（福建專用）2019年中考數(shù)學復(fù)習 第四章 圖形的認識 4.4 多邊形與平行四邊形（試卷部分）課件.ppt
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第四章圖形的認識4.4多邊形與平行四邊形,中考數(shù)學(福建專用),1.(2018福建,4,4分)一個n邊形的內(nèi)角和為360,則n等于()A.3B.4C.5D.6,A組2014-2018年福建中考題組,五年中考,答案B根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式,得(n-2)180=360,可求得n=4.,答案B∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,DE=BC,又∵CF∥BD,∴四邊形BCFD是平行四邊形,∴DF=BC,∴DE=DF,∴DE=EF.,4.(2017福建,15,4分)兩個完全相同的正五邊形都有一邊在直線l上,且有一個公共頂點O,其擺放方式如圖所示,則∠AOB等于度.,答案108,解析如圖,∵正五邊形中每一個內(nèi)角都是108,∴∠OCD=∠ODC=180-108=72.∴∠COD=36.∴∠AOB=360-108-108-36=108.,3.(2016三明,4,4分)已知一個正多邊形的一個外角為36,則這個正多邊形的邊數(shù)是()A.8B.9C.10D.11,答案C多邊形外角和為360,正多邊形每一個外角度數(shù)相等,故正多邊形的邊數(shù)=36036=10.,5.(2016泉州,17,4分)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,E是AD中點,EF⊥BC于點F,BC=5,EF=3.(1)若AB=DC,則四邊形ABCD的面積S=;(2)若AB>DC,則此時四邊形ABCD的面積SS(用“>”或“=”或“DC時,四邊形ABCD的面積S=S.,6.(2014福州,14,4分)如圖,在?ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,則?ABCD的周長是.,答案20,解析∵四邊形ABCD是平行四邊形,AD=6,∴BC=AD=6,∵BE=2,∴EC=4.又∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠EDC.∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠EDC.∴CD=EC=4.∴?ABCD的周長是2(6+4)=20.,評析本題考查平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定,屬中等難度題.,7.(2018福建,18,8分)如圖,?ABCD的對角線AC,BD相交于點O,EF過點O且與AD,BC分別相交于點E,F.求證:OE=OF.,證明∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OD=OB,AD∥BC,∴∠ODE=∠OBF.又∵∠DOE=∠BOF,∴△DOE≌△BOF,∴OE=OF.,解后反思本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識.,B組2014—2018年全國中考題組考點一多邊形,1.(2016北京,4,3分)內(nèi)角和為540的多邊形是(),答案C設(shè)邊數(shù)為n,由多邊形內(nèi)角和公式得(n-2)180=540,解得n=5,所以該多邊形為五邊形,故選C.,2.(2015安徽,8,4分)在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C,點E在邊AB上,∠AED=60,則一定有()A.∠ADE=20B.∠ADE=30C.∠ADE=∠ADCD.∠ADE=∠ADC,答案D由三角形內(nèi)角和等于180,∠AED=60,可得∠ADE=120-∠A,由四邊形內(nèi)角和為360,∠A=∠B=∠C,得∠ADC=360-3∠A,所以∠ADE=∠ADC,故選D.,評析本題考查了三角形和四邊形的內(nèi)角和定理,難點在于借助∠A來判斷∠ADE和∠ADC之間的數(shù)量關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.,3.(2018山西,12,3分)圖1是我國古代建筑中的一種窗格,其中冰裂紋圖案象征著堅冰出現(xiàn)裂紋并開始消溶,形狀無一定規(guī)則,代表一種自然和諧美.圖2是從圖1冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的圖形,則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=度.圖1圖2,答案360,解析∵任意n(n≥3)邊形的外角和為360,圖中五條線段組成五邊形,∴1+2+3+4+5=360.,4.(2018陜西,12,3分)如圖,在正五邊形ABCDE中,AC與BE相交于點F,則∠AFE的度數(shù)為.,答案72,解析∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴∠EAB=∠ABC==108,∵BA=BC,∴∠BAC=∠BCA=36,同理可得∠ABE=36,∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=36+36=72.,5.