高中數(shù)學(xué) 第二講 直線與圓的位置關(guān)系 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)10 與圓有關(guān)的比例線段 新人教A版選修4-1

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 直線與圓的位置關(guān)系 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)10 與圓有關(guān)的比例線段 新人教A版選修4-1 (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．如圖2517，⊙O的兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，則BE＝(　　) 圖2517 A．1　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 【解析】　由相交弦定理得AEEB＝DEEC，即2EB＝41，∴BE＝2. 【答案】　B 2．PT切⊙O于T，割線PAB經(jīng)過點(diǎn)O交⊙O于A，B，若PT＝4，PA＝2，則cos∠BPT＝(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 【解析】　如圖所示，連接OT，根據(jù)切割線定理，可得 PT2＝PAPB，即42＝2PB， ∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6， ∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5， ∴cos∠BPT＝＝. 【答案】　A 3．如圖2518，⊙O的直徑CD與弦AB交于P點(diǎn)，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，則⊙O的半徑為(　　) 圖2518 A．5.5 B．5 C．6 D．6.5 【解析】　由相交弦定理知APBP＝CPPD， ∵AP＝4，BP＝6，CP＝3， ∴PD＝＝＝8， ∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半徑為5.5. 【答案】　A 4．如圖2519，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝4，BC＝3.以BC上一點(diǎn)O為圓心作⊙O與AC，AB都相切，又⊙O與BC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，則線段BD的長(zhǎng)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370047】 圖2519 A．1　　 B.　　 C.　　 D. 【解析】　觀察圖形，AC與⊙O切于點(diǎn)C，AB與⊙O切于點(diǎn)E，則AB＝＝5. 如圖，連接OE，由切線長(zhǎng)定理得AE＝AC＝4， 故BE＝AB－AE＝5－4＝1. 根據(jù)切割線定理得BDBC＝BE2， 即3BD＝1，故BD＝. 【答案】　C 5.如圖2520，AD，AE，BC分別與圓O切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AF與圓O交于另一點(diǎn)G.給出下列三個(gè)結(jié)論： 圖2520 ①AD＋AE＝AB＋BC＋AC；②AFAG＝ADAE；③△AFB∽△ADG. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解析】?、夙?xiàng)，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正確； ②項(xiàng)，∵AD＝AE，AD2＝AFAG，∴AFAG＝ADAE，故②正確； ③項(xiàng)，延長(zhǎng)AD于M，連接FD，∵AD與圓O切于點(diǎn)D，則∠GDM＝∠GFD， ∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，則△AFB與△ADG不相似，故③錯(cuò)誤，故選A. 【答案】　A 二、填空題 6．如圖2521，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線交于D，過點(diǎn)C作BD的平行線與圓交于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F，AF＝3，F(xiàn)B＝1，EF＝，則CD＝________. 圖2521 【解析】　因?yàn)锳FBF＝EFCF，解得CF＝2，由CE∥BD，得＝，所以＝，即BD＝.設(shè)CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝，所以x＝. 【答案】　 7．如圖2522，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，則PD＝________，AB＝________. 圖2522 【解析】　由于PD∶DB＝9∶16，設(shè)PD＝9a，則DB＝16a. 根據(jù)切割線定理有PA2＝PDP B.又PA＝3，PB＝25a， ∴9＝9a25a，∴a＝，∴PD＝，PB＝5. 在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4. 【答案】　　4 8．如圖2523所示，過點(diǎn)P的直線與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于________． 