高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程考點整合 選修4-4 文

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選修4－4　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 考點整合 1．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(ρ，θ)， 則 2．直線的極坐標(biāo)方程 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程： (1)直線過極點：θ＝α； (2)直線過點M(a,0)(a＞0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 3．圓的極坐標(biāo)方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓方程為： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程 (1)當(dāng)圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； (2)當(dāng)圓心位于M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcos θ； (3)當(dāng)圓心位于M，半徑為r：ρ＝2rsin θ. 4．直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 設(shè)P是直線上的任一點，則t表示有向線段的數(shù)量． 5．圓的參數(shù)方程 圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π)． 6．圓錐曲線的參數(shù)方程 (1)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)拋物線y2＝2px(p＞0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 類型一　曲線的極坐標(biāo)方程 [例1]　(2016高考全國甲卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率． 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，消去參數(shù)得y＝xtan α. 設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為kx－y＝0. 由圓C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圓心坐標(biāo)為(－6,0)，半徑為5. 又|AB|＝，由垂徑定理及點到直線的距離公式得＝，即＝， 整理得k2＝，解得k＝， 即l的斜率為. [解后反思]　由圓的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，其方法就是把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入圓的方程，根據(jù)三角函數(shù)公式整理． 1．(2016高考全國乙卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2， 則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當(dāng)a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上．∴a＝1. 類型二　參數(shù)方程 [例2]　(2016高考全國丙卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo)． 解：(1)C1的普通方程為＋y2＝1.C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(cos α，sin α)．因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值， d(α)＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標(biāo)為. [解后反思]　由參數(shù)方程化為普通方程就是“消去參數(shù)”，可根據(jù)三角公式消參，也可利用代入法消參． 2．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標(biāo)； (2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值． 解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點的直角坐標(biāo)為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α，α)，B的極坐標(biāo)為 (2cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2cos α| ＝4. 當(dāng)α＝時，|AB|取得最大值，最大值為4.