(2018貴州貴陽,13,4分)如圖,點M,N分別是正五邊形ABCDE的兩邊AB,BC上的點,且AM=BN,點O是正五邊形的中心,則∠MON的度數(shù)是度.,答案72,6.(2017陜西,14,3分)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90,連接AC,若AC=6,則四邊形ABCD的面積為.,答案18,解析過點A作AE⊥AC交CD的延長線于點E,易知∠EAD=∠CAB.∵∠BAD=∠BCD=90,∴∠ADC+∠ABC=180.又∵∠ADE+∠ADC=180,∴∠EDA=∠CBA,又AD=AB,∴△AED≌△ACB,∴AE=AC=6,四邊形ABCD的面積等于△ACE的面積,故S四邊形ABCD=ACAE=66=18.,一題多解本題也可以用旋轉(zhuǎn)的方法作圖.以點A為旋轉(zhuǎn)中心,把△ACB逆時針旋轉(zhuǎn)90至△AED的位置,則△AED≌△ACB,∠EDA=∠B,AE=AC,根據(jù)∠DAB=∠DCB=90,得到∠ADC+∠B=180,即∠EDA+∠ADC=180,故E,D,C三點在同一條直線上,故△ACE是等腰直角三角形,接下來同上.,7.(2015河北,19,3分)平面上,將邊長相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一邊重合并疊在一起,如圖,則∠3+∠1-∠2=.,答案24,解析正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)分別為60、90、108、120,由題圖可知∠3=90-60=30,∠1=120-108=12,∠2=108-90=18,所以∠3+∠1-∠2=30+12-18=24.,8.(2015廣東廣州,16,3分)如圖,四邊形ABCD中,∠A=90,AB=3,AD=3,點M,N分別為線段BC,AB上的動點(含端點,但點M不與點B重合),點E,F分別為DM,MN的中點,則EF長度的最大值為.,答案3,解析連接DN,因為點E,F分別為DM,MN的中點,所以EF是△DMN的中位線,EF=DN.當點B、N重合時,DN有最大值=6,所以EF長度的最大值為3.,圖2,9.(2018河北,19,6分)如圖1,作∠BPC平分線的反向延長線PA,現(xiàn)要分別以∠APB,∠APC,∠BPC為內(nèi)角作正多邊形,且邊長均為1,將作出的三個正多邊形填充不同花紋后成為一個圖案.例如:若以∠BPC為內(nèi)角,可作出一個邊長為1的正方形,此時∠BPC=90,而=45是360(多邊形外角和)的,這樣就恰好可作出兩個邊長均為1的正八邊形,填充花紋后得到一個符合要求的圖案,如圖2所示.圖2中的圖案外輪廓周長是;在所有符合要求的圖案中選一個外輪廓周長最大的定為會標,則會標的外輪廓周長是.圖1,答案14;21,解析題圖2中的圖案由兩個邊長均為1的正八邊形和1個邊長為1的正方形組成,且三個正多邊形三邊相連,題圖2中的圖案外輪廓周長是6+6+2=14.由于三個正多邊形的邊長均為1,顯然以∠APB,∠APC為內(nèi)角的兩個正多邊形的邊數(shù)越多(即以∠BPC為內(nèi)角的正多邊形的邊數(shù)越少),會標的外輪廓周長越大.當以∠BPC為內(nèi)角的正多邊形為等邊三角形時,會標的外輪廓周長最大.此時∠APB=150,以∠APB,∠APC為內(nèi)角的兩個正多邊形均為正十二邊形,會標的外輪廓周長為10+10+1=21.,10.(2016河北,22,9分)已知n邊形的內(nèi)角和θ=(n-2)180.(1)甲同學說,θ能取360;而乙同學說,θ也能取630.甲、乙的說法對嗎?若對,求出邊數(shù)n;若不對,說明理由;(2)若n邊形變?yōu)?n+x)邊形,發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360,用列方程的方法確定x.,解析(1)甲對,乙不對.(2分)∵θ=360,∴(n-2)180=360.解得n=4.(3分)∵θ=630,∴(n-2)180=630,解得n=.∵n為整數(shù),∴θ不能取630.(5分)(2)依題意,得(n-2)180+360=(n+x-2)180.(7分)解得x=2.(9分),評析本題是一道典型的把方程思想與多邊形的內(nèi)角和結(jié)合在一起的題目,解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式,以及隱含的一個重要條件——多邊形的邊數(shù)是不小于3的正整數(shù),另外,還要知道一個常識性的結(jié)論:多邊形邊數(shù)每增加1,它的內(nèi)角和增加180.,考點二平行四邊形1.(2018呼和浩特,8,3分)順次連接平面上A、B、C、D四點得到一個四邊形,從①AB∥CD;②BC=AD;③∠A=∠C;④∠B=∠D四個條件中任取其中兩個,可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況共有()A.5種B.4種C.3種D.1種,答案C能夠得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有①③、①④、③④,共三種.故選C.,2.(2018河南,9,3分)如圖,已知?AOBC的頂點O(0,0),A(-1,2),點B在x軸正半軸上.按以下步驟作圖:①以點O為圓心,適當長度為半徑作弧,分別交邊OA,OB于點D,E;②分別以點D,E為圓心,大于DE的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點F;③作射線OF,交邊AC于點G.