高中數(shù)學(xué) 學(xué)業(yè)分層測評9 蘇教版必修2

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學(xué)業(yè)分層測評(九) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、填空題 1．(2014浙江高考改編)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．下列命題中正確的序號是__________． (1)若m⊥n，n∥α，則m⊥α； (2)若m∥β，β⊥α，則m⊥α； (3)若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α； (4)若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α. 【解析】　(1)中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤； (2)中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤； (3)中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確； (4)中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤． 【答案】　(3) 2．如圖1298，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，則二面角C1BDC的大小為________． 圖1298 【解析】　如圖，取BD中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OC1， ∵AB＝AD＝2，∴CO⊥BD，CO＝. ∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD. ∴∠C1OC為二面角C1BDC的平面角， ∴tan∠C1OC＝＝＝， ∴∠C1OC＝30，即二面角C1BDC的大小為30. 【答案】　30 3．下列四個(gè)命題： ①過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直； ②過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行； ③如果兩個(gè)平行平面和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行； ④如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線必在第一個(gè)平面內(nèi)． 其中真命題的序號是________. 【導(dǎo)學(xué)號：60420033】 【解析】　根據(jù)空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系，過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直，故①正確；過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與該平面平行，故②不正確；根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理知③正確；根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)知④正確．從而正確的命題有①③④. 【答案】?、佗邰? 4．如圖1299所示，在三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90，則二面角BPAC的大小為________． 圖1299 【解析】　∵PA⊥平面ABC，BA，CA?平面ABC， ∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即為二面角BPAC的平面角．又∠BAC＝90，故二面角BPAC的大小為90. 【答案】　90 5．已知三棱錐DABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，則二面角DBCA的大小為________． 【解析】　 如圖，由題意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2. 取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，AE，則AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA為所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝，又AD＝2，AD2＝AE2＋DE2，所以∠DEA＝90. 【答案】　90 6．如圖12100所示，將等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個(gè)二面角，此時(shí)∠B′AC＝60，那么這個(gè)二面角大小是________． 圖12100 【解析】　連結(jié)B′C，則△AB′C為等邊三角形，設(shè)AD＝a， 則B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a， 所以B′C2＝B′D2＋DC2， 所以∠B′DC＝90. 【答案】　90 7．四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，則這個(gè)四棱錐的五個(gè)面中兩兩垂直的共有________對． 【解析】　因?yàn)锳D⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5對． 【答案】　5 8．已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．若PC＝PD＝1，CD＝，則平面α與平面β的位置關(guān)系是________． 【解析】　 因?yàn)镻C⊥α，AB?α，所以PC⊥AB. 同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD. 設(shè)AB與平面PCD的交點(diǎn)為H，連結(jié)CH，DH. 因?yàn)锳B⊥平面PCD，所以AB⊥CH，AB⊥DH， 所以∠CHD是二面角CABD的平面角． 又PC＝PD＝1，CD＝， 所以CD2＝PC2＋PD2＝2， 即∠CPD＝90.在平面四邊形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90，所以∠CHD＝90，故平面α⊥平面β. 【答案】　垂直 二、解答題 9.如圖12101，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6. 圖12101 求證：平面PBD⊥平面PAC. 【證明】　∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴BD⊥PA. 又tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝， ∴∠ABD＝30，∠BAC＝60，∴∠AEB＝90，即BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC. 又∵BD?平面PBD，平面PBD⊥平面PAC. 10．如圖12102，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中點(diǎn)． 圖12102 (1)求證：平面MNF⊥平面NEF； (2)求二面角MEFN的平面角的正切值． 【解】　(1)證明：連結(jié)MN， ∵N，F(xiàn)均為所在棱的中點(diǎn)，∴NF⊥平面A1B1C1D1. 而MN?平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN. 又∵M(jìn)，E均為所在棱的中點(diǎn)， ∴△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形， ∴∠MNC1＝∠B1NE＝45，∴∠MNE＝90， ∴MN⊥NE.又NF∩NE＝N，∴MN⊥平面NEF. 而MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF. (2)在平面NEF中，過點(diǎn)N作NG⊥EF于點(diǎn)G，連結(jié)MG. 由(1)得知MN⊥平面NEF.又EF?平面NEF，∴MN⊥EF. 又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG. ∴∠MGN為二面角MEFN的平面角． 設(shè)該正方體的棱長為2. 在Rt△NEF中，NG＝＝＝， ∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝＝＝. ∴二面角MEFN的平面角的正切值為. [能力提升] 1．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出下列四個(gè)論斷： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：__________. 【解析】　由面面垂直的判定定理可知，由m⊥n，m⊥α，n⊥β可推出α⊥β；由面面垂直的性質(zhì)定理可知，由m⊥α，n⊥β，α⊥β可推出m⊥n. 【答案】?、佗邰?②(或②③④?①) 2．如圖12103，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC.底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時(shí)，CF⊥平面B1DF. 【導(dǎo)學(xué)號：60420034】 圖12103 【解析】　∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D， ∴為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)即可，設(shè)AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a. 【答案】　a或2a 3．如果一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面三角形的________心． 【解析】　 三側(cè)面兩兩垂直， 則三條側(cè)棱也兩兩垂直， ∴PC⊥平面PAB， ∴AB⊥PC， 作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O， 則AB⊥PO，∴AB⊥平面POC， ∴AB⊥OC， 同理，OB⊥AC，∴O為△ABC的垂心． 【答案】　垂 4．如圖12104，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD. 圖12104 (1)若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD； (2)求證：AD⊥PB； (3)若E為BC的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論． 【證明】　(1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60，G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD. (2)如圖，連結(jié)PG. ∵△PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD， 又PG?平面PGB，BG?平面PGB，且PG∩BG＝G， ∴AD⊥平面PGB. ∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB. (3)當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，平面DEF⊥平面ABCD.證明如下： F為PC的中點(diǎn)時(shí)，在△PBC中，F(xiàn)E∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE， 而FE?平面DEF，DE?平面DEF，F(xiàn)E∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB. 易知PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB， ∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.