E0716334等積變形中的面積重疊問題.ppt

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等積變形中的面積重疊問題,首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(100048)周春荔,在圖形問題中,已知圖形面積經(jīng)常出現(xiàn)重疊部分,巧妙地運用面積重疊部分,對我們解題是有益的，并往往產(chǎn)生妙趣橫生、引人入勝的效果。,（I）兩個面積相等的圖形疊放在一起，則這兩個圖形在重疊之外的部分的面積相等。（I）的圖示,覆蓋中有重疊，數(shù)量關(guān)系有趣,（II）設(shè)k個小圖形面積之和為S，將這k個小圖形放入一個面積恰為S的大圖形內(nèi)（這k個小圖形沒有同時3個重疊的部分），則在面積為S的大圖形內(nèi)未被蓋住部分面積之和，等于k個小圖形重疊部分的面積。,（II）的圖示,例1.△ABC的面積為1,中線BM,CN相交于G.求△BGC的面積.,注意看圖！,陳省身爺爺說：數(shù)學(xué)好玩！,解:△ABM與△CAN的面積都等于0.5.其面積和等于△ABC的面積1.因此，沒蓋住的△BCG的面積就等于重疊部分ANGM的面積.連接AG，設(shè)△AGN面積為x,△AGM面積為y.則于是得x+y=1/3。即ANGM的面積等于1/3，也就是△BGC的面積等于1/3.,,仰望天空，腳踏實地。,例2.如圖梯形ABCD中，AB//DC.綠色三角形的面積是14平方厘米，紅色部分的面積是29.5平方厘米。問：黃色三角形的面積是多少平方厘米？答：黃色三角形的面積是15.5平方厘米。,看圖：,,答：涂紅色兩塊圖形的面積大。,例3.右圖所示為一個長方形.AE:ED=9:5,BF:FC=7:4.問：涂紅色的兩塊圖形的面積與涂藍色的兩塊圖形的面積相比較，哪個大?請說明理由.,美麗花瓣中的數(shù)學(xué)問題,例4.右圖是一個對稱的圖形（由分別與一個大圓相切的四個共點的小的等圓組成），問黑色部分面積大還是陰影部分面積大？,答：一樣大。,理由：因為是對稱圖形，四個小圓半徑相等，且恰好是大圓半徑的一半。這樣，每個小圓面積等于大圓面積的1/4，四個小圓面積之和正好等于大圓面積。陰影部分是四個小圓相重迭的部分，而黑色部份則是由于重迭而空余出來的部分，所以這兩部份面積相等。,數(shù)學(xué)思維是美妙的,右圖是一個園林的規(guī)劃圖，其中，正方形的3/4是草地；圓的6/7是竹林；竹林比草地多占地450平方米.問：水池占地多少平方米?,答：水池占地150平方米。,解：把水池的面積作為1個單位，那么草地的面積便是3個單位，而竹林面積是6個單位。（這是由于把正方形面積分作4等分時，草地占3份而水池占l份；同理，把圓面積分成7等份時，竹林占6份而水池占1份）。從而竹林比草地多出的面積，是6－3＝3個單位。3個單位的面積是450平方米，可見1個單位的面積是4503＝150平方米，這就回答了題中所問的問題。,六角形的花瓣，美妙的思維，簡潔的答案,例6．如圖所示,在面積為S平方厘米的圓O中,有一個內(nèi)接的正六邊形ABCDEF,其面積為S0。陰影部分是以該正六邊形的3個頂點B、D、F為圓心，正六邊形邊長為半徑的圓弧圍成，求陰影部分的面積等于多少平方厘米?,想一想，你觀察到其中的奧妙了嗎？,提示：分別以B、D、F為圓心，正六邊形邊長為半徑的圓扇形，其面積都是圓O面積的1/3。三個扇形總面積等于圓O的面積S，并且重疊覆蓋在圓O內(nèi)部。陰影花瓣為重疊部分，面積為S0的六邊形外的六個弓形是未被蓋住的部分。根據(jù)面積重疊原理Ⅱ，陰影花瓣部分的面積等于S-S0平方厘米。,想一想，試變條件作推廣。,思考：如圖所示,在面積為S平方厘米的圓O中,有一個內(nèi)接的正六邊形ABCDEF,其面積為S0。陰影部分是以該正六邊形的6個頂點為圓心，正六邊形邊長為半徑的圓弧圍成，求陰影部分的面積等于多少平方厘米?（答:等于2S-2S0平方厘米）。,,例7．點E和F分別是正方形ABCD的邊BC和CD的中點。