則點G的坐標為()A.(-1,2)B.(,2)C.(3-,2)D.(-2,2),答案A如圖,設(shè)AC與y軸交于點H.在?AOBC中,AC∥OB,∴AH⊥y軸,∵A(-1,2),∴AO==,由作圖知OF平分∠AOB,∴∠AOF=∠BOF=∠AGO,∴AG=AO=,HG=AG-AH=-1,∴點G的坐標為(-1,2).故選A.,思路分析根據(jù)作圖方法可知OF平分∠AOB,在?AOBC中判定△AOG為等腰三角形,用勾股定理可求相關(guān)邊長度,進而求得點G的坐標.,方法總結(jié)本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、基本作圖、勾股定理,主要載體為一種數(shù)學模型,如下圖,若存在3個條件:①AB∥CD,②CB平分∠ACD,③AC=AB.取任意兩個作條件,一定能得出第三個.,3.(2016河北,13,2分)如圖,將?ABCD沿對角線AC折疊,使點B落在點B處.若∠1=∠2=44,則∠B為()A.66B.104C.114D.124,答案C設(shè)AB與CD相交于點P,由折疊知∠CAB=∠CAB,由AB∥CD,得∠1=∠BAB,∴∠CAB=∠CAB=∠1=22.在△ABC中,∠CAB=22,∠2=44,∴∠B=180-22-44=114.,評析折疊問題是中考中的常見題目,在解決這類問題時,要抓住折疊前后圖形的變化特征,從某種意義上說,折疊問題其實就是軸對稱問題.,4.(2015浙江寧波,7,4分)如圖,?ABCD中,E,F是對角線BD上的兩點,如果添加一個條件,使△ABE≌△CDF,則添加的條件不能為()A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.∠1=∠2,答案C∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABE=∠CDF.若添加BE=DF,則根據(jù)SAS可判定△ABE≌△CDF;若添加BF=DE,易得BE=DF,則根據(jù)SAS可判定△ABE≌△CDF;若添加AE=CF,則為SSA,不可判定△ABE≌△CDF;若添加∠1=∠2,則根據(jù)ASA可判定△ABE≌△CDF.故選C.,5.(2015四川綿陽,7,3分)如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點E,∠CBD=90,BC=4,BE=ED=3,AC=10,則四邊形ABCD的面積為()A.6B.12C.20D.24,答案D在Rt△CBE中,CE==5,∴AE=AC-CE=5,∴AE=CE=5,又BE=DE=3,∴四邊形ABCD為平行四邊形.∴S?ABCD=2S△CBD=2BDBC=64=24.故選D.,6.(2018陜西,14,3分)如圖,點O是?ABCD的對稱中心,AD>AB,E、F是AB邊上的點,且EF=AB;G、H是BC邊上的點,且GH=BC.若S1,S2分別表示△EOF和△GOH的面積,則S1與S2之間的等量關(guān)系是.,答案2S1=3S2,解析如圖,連接AC,BD,交點為O,∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AO=OC,∴S△ABO=S△OBC,∵EF=AB,∴S1=S△ABO,∵GH=BC,∴S2=S△OBC,所以2S1=3S2.,7.(2017四川成都,14,4分)如圖,在平行四邊形ABCD中,按以下步驟作圖:①以A為圓心,任意長為半徑作弧,分別交AB,AD于點M,N;②分別以M,N為圓心,以大于MN的長為半徑作弧,兩弧相交于點P;③作射線AP,交邊CD于點Q,若DQ=2QC,BC=3,則平行四邊形ABCD的周長為.,答案15,解析由作圖知AQ平分∠DAB,在?ABCD中,AB∥CD,所以∠DAQ=∠BAQ=∠DQA,所以DQ=DA=BC=3.因為DQ=2QC,所以DC=4.5.所以平行四邊形ABCD的周長為2(4.5+3)=15.,8.(2017湖北武漢,13,3分)如圖,在?ABCD中,∠D=100,∠DAB的平分線AE交DC于點E,連接BE.若AE=AB,則∠EBC的度數(shù)為.,答案30,解析∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BC∥AD,AB∥DC,∠ABC=∠D,∴∠DAB+∠D=180,∵∠D=100,∴∠DAB=80,∠ABC=100.又∵∠DAB的平分線交DC于點E,∴∠EAD=∠EAB=40.∵AE=AB,∴∠ABE=(180-40)=70,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=100-70=30.,9.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,15,3分)已知平行四邊形ABCD的頂點A在第三象限,對角線AC的中點在坐標原點,一邊AB與x軸平行且AB=2,若點A的坐標為(a,b),則點D的坐標為.,答案(-a-2,-b)或(-a+2,-b),解析因為AB∥x軸,A(a,b),且AB=2,所以B的坐標為(a+2,b)或(a-2,b),因為?ABCD是中心對稱圖形,其對稱中心與原點重合,所以點B與點D關(guān)于原點對稱,所以點D的坐標為(-a-2,-b)或(-a+2,-b).,10.(2015江蘇鎮(zhèn)江,8,2分)如圖,在?ABCD中,E為AD的中點,BE、CD的延長線相交于點F.