住球的表面積和體積公式.3.會用球的表面積公式和體積公式進行有關計算,并能解決一些簡單的實際問題.,1.球的截面(1)如圖,用一個平面α去截半徑為R的球O,截面是圓面O,則球心與截面圓心的連線OO垂直于截面.設球心到截面的距離為d,☉O的半徑為r,則有如下關系:R2=r2+d2.(2)球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫作球的大圓;被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫作球的小圓.2.球的切線當直線與球有唯一交點時,稱直線與圓相切,其中它們的交點稱為直線與球的切點,過球外一點的所有切線的長度都相等.,,,,,,,3.球的體積4.球的表面積設球的半徑為R,那么它的表面積S=4πR2.說明:(1)球的表面積和體積公式均是關于球的半徑的函數(shù).(2)球的表面不像柱體、錐體和臺體那樣可以展開在一個平面上,即使是球面上任意小的一塊,也不能展開在一個平面上,因此球的表面沒有展開圖.,,,,【做一做1】直徑為6的球的表面積和體積分別是()A.144π,144πB.144π,36πC.36π,144πD.36π,36π答案:D【做一做2】8個半徑為1的鐵球,熔化成一個大球,則大球的表面積是.答案:16π,【做一做3】過球的某一條半徑的中點,作一個垂直于這條半徑的截面,截面面積為48πcm2,求球的表面積.,題型一,題型二,題型三,題型四,【例1】在球內(nèi)有相距為1的兩個平行截面,截面面積分別是5π和8π,球心不在兩截面之間,求球的表面積.分析:求球的表面積或體積只需要求出球的半徑,要求球的半徑只需解球的半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離組成的直角三角形.,題型一,題型二,題型三,題型四,解:設球的半徑為R,過截面圓圓心作垂直于截面的球的軸截面(過軸的截面),如圖所示.圓O是圓心在球心的圓,A1B1,A2B2分別是兩個平行截面圓的直徑.過圓心O作OC1垂直A1B1于點C1,并延長交A2B2于點C2.因為A1B1∥A2B2,所以OC2⊥A2B2.由圓的性質(zhì)可得,C1和C2分別是A1B1和A2B2的中點.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思球的軸截面(過球心的截面)是將球的問題轉化為圓的問題的關鍵,因此必須抓住球的軸截面,利用其性質(zhì)列出方程(組),求球的半徑,進而解決問題.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓練1】三個球的半徑之比為1∶2∶3,則最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的()答案:C,題型一,題型二,題型三,題型四,反思計算球的體積或體積的簡單應用都需要認真解決球的半徑問題.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓練2】一個平面截一球得到直徑為6cm的圓面,球心到這個截面的距離為4cm,則球的體積為.解析:如圖所示,由已知,O1A=3cm,OO1=4cm,∴R=OA=5cm,,題型一,題型二,題型三,題型四,【例3】在球面上有四個點P,A,B,C,如果PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a,求這個球的體積.分析:因為PA,PB,PC是兩兩互相垂直且相等的三條棱,所以可以將三棱錐P-ABC看成一個正方體的一角,P,A,B,C四點在球面上,所以此球可視為以PA,PB,PC為相鄰三條棱的正方體的外接球,其直徑為正方體的體對角線.,題型一,題型二,題型三,題型四,解:設球的半徑為R,因為PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a,所以以PA,PB,PC為相鄰三條棱可以構造正方體.又因為P,A,B,C是球面上的四點,所以球是所構造的正方體的外接球,正方體的體對角線是球的直徑,,反思與球有關的組合體問題,通常有兩種情況:一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時要認真分析圖形,明確切點和接點的位置,確定有關元素間的數(shù)量關系,并作出合適的截面圖.球與旋轉體的組合,通常作它們的軸截面,球與多面體的組合,通常通過多面體的一條側棱和球心,或“切點”“接點”作出截面圖.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓練3】有三個球,第一個球內(nèi)切于正方體,第二個球與這個正方體各條棱相切,第三個球過這個正方體的各個頂點,求這三個球的表面積之比.解:設正方體的棱長為a.①正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心,切點是六個正方形的中心,經(jīng)過四個切點及球心作截面,如圖甲,所以有2r1=a,,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,易錯點:考慮問題不全而致誤【例4】一個球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面,面積分別為49πcm2和400πcm2,求球的表面積.錯解:如圖所示,設OD=xcm,由題意知πCA2=49π,∴CA=7cm.又πBD2=400π,∴BD=20cm.設球的半徑為Rcm,則有(CD+DO)2+CA2=R2=OD2+DB2,即(9+x)2+72=x2+202,∴x=15,R=25.∴S球=4πR2=2500πcm2.錯因分析:本題出現(xiàn)錯解的原因在于考慮不周,由于球心可能在兩個截面之間,也可能在兩個截面的同一側,因此解決此題要分類討論.,題型一,題型二,題型三,題型四,正解:(1)當球心在兩個截面的同側時,解法同錯解.(2)當球心在兩個截面之間時,如圖所示,設OD=x,則OC=9-x.設球的半徑為R,可得x2+202=(9-x)2+72=R2,此方程無正數(shù)解,即此種情況不可能.綜上可知,球的表面積是2500πcm2.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓練4】設球O的半徑為5,一個內(nèi)接圓臺的兩底面半徑分別是3和4,求圓臺的體積.解:如圖所示,分兩種情況,,12345,,,,,,答案:B,12345,,,,,,2.如果兩個球的半徑之比為1∶3,那么這兩個球的表面積之比為()A.1∶9B.1∶27C.1∶3D.1∶1解析:設兩個球的半徑分別為R1,R2,答案:A,12345,,,,,,3.兩個球的表面積之差為48π,它們的大圓周長之和為12π,則這兩個球的半徑之差為()A.4B.3C.2D.1解析:設兩個球的半徑分別為R,r(R>r).由題意,知答案:C,12345,,,,,,4.一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上,如果正四棱柱的底面邊長為1cm,那么該正四棱柱的側面積為.,12345,,,,,,5.某個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m).求:(1)該幾何體的表面積(結果保留π);(2)該幾何體的體積(結果保留π).,12345,,,,,,