線段AE和BF交于點K。問三角形AKF與四邊形KECF的面積哪個大？答：三角形AKF的面積大。,提示：△PBM、△QMN、△RNC面積之和與長方形EBCF的面積相等，都等于60平方厘米。所以沒重疊的部分面積相等。易知等于15平方厘米。,例8.長方形ABCD的面積為120平方厘米.EF是一組對邊AB、CD的中點連線.M、N是BC邊上兩點，P、Q、R為AD邊上的點。試求圖中4塊陰影面積的總和是多少平方厘米？,例9．如圖所示長方形ABCD的面積為120平方厘米.四邊形OEFG的面積是9平方厘米。試求圖中3塊陰影圖形的總面積。,提示：△AFC、△DBF面積之和為60平方厘米.中間有重疊部分四邊形OEFG的面積是9平方厘米。所以圖中非陰影部分面積為60-9=51平方厘米。因此圖中3塊陰影圖形的總面積為69平方厘米。,數(shù)學(xué)是鍛煉思維的健美操,例10.如圖，圓O中直徑AB與CD互相垂直.AB=10厘米。以C為圓心，CA為半徑畫得.則月牙形（陰影部分）的面積是平方厘米.,,,答：月牙形的面積是25平方厘米.,理由：半圓的面積=平方厘米?！鰽BC的面積=25平方厘米.所以AC2=50.扇形的面積=半圓ABD的面積。根據(jù)面積重疊原理（I）可知：月牙形（陰影部分）的面積=△ABC的面積=25平方厘米.,,,數(shù)學(xué)是理性思維的演練場,例11.如圖正方形面積為16平方厘米.A點在矩形DEGF的邊EF上,G點在BC上.若FG與AB交于點P,求△PAF與△PBG面積之差是多少平方厘米?,答：△PAF與△PBG面積之差是2.16平方厘米,提示:連接AG.易知正方形ABCD邊長為4厘米.△ADG面積為8平方厘米.也就是矩形DEGF的面積為16平方厘米.所以厘米.可以求得AE=2.4厘米,CG=3厘米.由重疊原理,知S①+S③=S②+S④.所以S①-S②=S④-S③.而S④=6平方厘米,S③=3.84平方厘米.所以S①-S②=S④-S③=6-3.84=2.16平方厘米.,,例12．如右圖所示,是一個正方形，幾塊陰影部分的面積如圖所示，則四邊形的面積為____。,答.24.解：假設(shè)是“房間”，是“地毯”.因為△AND面積=△CDM面積=0.5ABCD的面積，如果這兩個地毯不重疊，它們完全可以覆蓋房間.因此，重疊部分的面積即等于未被覆蓋表面的面積，即DPQR面積=△APM面積+？面積+△CRN面積，所以，“？面積”=51-15-12=24.,數(shù)學(xué)是個好東西，社會主義需要數(shù)學(xué),例13.在面積是1的正方形ABCD中,如圖,E為BC上一點,BE=2CE,F為CD上一點,CF=2DF，連接AE，AF分別交BD于M，N.試求兩個陰影三角形面積的和.,,解：易知，△ABE的面積=，△ADF的面積=.△ABD的面積=.顯然，△ABE的面積與△ADF的面積之和等于△ABD的面積，由覆蓋重疊原理可知，兩個陰影部分三角形面積的和，等于△AMN的面積.因此，要求兩個陰影三角形面積的和，只需求出△AMN的面積即可.而要求△AMN的面積，只需計算出MN：BD就可以了.為此，連接BF，DE.△ABF的面積與△ADE的面積都等于.由于，所以，所以。因此所以也就是，題圖中兩個陰影三角形面積的和=,,,,,,,,,,,,,,數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙,例14.如圖，半徑為5厘米的大圓內(nèi)有半徑為3厘米和4厘米的兩個小圓.兩個小圓與大圓都只有一個公共點，分別是P和Q.如果兩個小圓相交部分的面積為15平方厘米，陰影（甲）的面積為7平方厘米，則陰影（乙）的面積為多少平方厘米.,答：陰影（乙）的面積為8平方厘米.,解：大圓面積是平方厘米，兩個小圓面積和為，即大圓面積等于內(nèi)部的兩個小圓面積之和，所以，兩個小圓相交重疊部分的面積（15）等于陰影（甲）、（乙）面積之和，由于陰影（甲）的面積為7平方厘米，因此陰影（乙）的面積為15-7=8平方厘米.,,,例15.P是長方形ABCD內(nèi)一點，三角形PAB的面積等于5，三角形PBC的面積等于13.