若△DEF的面積為1,則?ABCD的面積等于.,答案4,解析在?ABCD中,AB∥DC,AE=DE,AD∥BC,易證△AEB≌△DEF,△FED∽△FBC,所以S△AEB=S△DEF=1,FD=FC,==,所以S△CBF=4,所以S?ABCD=4.,11.(2018江西,15,6分)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E為AB的中點.請僅用分別按下列要求畫圖(保留畫圖痕跡).(1)在圖1中,畫出△ABD的BD邊上的中線;(2)在圖2中,若BA=BD,畫出△ABD的AD邊上的高.,解析畫法如圖.(1)AF即為所求.(2)BF即為所求.,思路分析(1)(見答案第一個圖)連接EC,通過判斷四邊形BEDC是平行四邊形得出EC和BD的交點F為線段BD的中點,進而畫出所求;(2)(見答案第二個圖)連接EC,ED,連接點A與EC和BD的交點,利用三角形重心的性質(zhì)及等腰三角形三線合一的知識畫出△ABD的AD邊上的高.,解題關(guān)鍵本題考查復(fù)雜作圖,解題的關(guān)鍵是靈活運用平行四邊形的性質(zhì)和三角形的重心及等腰三角形三線合一等知識解決問題.,12.(2018貴州貴陽,20,10分)如圖,在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,點F是DE的中點,AB與AG關(guān)于AE對稱,AE與AF關(guān)于AG對稱.(1)求證:△AEF是等邊三角形;(2)若AB=2,求△AFD的面積.,解析(1)證明:∵AE是BC邊上的高,∴∠AEB=90.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠EAD=∠AEB=90,∴△AED是直角三角形.∵F是ED的中點,∴AF=EF=FD.∵AE與AF關(guān)于AG對稱,∴AE=AF,∴AE=AF=EF,∴△AEF是等邊三角形.(2)由(1)知△AEF是等邊三角形,∴∠EFA=∠EAF=∠AEF=60.,又∵AB與AG關(guān)于AE對稱,AE與AF關(guān)于AG對稱,∴∠BAE=∠GAE=∠GAF=30,AG⊥EF,設(shè)垂足為點N,∴∠B=90-∠BAE=60.∵在Rt△ABE中,AE=ABsinB=,∴FD=AE=.∵在Rt△AEN中,AN=AEsin∠AEN=,∴S△AFD=FDAN==.,13.(2016湖南長沙,22,8分)如圖,AC是?ABCD的對角線,∠BAC=∠DAC.(1)求證:AB=BC;(2)若AB=2,AC=2,求?ABCD的面積.,解析(1)證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,又∵∠BAC=∠DAC,∴∠BAC=∠BCA,∴AB=BC.(2)連接BD交AC于O,∵AB=BC,且四邊形ABCD為平行四邊形,∴四邊形ABCD為菱形,∴AC⊥BD,∴BO2+OA2=AB2,即BO2+=22,∴BO=1,∴BD=2BO=2,∴S?ABCD=BDAC=22=2.,14.(2015遼寧沈陽,24,12分)如圖,在?ABCD中,AB=6,BC=4,∠B=60,點E是邊AB上一點,點F是邊CD上一點,將?ABCD沿EF折疊,得到四邊形EFGH,點A的對應(yīng)點為H,點D的對應(yīng)點為點G.(1)當點H與點C重合時.①填空:點E到CD的距離是;②求證:△BCE≌△GCF;③求△CEF的面積;(2)當點H落在射線BC上,且CH=1時,直線EH與直線CD交于點M,請直接寫出△MEF的面積.,解析(1)①2.②證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC,∠D=∠B,∠A=∠BCD,由折疊可知,AD=CG,∠D=∠G,∠A=∠ECG,∴BC=GC,∠B=∠G,∠BCD=∠ECG,∴∠BCE=∠GCF,∴△BCE≌△GCF.③過點E作EP⊥BC于P,∵∠B=60,∠EPB=90,∴∠BEP=30,∴BE=2BP.,可設(shè)BP=m,則BE=2m,∴EP=BEsin60=2m=m.由折疊可知,AE=CE.∵AB=6,∴AE=CE=6-2m,∵BC=4,∴PC=4-m.在Rt△ECP中,由勾股定理得(4-m)2+(m)2=(6-2m)2,∴m=,∴EC=6-2m=6-2=.∵△BCE≌△GCF,∴CF=EC=,∴S△CEF=2=.(2)或4.,C組教師專用題組考點一多邊形,1.(2018呼和浩特,3,3分)已知一個多邊形的內(nèi)角和為1080,則這個多邊形是()A.九邊形B.八邊形C.七邊形D.六邊形,答案B設(shè)該多邊形的邊數(shù)為n,則由題意可得180(n-2)=1080,解得n=8.故選B.,2.(2018北京,5,2分)若正多邊形的一個外角是60,則該正多邊形的內(nèi)角和為()A.360B.540C.720D.900,答案C由多邊形外角和為360,可知這個正多邊形的邊數(shù)為36060=6,由多邊形內(nèi)角和公式可知內(nèi)角和為180(6-2)=720.故選C.,3.(2017遼寧沈陽,10,2分)正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,正六邊形的周長是12,則☉O的半徑是()A.B.2C.2D.2,答案B由正六邊形的周長是12,可得BC=2,連接OB、OC,則∠BOC==60,所以△BOC為等邊三角形,所以O(shè)B=BC=2,即☉O的半徑為2,故選B.,4.(2016江蘇南京,5,2分)已知正六邊形的邊長為2,則它的內(nèi)切圓的半徑為()A.1B.C.2D.2,答案B正六邊形一條邊的兩個端點與其內(nèi)切圓圓心的連線及這條邊構(gòu)成一個等邊三角形,正六邊形的內(nèi)切圓半徑即為這個等邊三角形的高,所以內(nèi)切圓半徑=2sin60=,故選B.,5.