高一數(shù)學人教A版必修2課件：2本章回顧

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,歡迎進入數(shù)學課堂,本章回顧,一?知識結構,二?方法總結1.公理的應用(1)證明共面問題證明共面問題,一般有兩種證法.一是由某些元素確定一個平面,再證明其余元素在這個平面內(nèi);二是分別由不同元素確定若干個平面,再證明這些平面重合.,(2)證明三點共線問題證明空間三點共線問題,通常證明這些點都在兩個面的交線上,即先確定出某兩點在某兩個平面的交線上,再證明第三點是兩個平面的公共點.當然必在兩個平面的交線上.(3)證明三線共點問題證明空間三線共點問題,先證兩條直線交于一點,再證明第三條直線經(jīng)過這點,把問題轉(zhuǎn)化為證明點在直線上的問題.,2.判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)根據(jù)異面直線的定義.(2)反證法.3.求異面直線所成角的方法求異面直線所成的角是通過平移直線,把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決.根據(jù)等角定理及推論,異面直線所成的角的大小與頂點位置無關,將角的頂點取在一些特殊點上(如線段端點,中點等),以便于計算,具體步驟如下:,(1)利用定義構造角;(2)證明所作出的角為異面直線所成的角;(3)解三角形求角.,4.線線平行的判定方法(1)定義:同一平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線是平行直線;(2)公理4:a∥b,b∥ca∥c;(3)平面幾何中判定兩直線平行的方法;(4)線面平行的性質(zhì):a∥α,aβ,α∩β=ba∥b;(5)線面垂直的性質(zhì):a⊥α,b⊥αa∥b;(6)面面平行的性質(zhì):α∥β,α∩γ=a,β∩γ=ba∥b.,5.直線和平面平行的判定方法(1)定義:;(2)判定定理:a∥b,aα,bαa∥α;(3)線面垂直的性質(zhì):b⊥a,b⊥α,aαa∥α;(4)面面平行的性質(zhì):α∥β,aαa∥β.,6.兩個平面平行的判定方法(1)依定義采用反證法;(2)利用判定定理:a∥β,b∥β,aα,bα,a∩b=Aα∥β;(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行:a⊥α,a⊥βα∥β;(4)平行于同一平面的兩個平面平行:α∥γ,β∥γα∥β.,7.平行關系的轉(zhuǎn)化由上面的框圖易知三者之間可以進行任意轉(zhuǎn)化,因此要判定某一平行的過程就是從一平行出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過程,在解題時把握這一點,靈活確定轉(zhuǎn)化的思路和方向.,8.線線垂直的判定方法(1)定義:兩條直線所成的角為90;(2)平面幾何中證明線線垂直的方法;(3)線面垂直的性質(zhì):a⊥α,bαa⊥b;(4)線面垂直的性質(zhì):a⊥α,b∥αa⊥b.,9.線面垂直的判定方法(1)線面垂直的定義:a與α內(nèi)任意直線垂直a⊥α;,(3)判定定理2:a∥b,a⊥αb⊥α;(4)面面平行的性質(zhì):α∥β,a⊥αa⊥β;(5)面面垂直的性質(zhì):α⊥β,α∩β=l,aα,a⊥la⊥β.,10.兩個平面垂直的判定方法(1)利用定義:兩個平面相交,所成的二面角是直二面角;(2)判定定理:aα,a⊥βα⊥β.,11.垂直關系的轉(zhuǎn)化在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線圖中不存在,則可通過作輔助線來解決.如有平面垂直時,一般要用性質(zhì)定理,在一個平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.故熟練掌握“線線垂直”?“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關鍵.,三?數(shù)學思想1.轉(zhuǎn)化的思想例1:如下圖,點P是△ABC所在平面外一點,A′?B′?C′分別是△PBC?△PCA?△PAB的重心.