高中物理 第十一章 3 簡諧運動的回復力和能量教材梳理教案 新人教版選修3-41

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簡諧運動的回復力和能量 皰丁巧解牛 知識巧學 一、簡諧運動的回復力 1.定義：振動物體偏離平衡位置后，所受到的使它回到平衡位置的力叫做回復力. 回復力是根據(jù)力的效果命名的，它可以是一個力，也可以是多個力的合力，還可以由某個力的分力提供.例如：如圖11-3-1，水平方向的彈簧振子，彈力充當回復力.如圖11-3-2所示，豎直方向的彈簧振子彈力和重力的合力充當回復力.如圖11-3-3，m隨M一起振動，m的回復力是靜摩擦力. 圖11-3-1 圖11-3-2 圖11-3-3 深化升華 回復力是根據(jù)力的作用效果命名的，它可以是彈力，也可以是其他力（包括摩擦力），或幾個力的合力或某個力的分力.進行受力分析時，不要憑空多畫一個力——回復力. （1）回復力的大小：與偏離平衡位置的位移大小成正比. （2）回復力的方向：總是指向平衡位置. 聯(lián)想發(fā)散 位移方向總是背離平衡位置，回復力方向總是指向平衡位置，所以回復力的方向總是與位移方向相反. （3）回復力的效果：總是使質(zhì)點回到平衡位置. 2.簡諧運動的動力學特征 回復力F=-kx, 即回復力的大小跟位移大小成正比，“-”號表示回復力與位移的方向相反. 深化升華 （1）如果質(zhì)點所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，則質(zhì)點的運動就是簡諧運動. （2）回復力F=-kx中的k是比例系數(shù)，并非彈簧的勁度系數(shù)，其值由振動系統(tǒng)決定，對水平彈簧振子，回復力僅由彈簧彈力提供，k即為勁度系數(shù)，由彈簧決定，與振幅無關(guān)，其單位是N/m. （3）回復力為零合外力不為零（如沿圓弧振動時，物體經(jīng)平衡位置回復力為零，但合外力不為零）. 3.簡諧運動的運動學特征：a=-. 簡諧振動是一種變加速的往復運動，“—”號表示加速度a方向與位移x方向相反. 4.在簡諧運動中，位移、回復力、加速度和速度的變化關(guān)系. 如下表所示（參照圖11-3-4）： 圖11-3-4 振子的運動 A→O O→A′ A′→O O→A 位移 方向水平向左，不斷減小 方向水平向右，不斷增大 水平向右，不斷減小 水平向左，不斷增大 回復力 方向水平向右，大小不斷減小 水平向左，不斷增大 水平向左，不斷減小 水平向右，不斷增大 加速度 水平向右，不斷減小 水平向左，不斷增大 水平向左，不斷減小 水平向右，不斷增大 速度 水平向右，不斷增大 水平向右，不斷減小 水平向左，不斷增大 水平向左，不斷減小 深化升華 “端點”是運動的轉(zhuǎn)折點，速度必定為零，平衡位置時速度最大. 學法一得 （1）振動中的位移ｘ都是以平衡位置為起點的，方向總是從平衡位置指向末位置；（2）加速度a的變化與回復力的變化是一致的，位移、回復力、加速度三個物理量同步變化，與速度的變化步調(diào)相反. 二、簡諧運動的能量 1.概述：簡諧運動的能量：做簡諧運動的物體在振動中經(jīng)過某一位置時所具有的勢能和動能之和，稱為簡諧運動的能量. 2.做簡諧運動的物體能量的變化規(guī)律：只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒. 振動過程是一個動能和勢能不斷轉(zhuǎn)化的過程.如圖11-3-5所示的水平彈簧振子，振子在AB之間往復運動，在一個周期內(nèi)的能量轉(zhuǎn)化過程是： 圖11-3-5 A→O彈力做正功，彈性勢能轉(zhuǎn)化為動能； O→B彈力做負功，動能轉(zhuǎn)化為彈性勢能； B→O彈力做正功，彈性勢能轉(zhuǎn)化為動能； O→A彈力做負功，動能轉(zhuǎn)化為彈性勢能. 不考慮阻力，彈簧振子振動過程中只有彈力做功，在任意時刻的動能與勢能之和不變，即機械能守恒. 聯(lián)想發(fā)散 對簡諧運動來說，一旦供給系統(tǒng)一定的能量，使它開始振動，它就以一定的振幅永不停息地持續(xù)振動，簡諧運動是一種理想化的振動. 3.簡諧運動的機械能由振幅決定. 