(2016四川南充,10,3分)如圖,正五邊形ABCDE的邊長為2,連接對角線AD,BE,CE,線段AD分別與BE和CE相交于點M,N.給出下列結(jié)論:①∠AME=108;②AN2=AMAD;③MN=3-;④S△EBC=2-1.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4,答案C如圖,∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴AB=EA=DE,∠EAB=∠DEA=108,∴△EAB≌△DEA,∴∠AEB=∠EDA,∵∠AME=∠MED+∠EDA,∴∠AME=∠MED+∠AEB=∠DEA=108,故①正確;易得∠1=∠2=∠4=∠5=36,∴∠3=36,∴∠6=∠AEN=72,∴AE=AN,∵∠1=∠1,∠AED=∠AME=108,∴△AEM∽△ADE,∴=,∴AE2=AMAD,∴AN2=AMAD,故②正確;設(shè)AM=x,則AD=AM+MD=x+2,由②得22=x(x+2),解得x1=-1,x2=--1(不合題意,舍去),∴AD=-1+2=+1,∴MN=AN-AM=3-,故③正確;作EH⊥BC于點H,則BH=BC=1,EB=AD=+1,∴EH==,∴S△EBC=BCEH=2=,故④錯誤.故選C.,評析本題考查了正五邊形的性質(zhì)、相似多邊形的判定及性質(zhì)、勾股定理等知識.,6.(2017上海,18,4分)我們規(guī)定:一個正n邊形(n為整數(shù),n≥4)的最短對角線與最長對角線長度的比值叫做這個正n邊形的“特征值”,記為λn,那么λ6=.,答案,解析如圖,在正六邊形ABCDEF中,AD為最長對角線,AE為最短對角線,可求得∠EAD=30,∠AED=90,∴=cos30=,∴λ6=.,思路分析確定最長及最短對角線,構(gòu)造直角三角形,利用銳角三角函數(shù)求,即λ6.,一題多解如圖,設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為1,可求得AE=,AD=2,∴=,即λ6=.,7.(2015天津,17,3分)如圖,在正六邊形ABCDEF中,連接對角線AC,BD,CE,DF,EA,FB,可以得到一個六角星.記這些對角線的交點分別為H,I,J,K,L,M,則圖中等邊三角形共有個.,答案8,解析題圖中的等邊三角形可分為兩大類:第一類:分別以B,A,F,E,D,C為頂點的小等邊三角形,有△BHM,△AML,△FLK,△EKJ,△DJI,△CIH,共6個;第二類:分別以B,F,D和A,C,E為頂點的大等邊三角形,有△BFD和△ACE,共2個.故題圖中等邊三角形共有6+2=8(個).,8.(2015浙江杭州,16,4分)如圖,在四邊形紙片ABCD中,AB=BC,AD=CD,∠A=∠C=90,∠B=150.將紙片先沿直線BD對折,再將對折后的圖形沿從一個頂點出發(fā)的直線裁剪,剪開后的圖形打開鋪平.若鋪平后的圖形中有一個是面積為2的平行四邊形,則CD=.,答案2+4或2+,解析∵四邊形紙片ABCD中,∠A=∠C=90,∠B=150,∴∠D=30.根據(jù)題意對折、裁剪、鋪平后有兩種情況得到平行四邊形:如圖1,剪痕BM、BN,過點N作NH⊥BM于點H,易證四邊形BMDN為菱形,且∠MBN=∠D=30.設(shè)BN=DN=x,則NH=x.根據(jù)題意,得xx=2?x=2(負值舍去),∴BN=DN=2,NH=1.易證四邊形BHNC是矩形,∴BC=NH=1.∴在Rt△BCN中,CN=.∴CD=2+.圖1如圖2,剪痕AE、CE,過點B作BH⊥CE于點H,易證四邊形BAEC是菱形,且∠BCH=30.設(shè)BC=CE,圖2,=x,則BH=x.根據(jù)題意,得xx=2?x=2(負值舍去),∴BC=CE=2,BH=1.∴在Rt△BCH中,CH=,∴EH=2-.易證△BCD∽△EHB,∴=,即=.∴CD==4+2.綜上所述,CD=2+或4+2.,評析本題主要考查剪紙問題,多邊形內(nèi)角和定理,軸對稱的性質(zhì),菱形、矩形的判定和性質(zhì),含30度角的直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),分類思想和方程思想的應(yīng)用.,9.(2017江西,16,6分)如圖,已知正七邊形ABCDEFG,請,分別按下列要求畫圖.(1)在圖1中,畫出一個以AB為邊的平行四邊形;(2)在圖2中,畫出一個以AF為邊的菱形.,解析(1)如圖.(畫法有多種,正確畫出一種即可,以下幾種畫法僅供參考),(3分)(2)如圖.(畫法有兩種,正確畫出其中一種即可)(6分),10.(2015浙江溫州,20,8分)各頂點都在方格紙格點(橫豎格子線的交錯點)上的多邊形稱為格點多邊形.如何計算它的面積?奧地利數(shù)學家皮克(G.Pick,1859—1942)證明了格點多邊形的面積公式:S=a+b-1,其中a表示多邊形內(nèi)部的格點數(shù),b表示多邊形邊界上的格點數(shù),S表示多邊形的面積.如圖1,a=4,b=6,S=4+6-1=6.(1)請在圖2中畫一個格點正方形,使它的內(nèi)部只含有4個格點,并寫出它的面積;(2)請在圖3中畫一個格點三角形,使它的面積為,且每條邊上除頂點外無其他格點.圖1,圖2圖3,解析(1)畫法不唯一,如圖①或圖②.(2)畫法不唯一,如圖③,圖④等.,考點二平行四邊形1.(2018烏魯木齊,7,4分)如圖,在?ABCD中,E是AB的中點,EC交BD于點F,則△BEF與△DCB的面積比為()A.B.C.D.,答案D∵四邊形ABCD是平行四邊形,E是AB的中點,∴==,∴=,=,∴=.,2.