(1)求證:平面A′B′C′∥平面ABC;(2)求A′B′:AB.,解:(1)如右圖,連結并延長PA′?PB′?PC′,其延長線分別交BC?AC?AB于M?N?Q.∵A′?B′是△PBC?△PAC的重心,,同理由B′?C′是△PAC?△PAB的重心,可知B′C′∥QN.∵A′B′∥MN,MN平面ABC,A′B′平面ABC,∴A′B′∥平面ABC,同理B′C′∥平面ABC.又A′B′面A′B′C′,B′C′面A′B′C′,A′B′∩B′C′=B′.∴平面A′B′C′∥平面ABC.,(2)平面A′B′C′∥平面ABC,平面PMN∩平面ABC=MN,平面PMN∩平面A′B′C′=A′B′,∴A′B′∥MN,,2.數(shù)形結合思想,例2:某幾何體的三視圖如下圖所示,P是正方形ABCD對角線的交點,G是PB的中點.(1)根據(jù)三視圖,畫出該幾何體的直觀圖;(2)在直觀圖中,①證明:PD∥面AGC;②證明:面PBD⊥面AGC.,解:(1)該幾何體是底面為2的正方形,側面為全等的三角形的四棱錐,直觀圖如下圖所示,(2)①連結AC,BD交于點O,連結OG,因為G為PB的中點,O為BD的中點,所以OG∥PD.又OG面AGC,PD面AGC,所以PD∥面AGC.②連結PO,由三視圖,PO⊥面ABCD,所以AO⊥PO.又AO⊥BO,所以AO⊥平面PBD.∵AO平面AGC,∴面PBD⊥面AGC.,3.分類討論思想,例3:如果二面角α-l-β的平面角是銳角,點P到α?β和棱l的距離分別為求二面角的大小.,分析:點P可能在二面角α-l-β的內(nèi)部,也可能在外部,應分類解答.,解:如圖所示,P在二面角α-l-β的內(nèi)部時,圖(1),點P在α-l-β的外部時,圖(2).在圖(1)中,∵PA⊥α,∴PA⊥l,,∵AC⊥l,∴l(xiāng)⊥面PAC,同理,l⊥面PBC而面PAC∩面PBC=PC,∴面PAC與面PBC應重合,即A?C?B?P在同一平面內(nèi),∠ACB是二面角α-l-β的平面角,在Rt△APC中,,在Rt△BCP中,∴∠BCP=45∴∠ACB=30+45=75在圖(2)中,應有∠ACB=45-30=15.,4.函數(shù)的思想,例4:在長方體A1B1C1D1—ABCD中,點M在AB1上移動,點N在BC1上移動,求點M和點N的最短距離.,解:如右圖所示,在BB1上取動點P,作PM⊥AB1于M,PN∥BC交BC1于N,連結MN,因為BC垂直于平面A1ABB1內(nèi)的所有直線,所以BC⊥BB1,BC⊥PM.又PN∥BC,∴PN⊥BB1,PN⊥PM.設BP=x,,四?數(shù)學方法1.利用平移求異面直線所成的角例5:如右圖,在空間四邊形ABCD中,E?F分別是AB?CD的中點,且AD=BC,AD⊥BC,求EF與BC所成的角.,解:連結EF,取BD的中點G,連結GE?GF.∵E?F分別是AB?CD的中點,∴EG和FG分別是△ABD和△DBC的中位線.∴GE.故∠EFG(或其補角)就是EF和BC所成的角.∵AD=BC,∴GE=GF.又∵AD⊥BC,∴∠EGF=90.∴∠EFG=45.故EF與BC所成的角為45.,2.反證法例6:求證:過直線外一點有且只有一條直線和這條直線平行.已知:點P直線a.求證:過點P和直線a平行的直線b有且只有一條.,證明:①存在性:如下圖,∵Pa,∴點P和直線a確定一個平面α,在平面α內(nèi)過點P作直線b與直線a平行,故這樣的直線b存在.,②唯一性:假設過點P還有一條直線c與a平行.∵a∥b,a∥c,∴b∥c,這與b?c共點于P矛盾.故假設不成立,因此直線b唯一.∴過直線外一點有且只有一條直線和這條直線平行.,規(guī)律技巧:對于“有且唯一”性命題的證明,既要證明“有”即存在性,又要證明唯一性,其中唯一性的證明大多采用反證法.反證法的證明過程是:從否定結論入手,進行推理,直至推出矛盾(可以與假設相矛盾,也可以與已知?定理?公理相矛盾)矛盾產(chǎn)生的原因是假設不成立,故原命題成立.,3.同一法例7:已知平面α⊥平面β,直線AB過α內(nèi)一點A,且AB⊥平面β.求證:ABα.,分析:此題直接證明,不易表達,可用同一法證明.,證明:在平面α內(nèi)過點A作直線AC垂直于平面α?β的交線OE.如下圖,則AC⊥平面β.因為AB和AC都過點A,且垂直于平面β,所以AB?AC重合.也就是AB平面α.,同學們,來學校和回家的路上要注意安全,同學們,來學校和回家的路上要注意安全,