圖2523 【解析】　設(shè)⊙O的半徑為r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2， ∴PB＝PA＋AB＝3. 延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)C，則PC＝PO＋r＝3＋r. 設(shè)PO交⊙O于點(diǎn)D，則PD＝3－r. 由圓的割線定理知，PAPB＝PDPC， ∴13＝(3－r)(3＋r)， ∴9－r2＝3，∴r＝. 【答案】　 三、解答題 9．(2016山西四校聯(lián)考)如圖2524所示，PA為圓O的切線，A為切點(diǎn)，PO交圓O于B，C兩點(diǎn)，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點(diǎn)D和E. 圖2524 (1)求證：＝； (2)求ADAE的值． 【解】　(1)證明：∵PA為圓O的切線，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P為公共角， △PAB∽△PCA，∴＝. (2)∵PA為圓O的切線，PC是過點(diǎn)O的割線， ∴PA2＝PBPC，∴PC＝20，BC＝15. 又∵∠CAB＝90，∴AC2＋AB2＝BC2＝225. 又由(1)知＝＝，∴AC＝6，AB＝3，連接EC，則∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD. ∴△ACE∽△ADB，∴＝. ∴ADAE＝ABAC＝36＝90. 10．如圖2525，已知PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，PO＝4cm，∠APB＝60，求陰影部分的周長(zhǎng)． 圖2525 【解】　如圖所示，連接OA，O B. ∵PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)， ∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝， ∠APO＝∠APB＝， 在Rt△PAO中， AP＝POcos＝4＝2 (cm)， OA＝PO＝2 (cm)，PB＝2 (cm)． ∵∠APO＝，∠PAO＝∠PBO＝，∴∠AOB＝， ∴l(xiāng)＝∠AOBR＝2＝π(cm)， ∴陰影部分的周長(zhǎng)為 PA＋PB＋l＝2＋2＋π＝(cm)． [能力提升] 1．如圖2526，已知PT切⊙O于點(diǎn)T，TC是⊙O的直徑，割線PBA交TC于點(diǎn)D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，則PB等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370048】 圖2526 A．20　　 B．10 C．5 D．8 【解析】　∵DA＝3，DB＝4，DC＝2， 由相交弦定理得DBDA＝DCDT， 即DT＝＝＝6. 因?yàn)門C為⊙O的直徑，所以PT⊥DT. 設(shè)PB＝x， 則在Rt△PDT中， PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36. 由切割線定理得PT2＝PBPA＝x(x＋7)， 所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)， 解得x＝20，即PB＝20. 【答案】　A 2．如圖2527，△ABC中，∠C＝90，⊙O的直徑CE在BC上，且與AB相切于D點(diǎn)，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，則BE等于(　　) 圖2527 A. B．2 C．2 D．1 【解析】　連接OD， 則OD⊥BD， ∴Rt△BOD∽R(shí)t△BAC， ∴＝. 設(shè)⊙O的半徑為a， ∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC， ∴BE＝EC＝2a. 由題知AD，AC均為⊙O的切線，AD＝2， ∴AC＝2. ∴＝，∴BD＝2a2. 又BD2＝BEBC， ∴BD2＝2a4a＝8a2， ∴4a4＝8a2，∴a＝， ∴BE＝2a＝2. 【答案】　B 3．如圖2528，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PD為⊙O的切線，D為切點(diǎn)，割線PEF經(jīng)過圓心O，若PF＝12，PD＝4，則圓O的半徑長(zhǎng)為__________，∠EFD的度數(shù)為__________． 圖2528 【解析】　由切割線定理得， PD2＝PEPF， ∴PE＝＝＝4，EF＝8，OD＝4. ∵OD⊥PD，OD＝PO， ∴∠P＝30，∠POD＝60， ∴∠EFD＝30. 【答案】　4　30 4．如圖2529，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點(diǎn)E. 圖2529 (1)若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是⊙O的切線； (2)若OA＝CE，求∠ACB的大小． 【解】　(1)證明：如圖，連接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB. 在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE. 連接OE，則∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90， 所以∠DEC＋∠OEB＝90， 故∠OED＝90，即DE是⊙O的切線． (2)設(shè)CE＝1，AE＝x. 由已知得AB＝2，BE＝. 由射影定理可得AE2＝CEBE， 即x2＝，即x4＋x2－12＝0， 解得x＝，所以∠ACB＝60.