(2018安徽,9,4分)?ABCD中,E,F是對角線BD上不同的兩點.下列條件中,得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是()A.BE=DFB.AE=CFC.AF∥CED.∠BAE=∠DCF,答案B當BE=DF時,如圖1,易證△AFD≌△CEB,△ABE≌△CDF,從而AF=CE,AE=CF,所以四邊形AECF一定是平行四邊形,故A不符合題意;當AF∥CE時,如圖1,則∠AFE=∠CEF,從而∠AFD=∠CEB,又因為∠ADF=∠CBE,AD=BC,所以△AFD≌△CEB,則AF=CE,所以四邊形AECF一定是平行四邊形,故C不符合題意;,思路分析依據(jù)平行四邊形的定義或判定定理進行判斷.,3.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特,15,3分)如圖,在?ABCD中,∠B=30,AB=AC,O是兩條對角線的交點,過點O作AC的垂線分別交邊AD,BC于點E,F;點M是邊AB的一個三等分點.則△AOE與△BMF的面積比為.,答案3∶4,解析如圖,過點M作MP⊥BC于點P,過點A作AQ⊥BC于點Q,∵在平行四邊形ABCD中,O是兩條對角線的交點,∴△AOE≌△COF.∵∠B=30,AB=AC,∴∠ACB=∠B=30.∵AC⊥EF,∴在Rt△OFC中,設(shè)OF=x,則OC=x,FC=2x.∴S△AOE=S△OFC=OFOC=x2.∵AB=AC=2OC=2x,∴在Rt△ABQ中,BQ=3x,,∴BC=6x.∴BF=4x.∵點M是邊AB的一個三等分點,∴MB=x.∴在Rt△BMP中,MP=MB=x,∴S△BMF=BFMP=x2.∴S△AOE∶S△BMF=3∶4.,4.(2016寧夏,13,3分)在平行四邊形ABCD中,∠BAD的平分線AE交BC于點E,且BE=3,若平行四邊形ABCD的周長是16,則EC等于.,答案2,解析在?ABCD中,AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE=3.∴BC=(16-2AB)=5.∴EC=BC-BE=2.,5.(2015山東臨沂,17,3分)如圖,在?ABCD中,連接BD,AD⊥BD,AB=4,sinA=,則?ABCD的面積是.,答案3,解析∵四邊形ABCD為平行四邊形,且AD⊥BD,∴Rt△ABD≌Rt△CDB.在Rt△ABD中,AB=4,sinA==,∴BD=3,∴AD===∴SRt△ABD=ADBD=,于是S?ABCD=2SRt△ABD=2=3.,6.(2018云南,23,12分)如圖,在平行四邊形ABCD中,點E是CD的中點,點F是BC邊上的點,AF=AD+FC.平行四邊形ABCD的面積為S,由A、E、F三點確定的圓的周長為l.(1)若△ABE的面積為30,直接寫出S的值;(2)求證:AE平分∠DAF;(3)若AE=BE,AB=4,AD=5,求l的值.,解析(1)60.(3分)(2)證明:延長AE,與BC的延長線交于點H.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC.∴∠ADE=∠HCE,∠DAE=∠CHE.(4分)∵點E為CD的中點,∴ED=EC.∴△ADE≌△HCE.∴AD=HC,AE=HE.∴AD+FC=HC+FC.由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH.∴∠FAE=∠CHE.(6分)又∵∠DAE=∠CHE,∴∠DAE=∠FAE,∴AE平分∠DAF.(7分),(3)連接EF.∵AE=BE,AE=HE,∴AE=BE=HE.∴∠BAE=∠ABE,∠HBE=∠BHE.由(1)知∠DAE=∠CHE,∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE,即∠DAB=∠CBA.由四邊形ABCD是平行四邊形得∠DAB+∠CBA=180,∴∠CBA=90,(9分)∴AF2=AB2+BF2=16+(5-FC)2=(FC+CH)2=(FC+5)2,解得FC=.∴AF=FC+CH=+5=.∵AE=HE,AF=FH,∴FE⊥AH.∴AF是△AEF的外接圓的直徑.∴△AEF的外接圓的周長l=.(12分),,思路分析(1)由S△ABE=S平行四邊形ABCD可得.(2)延長AE、BC交于H,證△ADE≌△HCE,結(jié)合AF=AD+FC得AF=FH,從而得AE平分∠DAF.(3)先證∠CBA=90,再利用勾股定理求得FC,AF的長,最后確定AF為△AEF外接圓的直徑,進而求解.,解后反思利用“倍長中線”構(gòu)造全等三角形是我們常用的方法,而求圓的周長需求其半徑或直徑,利用直角三角形的斜邊為其外接圓直徑即可求解.,7.(2018重慶,24,10分)如圖,在平行四邊形ABCD中,點O是對角線AC的中點,點E是BC上一點,且AB=AE,連接EO并延長交AD于點F.過點B作AE的垂線,垂足為H,交AC于點G.(1)若AH=3,HE=1,求△ABE的面積;(2)若∠ACB=45,求證:DF=CG.,解析(1)∵AH=3,HE=1,AB=AE,∴AB=AE=AH+HE=4.∵BG⊥AE,∴∠AHB=90.∴AB2=AH2+BH2.∴BH===.∴S△ABE=AEBH=4=2.(4分)(2)證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠FAO=∠ECO.∵點O為AC的中點,∴AO=CO.