簡諧運動中的能量跟振幅有關(guān)，振幅越大，振動的能量越大.在簡諧運動中，振動的能量保持不變，所以振幅保持不變，只要沒有能量損耗，它將永不停息地振動下去，因此簡諧運動又稱等幅振動. 要點提示 實際運動都有一定的能量損耗，所以簡諧運動是一種理想化的振動. 深化升華 振幅是描述振動強弱的物理量，也是簡諧運動的物體能量大小的標志，是描述簡諧運動能量的特征物理量. 4.在振動一個周期內(nèi)，動能和勢能間完成兩次周期性變化，經(jīng)過平衡位置時動能最大，勢能最??；經(jīng)過最大位移處時，勢能最大，動能最小. 振動勢能可以是重力勢能（例如單擺），可以是彈性勢能（例如水平方向振動的彈簧振子），也可以是重力勢能和彈性勢能之和（例如沿豎直方向振動的彈簧振子）. 深化升華 和以前學習勢能時一樣都要選取零勢能位置.我們約定振動勢能以平衡位置為零勢能位置. 典題熱題 知識點一 簡諧運動過程中基本物理量的變化 例1彈簧振子在光滑水平面上做簡諧運動，在振子向平衡位置運動的過程中( ) A.振子所受的回復力逐漸增大 B.振子的位移逐漸增大 C.振子的速度逐漸減小 D.振子的加速度逐漸減小 解析：振子位移是指由平衡位置指向振動物體所在位置的位移，因而向平衡位置運動時位移逐漸減小，而回復力與位移成正比，故回復力也減小，由牛頓第二定律a=F/m得，加速度也減小，物體向著平衡位置運動時，回復力與速度方向一致，故物體的速度逐漸增大，正確答案選D. 答案：D 方法歸納 分析回復力變化時，首先要弄清回復力的來源，是由哪些因素引起的，由哪些力構(gòu)成，如本題是F=-kx. 例2如圖11-3-6所示為某一質(zhì)點的振動圖象，由圖象可知在t1和t2兩時刻，質(zhì)點的速度v1、v2，加速度a1、a2的正確關(guān)系為( ) 圖11-3-6 A.v1＜v2，方向相同 B.v1＜v2，方向相反 C.a1＞a2，方向相同 D.a1＞a2，方向相反 解析：在t1時刻質(zhì)點向下向平衡位置運動，在t2時刻質(zhì)點向下遠離平衡位置運動，所以v1與v2的方向相同，但由于在t1時刻質(zhì)點離平衡位置較遠，所以v1＜v2，a1＞a2；質(zhì)點的加速度方向總是指向平衡位置的，因而可知在t1時刻加速度方向向下，在t2時刻加速度方向向上.正確選項為A、D. 答案：AD 巧解提示 處理圖象問題時一定要把圖象還原為質(zhì)點的實際振動過程來分析，圖象不是振動問題的運動軌跡. 知識點二 簡諧運動的能量 例3 如圖11-3-7所示，一彈簧振子在A、B間做簡諧運動，平衡位置為O，已知振子的質(zhì)量為M，若振子運動到B處時將一質(zhì)量為m的物體放在M的上面，且m和M無相對運動而一起運動，下述正確的是（ ） 圖11-3-7 A.振幅不變 B.振幅減小 C.最大動能不變 D.最大動能減少 解析：當振子運動到B點時，M的動能為零，放上m，系統(tǒng)的總能量為彈簧所儲存的彈性勢能Ep，由于簡諧運動過程中系統(tǒng)的機械能守恒，即振幅不變，故A選項正確，當M和m運動至平衡位置O時，M和m的動能和即為系統(tǒng)的總能量，此動能最大，故最大動能不變，C選項正確. 答案：AC 方法歸納 分析簡諧運動的能量問題，要弄清運動質(zhì)點的受力情況和運動的情況，弄清是什么能之間的轉(zhuǎn)化及轉(zhuǎn)化關(guān)系等. 例4 做簡諧運動的彈簧振子，振子質(zhì)量為m，最大速度為v，則下列說法正確的是（ ） A.從某時刻算起，在半個周期的時間內(nèi)，回復力做的功一定為零 B.從某時刻算起，在半個周期的時間內(nèi)，回復力做的功可能是零到mv2之間的某一個值 C.從某一時刻算起，在半個周期的時間內(nèi)，速度變化量一定為零 D.從某一時刻算起，在半個周期的時間內(nèi)，速度變化量的大小可能是零到2v之間的某一值 解析：振子在半個周期內(nèi)剛好到達與初位置關(guān)于平衡位置對稱的位置，兩位置速度大小相等，故由動能定理知，回復力做的功一定為零，則A選項正確，B選項錯誤；但由于速度反向（初位置在最大位移處時速度均為零），所以在半個周期內(nèi)速度變化量的大小為初速度大小的兩倍，因此在半個周期內(nèi)速度變化量大小應為0到2v之間的某個值，則C選項錯，D選項正確. 