問三角形PBD的面積是多少？,,看一看，想一想，思維長翅膀,例16.如圖，已知凸四邊形ABCD中，邊AB和CD的中點為M和N，BC與AD的中點為P和Q，AN、CM、BQ、DP的交成四邊形WXYZ.證明：四邊形WXYZ的面積等于四個小三角形的面積之和.,證明，就是精準(zhǔn)簡練的實話實說,例17.如右圖，已知凸四邊形ABCD中，邊AB和CD的中點為K和M，BM與CK的交點為P，AM與DK的交點為Q.證明三角形BPC與三角形AQD的面積之和等于四邊形MQKP的面積.,請先積極、獨立地思考,例18.ABCD為任意四邊形，M,N分別為AD,BC中點，MB交AN于P;MC交DN于Q.若四邊形ABCD的面積為150，四邊形MPNQ的面積是50，求：四個三角形APM，DQM，BPN和CQN的面積和是多少?(第8屆華杯賽總決賽一試試題),遇到困難可看下面的解答,圖中輔助線是本題最簡單的證法,例19.凸四邊形ABCD的兩組對邊中點連線EF,GH相交于O.求證:兩塊紅色四邊形的總面積=四邊形ABCD面積的一半。,如何證，自己想，試試你的分析能力,例20.凸四邊形ABCD的兩組對邊中點連線EF,GH相交于O.連接AH，CG分別交EF與M，N.則（1）（2）,,,答：三角形PQR的面積是1/7。,例21.如圖中，若，求的面積.,,,,,這樣添線〉,答：三角形PQR的面積是81/560,例22.如圖中，若，求的面積.,,,,,注意：分步解題，步步細心，最后綜合，可得解答。,此題設(shè)計精巧，試試你的身手,例23.過△ABC內(nèi)部的一點O引平行于各邊的線段AA1，BB1，CC1分△ABC為四個三角形和三個四邊形，如圖所示.證明：分別以A，B，C為頂點的三個陰影三角形的面積之和等于第四個陰影三角形的面積.,獨立解答此題，理應(yīng)沒有問題,例24.如圖所示，平行四邊形ABCD的面積為24平方厘米.△ADM與△BCN的面積之和為7.8平方厘米，求陰影四邊形FMON的面積是多少平方厘米？(第13屆華杯賽決賽試題),答：六邊形A1B1C1D1E1F1的面積是670平方厘米,例25.一個六邊形ABCDEF的面積是2010平方厘米。已知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面積都等于335平方厘米。又圖中6個陰影三角形面積之和為670平方厘米。則六邊形A1B1C1D1E1F1的面積是平方厘米。(第15屆華杯賽決賽小學(xué)A卷試題13),答：,例26.右圖中,△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面積之和等于六邊形ABCDEF的面積.又圖中的6個陰影三角形面積之和等于六邊形ABCDEF的面積的.求六邊形A1B1C1D1E1F1的面積與六邊形ABCDEF的面積之比.(第15屆華杯賽決賽小學(xué)A卷試題13),,答：41cm2.,例27.梯形ABCD的面積是100cm2,AE=BF，CE與BF相交于O，若cm2,則cm2.（2009“數(shù)學(xué)解題能力展示”初一年級初試8題）,,,,,,試試你的分析問題的能力,（第26屆莫斯科數(shù)學(xué)競賽試題，1963）,要仔細分析圖形中的數(shù)量關(guān)系,,歷史名題，值得學(xué)習(xí),例29．如圖所示，在以AB為直徑的半圓上取一點C，分別以AC和BC為直徑在?ABC外作半圓AEC和BFC.請你證明圖中兩個彎月型（陰影部分）AEC和BFC的面積等于直角?ABC的面積。,希波克拉底的“月形”定理,圖形的精巧，思維的簡潔，構(gòu)成數(shù)學(xué)的美,例30．在長方形ABCD中，BF=AE=3厘米，DE=6厘米。三角形GEC的面積是20平方厘米，三角形GFD的面積是16平方厘米。那么，長方形ABCD的面積是多少平方厘米？（第九屆華杯賽總決賽二試初一組第2題）,答：長方形ABCD的面積是54平方厘米,,祝同學(xué)們暑假快樂，身體健康！,再見,