在△AOF和△COE中,∵∠FAO=∠ECO,AO=CO,∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE,∴AF=CE.,∴DF=BE.(6分)如圖,過點A作AM⊥BC交BC于點M,交BG于點Q,過點G作GN⊥BC交BC于點N.∴∠AMB=∠AME=∠GNC=∠GNB=90.∴∠AHB=∠AMB.∵∠AQH=∠BQM,∴∠QAH=∠GBN.∵AB=AE,AM⊥BE,∴∠BAM=∠QAH,BM=ME.∴∠BAM=∠QAH=∠GBN.∵∠ACB=45,AM⊥BE,∴∠CAM=∠ACB=45.∵∠BAG=45+∠BAM,∠BGA=45+∠GBN,,∴∠BAG=∠BGA.∴AB=GB.∵AB=AE,∴AE=BG.在△AME和△BNG中,∠AME=∠BNG,∠EAM=∠GBN,AE=BG,∴△AME≌△BNG.∴ME=NG.∴BE=2ME=2NG.在Rt△GNC中,∵∠GCN=45,∴CG=NG.∴CG=2NG,即BE=2NG=CG.∴DF=BE=CG.(10分),思路分析(1)根據(jù)勾股定理求出BH的長,進而利用三角形的面積公式求得△ABE的面積;(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形可得BE=DF.過點A作AM⊥BC,過點G作GN⊥BC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠BAM=∠QAH,BM=ME=BE,通過求證∠BAM=∠GBN,可得∠BAG=∠BGA,進而可得AB=AE=BG,利用△AME≌△BNG,得出NG=ME=BE,最后利用CG=NG得出DF=BE=CG.,方法指導對于以特殊四邊形為背景的全等三角形的判定,一般都是通過特殊四邊形的性質(zhì)找出證全等所需要的邊或角的相等關(guān)系,從而進行證明.,8.(2016陜西,19,7分)如圖,在?ABCD中,連接BD,在BD的延長線上取一點E,在DB的延長線上取一點F,使BF=DE,連接AF、CE.求證:AF∥CE.,證明如圖,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC.∴∠1=∠2.(2分)又∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD.∴DF=BE.(4分)∴△ADF≌△CBE.(5分)∴∠AFD=∠CEB.∴AF∥CE.(7分),9.(2016山東青島,21,8分)已知:如圖,在?ABCD中,E,F分別是邊AD,BC上的點,且AE=CF,直線EF分別交BA的延長線、DC的延長線于點G,H,交BD于點O.(1)求證:△ABE≌△CDF;(2)連接DG,若DG=BG,則四邊形BEDF是什么特殊四邊形?請說明理由.,解析(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,∠BAD=∠DCB.又∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF.(2)菱形.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC,∵AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,即ED=BF,∴四邊形BEDF是平行四邊形,∴OB=OD.又∵DG=BG,∴OG⊥BD.∴?BEDF是菱形.,10.(2016江蘇南京,24,7分)如圖,在?ABCD中,E是AD上一點,延長CE到點F,使∠FBC=∠DCE.(1)求證:∠D=∠F;(2)用直尺和圓規(guī)在AD上作出一點P,使△BPC∽△CDP(保留作圖的痕跡,不寫作法).,解析(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC.∴∠CED=∠BCF.∵∠CED+∠DCE+∠D=180,∠BCF+∠FBC+∠F=180,∴∠D=180-∠CED-∠DCE,∠F=180-∠BCF-∠FBC.又∠DCE=∠FBC,∴∠D=∠F.(2)圖中P就是所求作的點.,11.(2016北京,19,5分)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,AE平分∠BAD,交DC的延長線于點E.求證:DA=DE.,證明∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB∥CD.∴∠BAE=∠E.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∴∠E=∠DAE,∴DA=DE.,12.(2016吉林,19,7分)圖①,圖②都是88的正方形網(wǎng)格,每個小正方形的頂點稱為格點,每個小正方形的邊長均為1,在每個正方形網(wǎng)格中標注了6個格點,這6個格點簡稱為標注點.(1)請在圖①,圖②中,以4個標注點為頂點,各畫一個平行四邊形(兩個平行四邊形不全等);(2)圖①中所畫的平行四邊形的面積為.,(3)用文字敘述所證命題的逆命題為.,解析(1)CD.(1分)平行.(2分)(2)證明:連接BD.(3分)在△ABD和△CDB中,∵AB=CD,AD=CB,BD=DB,∴△ABD≌△CDB.(5分)∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴AB∥CD,AD∥CB.(7分)∴四邊形ABCD是平行四邊形.(8分)(3)平行四邊形的對邊相等.(10分),A組2016—2018年模擬基礎(chǔ)題組(時間:40分鐘分值:60分)一、選擇題(每小題3分,共18分)1.