答案：AD 方法歸納 簡諧運動過程中回復力為變力，因此求回復力的功應選擇動能定理；由于速度變化量與速度均為矢量，故計算時應特別注意方向. 知識點三 簡諧運動與力學的綜合 例5 如圖11-3-8所示，一質(zhì)量為M的無底木箱，放在水平地面上，一輕質(zhì)彈簧一端懸于木箱的上邊，另一端掛著用細線連接在一起的兩物體A和B，mA=mB=m，剪斷A、B間的細線后，A做簡諧運動，則當A振動到最高點時，木箱對地面的壓力為____________________. 圖11-3-8 解析：本題考查簡諧運動的特點及物體受力情況的分析.剪斷細線前A的受力情況： 重力：mg，向下；細線拉力：F拉=mg，向下；彈簧對A的彈力：F=2 mg，向上.此時彈簧的伸長量為Δx==. 剪斷細線后，A做簡諧運動，其平衡位置在彈簧的伸長量為Δx=處，最低點即剛剪斷細線時的位置，離平衡位置的距離為，由簡諧運動的特點知最高點離平衡位置的距離也為，所以最高點的位置恰好在彈簧的原長處，此時彈簧對木箱作用力為零，所以此時木箱對地面的壓力為Mg. 答案：Mg 方法歸納 在一些力學綜合題目的處理中，如果能充分考慮簡諧運動的對稱性，可收到事半功倍的效果. 例6如圖11-3-9所示，A、B疊放在光滑水平地面上，B與自由長度為L0的輕彈簧相連，當系統(tǒng)振動時，A、B始終無相對滑動，已知mA=3m，mB=m，當振子距平衡位置的位移x=時系統(tǒng)的加速度為a，求A、B間摩擦力Ff與位移x的函數(shù)關(guān)系. 圖11-3-9 解析：設彈簧的勁度系數(shù)為k，以A、B整體為研究對象，系統(tǒng)在水平方向上做簡諧運動，其中彈簧的彈力作為系統(tǒng)的回復力，所以對系統(tǒng)運動到距平衡位置時有：k=(mAmBa，由此得k=. 當系統(tǒng)的位移為x時，A、B間的靜摩擦力為Ff，此時A、B具有共同加速度a′，對系統(tǒng)有：kx=（mA+mB）a′ ① k=，a′=x. ② 對A有：Ff=mAa′. ③ ②代入③得,Ff=x. 答案：Ff=x. 方法歸納 本題綜合考查了受力分析、胡克定律、牛頓定律和回復力等概念，解題關(guān)鍵是合理選取研究對象，在不同的研究對象中回復力不同.此題最后要求把摩擦力Ff與位移x的關(guān)系用函數(shù)來表示，要將物理規(guī)律與數(shù)學有機結(jié)合. 問題探究 交流討論探究 問題 簡諧運動圖象有哪些應用？ 探究過程: 張晴：可以確定振動物體在任一時刻的位移. 李小鵬：確定振動的振幅.圖象中最大位移的絕對值就是振幅. 王冬：確定振動的周期和頻率.振動圖象上一個完整的正弦（或余弦）圖形在時間軸上拉開的“長度”表示周期. 劉霞：確定各時刻質(zhì)點的振動方向.某時刻質(zhì)點的振動方向的判斷，可以根據(jù)下一時刻質(zhì)點的位置進行判斷. 趙軍：比較不同時刻質(zhì)點加速度的大小和方向.加速度的大小可以根據(jù)位移的大小進行比較，方向始終指向平衡位置. 探究結(jié)論:任一時刻的位移，振幅，周期；各時刻質(zhì)點的振動方向；比較不同時刻質(zhì)點加速度的大小和方向. 思維發(fā)散探究 問題 怎樣判斷一個振動是否為簡諧運動? 探究思路：分析一個振動是否為簡諧運動，關(guān)鍵是判斷它的回復力是否滿足其大小與位移成正比，方向總與位移方向相反.證明思路為：確定物體靜止時的位置——即平衡位置.考查振動物體在任一點受到回復力的特點是否滿足：F=-kx.具體處理時可以先找力與位移大小關(guān)系，再說明方向關(guān)系，也可以先規(guī)定正方向同時考慮大小與方向關(guān)系. 還要知道F=-kx中的k是個比例系數(shù)，是由振動系統(tǒng)本身決定的，不僅僅是指彈簧的勁度系數(shù)，關(guān)于這點，在學過本章的第四節(jié)“單擺”后可以理解得更清楚一些. 證明一個振動是否是簡諧運動，還可從運動學角度看其加速度a是否滿足a=-，或從位移與時間的關(guān)系是否符合正弦規(guī)律來判斷. 探究結(jié)論:方法一：（動力學角度）回復力是否滿足其大小與位移成正比，方向總與位移方向相反. 方法二：（運動學角度）1.從位移與時間的關(guān)系看是否符合正弦規(guī)律；2.看位移時間圖象是否為正弦曲線.