高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 1 數(shù)學歸納法課后練習 新人教A版選修4-5

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2016-2017學年高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 1 數(shù)學歸納法課后練習 新人教A版選修4-5 一、選擇題 1．下列命題中能用數(shù)學歸納法證明的是(　　) A．三角形的內角和為180 B．(1－n)(1＋n＋n2＋…＋n100)＝1－n101(n∈R) C.＋＋＝(n＞0) D．cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝(sinα≠0，n∈N＋) 解析：　因為數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法，只有D符合要求． 答案：　D 2．某個命題：(1)當n＝1時，命題成立 (2)假設n＝k(k≥1，k∈N＋)時成立，可以推出n＝k＋2時也成立，則命題對________成立(　　) A．正整數(shù)　　　　　　　 B．正奇數(shù) C．正偶數(shù) D．都不是 解析：　由題意知，k＝1時，k＋2＝3；k＝3時，k＋2＝5，依此類推知，命題對所有正奇數(shù)成立． 答案：　B 3．用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假使n＝2k＋1時正確，再推n＝2k＋3正確 B．假使n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1正確 C．假使n＝k時正確，再推n＝k＋1正確 D．假使n≤k(k≥1)時正確，再推n＝k＋2時正確(以上k∈N*) 解析：　因為是奇數(shù)，所以排除C、D，又當k∈N*時，A中2k＋1取不到1，所以選B. 答案：　B 4．空間中有n個平面，它們中任何兩個不平行，任何三個不共線，設k個這樣的平面把空間分成f(k)個區(qū)域，則k＋1個平面把空間分成的區(qū)域數(shù)f(k＋1)＝f(k)＋________.(　　) A．k＋1 B．k C．k－1 D．2k 解析：　空間中有個平面，它們中任何兩個不平行，任何三個不共線，則當n＝k＋1時，即增加一個平面，所以與k個平面都相交有k條交線，一條交線把平面分成兩部分，所以k條交線把平面分成2k部分；一部分平面又把空間分為兩部分，故新增加的空間區(qū)域為2k部分． 答案：　D 二、填空題 5．用數(shù)學歸納法證明＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝sinαcosα(α≠nπ，n∈N)，在驗證n＝1等式成立時，左邊計算所得的項是________． 解析：　由等式的特點知，當n＝1時，左邊從第一項起，一直加到cos(2n－1)α. 答案：　＋cosα 6．用數(shù)學歸納法證明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，從n＝k到n＝k＋1一步時，等式左邊應增添的式子是________． 解析：　等式左邊從k到k＋1需增加的代數(shù)式可以先寫出n＝k時兩邊，再將式子中的n用k＋1來代入，得出n＝k＋1時的等式，然后比較兩式，得出需增添的式子是(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k. 答案：　(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k 三、解答題 7．求證：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n135…(2n－1)(n∈N＋)． 證明：　(1)當n＝1時，等式左邊＝2，等式右邊＝21＝2， ∴等式成立． (2)假設n＝k　(k∈N＋)時等式成立， 即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k135…(2k－1)成立． 那么n＝k＋1時， (k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1) ＝2k＋1135…(2k－1)[2(k＋1)－1]． 即n＝k＋1時等式成立． 由(1)(2)可知對任何n∈N＋等式均成立． 8．用數(shù)學歸納法證明：34n＋2＋52n＋1能被14整除(n∈N*)． 證明：　(1)當n＝1時，341＋2＋521＋1＝36＋53＝854＝6114，能被14整除． (2)假設當n＝k時，命題成立，即34k＋2＋52k＋1能被14整除， 則當n＝k＋1時， 34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k＋6＋52k＋3 ＝3434k＋2＋3452k＋1－3452k＋1＋5252k＋1 ＝34(34k＋2＋52k＋1)－52k＋1(34－52) ＝34(34k＋2＋52k＋1)－5652k＋1， 由此可知，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1也能被14整除． 這就是說，當n＝k＋1時，命題也成立． 由(1)(2)可知，對任何n∈N*,34n＋2＋52n＋1能被14整除． 9．有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成f(n)＝n2－n＋2個部分． 證明：　(1)當n＝1時，即一個圓把平面分成二個部分f(1)＝2，又n＝1時，n2－n＋2＝2，∴命題成立． (2)假設n＝k(k≥1)時，命題成立，即k個圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個部分，那么設第k＋1個圓為⊙O，由題意，它與k個圓中每個圓交于兩點，又無三圓交于同一點，于是它與其他k個圓相交于2k個點．把⊙O分成2k條弧而每條弧把原區(qū)域分成2塊，因此這平面的總區(qū)域增加2k塊，即f(k＋1)＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即n＝k＋1時命題成立． 由(1)(2)可知對任何n∈N＋命題均成立．