(2018南平質(zhì)檢,4)已知一個正多邊形的內(nèi)角是140,則這個正多邊形的邊數(shù)是()A.6B.7C.8D.9,答案D∵每個內(nèi)角為140,∴每個外角為40,又外角和為360,∴36040=9.故正多邊形為九邊形.,三年模擬,答案B由題意得∠NFM=∠B,延長MF交CD于E,∵FN∥DC,∴∠MFN=∠MEC.∵MF∥AD,∴∠MEC=∠D,∴∠NFM=∠B=∠D.∵∠B+∠D+∠A+∠C=360,∠A=120,∠C=80,∴∠NFM=∠B=∠D=80.,3.(2018三明質(zhì)檢,9)如圖,在正八邊形ABCDEFGH中,連接AC、AE,則的值是()A.B.C.D.2,答案B連接CE,正八邊形內(nèi)角和為1080,一個內(nèi)角的度數(shù)為135,易得∠ACB=∠DCE=22.5,CA=CE,∠ACE=90,故△ACE是等腰直角三角形,故=.,4.(2017福州質(zhì)檢,4)兩個全等的正六邊形如圖擺放,與△ABC面積不同的一個三角形是()A.△ABDB.△ABEC.△ABFD.△ABG,答案B根據(jù)正六邊形中AB∥CD∥FG,可知△ABD、△ABF、△ABG都與△ABC同底等高,則面積相等,△ABE與△ABC同底不等高,故選B.,5.(2017莆田質(zhì)檢,4)下列圖形中,內(nèi)角和為540的多邊形是(),答案C設(shè)n邊形的內(nèi)角和為540,則(n-2)180=540,解得n=5.,6.(2017莆田質(zhì)檢,7)平行四邊形一邊長為12cm,那么它的兩條對角線的長度可以是()A.8cm和16cmB.10cm和16cmC.8cm和14cmD.8cm和12cm,答案B根據(jù)平行四邊形對角線互相平分,以及三角形兩邊之和大于第三邊求解.4+8=12,A錯誤;5+8>12,B正確;4+7<12,C錯誤;4+6<12,D錯誤.,二、填空題(每小題3分,共9分)7.(2016泉州質(zhì)檢,11)n邊形的內(nèi)角和等于900,則n=.,答案7,解析根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式得,(n-2)180=900,解得n=7.,8.(2016泉州質(zhì)檢,15)如圖,在?ABCD中,BC=10,則AD的長為.,答案10,解析根據(jù)平行四邊形對邊相等可知AD=10.,9.(2017南平質(zhì)檢,14)如圖,已知AD∥BC,要使四邊形ABCD為平行四邊形,需要增加的一個條件是:.,答案AD=BC(答案不唯一),解析由平行四邊形的判定方法知,需要增加的條件是AD=BC或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D.,三、解答題(共33分)10.(2018龍巖質(zhì)檢,18)如圖,在?ABCD中,E,F是對角線上的兩點,且AE=CF,求證:DF=BE.,證明∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴CD=AB,CD∥AB.∴∠DCF=∠BAE,又∵AE=CF,∴△DCF≌△BAE(SAS),∴DF=BE.,11.(2018南平質(zhì)檢,19)如圖,A,B,D三點在同一直線上,△ABC≌△BDE,其中點A,B,C的對應(yīng)點分別是B,D,E,連接CE.求證:四邊形ABEC是平行四邊形.,證明∵△ABC≌△BDE,∴∠DBE=∠A,BE=AC,∴BE∥AC,∴四邊形ABEC是平行四邊形.,12.(2017寧德質(zhì)檢,19)如圖,E,F為平行四邊形ABCD的對角線BD上的兩點,AE⊥BD于點E,CF⊥BD于點F.求證:AE=CF.,證明∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90.∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.,13.(2017三明質(zhì)檢,19)如圖,在?ABCD中,E,F分別在邊AD,BC上,且AE=CF,連接EF.請你只用無刻度的直尺畫出線段EF的中點O,并說明這樣畫的理由.,解析連接AC交EF于點O,則點O就是EF的中點.理由:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠CAE=∠ACF,∠AEF=∠CFE.∵AE=CF,∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.,B組2016—2018年模擬提升題組(時間:20分鐘分值:25分)一、選擇題(共3分)1.(2017惠安質(zhì)檢,9)如圖,☉O的外切正六邊形ABCDEF的邊長為2,則圖中陰影部分的面積為()A.-B.-πC.2-D.-,答案A由正六邊形的性質(zhì)可得,△AOB是邊長為2的等邊三角形,陰影部分面積為△AOB的面積減去半徑為,圓心角為60的扇形面積,則S陰影=2-=-.,二、填空題(共3分)2.(2018寧德質(zhì)檢,13)小明同學在計算一個多邊形的內(nèi)角和時,由于粗心少算了一個內(nèi)角,結(jié)果得到的總和是800,則少算的這個內(nèi)角的度數(shù)為.,答案100,解析設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n,由題意得800<(n-2)180<980,解得6下載提示(請認真閱讀)
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