高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 2 空間向量的運(yùn)算課時作業(yè) 北師大版選修2-1

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2　空間向量的運(yùn)算 課時目標(biāo)　1.掌握空間向量的加減運(yùn)算及其運(yùn)算律，能借助圖形理解空間向量及其運(yùn)算的意義.2.掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義和運(yùn)算律，了解共線向量定理.3.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及計(jì)算方法，能用向量的數(shù)量積判斷向量共線與垂直． 1．空間向量的加法 設(shè)a和b是空間兩個向量，如圖，過點(diǎn)O作＝a，＝b，則平行四邊形的對角線OC對應(yīng)的__________就是a與b的和，記作________． 2．空間向量的減法 a與b的差定義為__________，記作__________，其中－b是b的相反向量． 3．空間向量加減法的運(yùn)算律 (1)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝____________. (2)交換律：a＋b＝__________. 4．?dāng)?shù)乘的定義 空間向量a與實(shí)數(shù)λ的乘積是一個______________，記作________． (1)|λa|＝________. (2)當(dāng)________時，λa與a方向相同；當(dāng)________時，λa與a方向相反；當(dāng)________時，λa＝0. (3)交換律：λa＝________(λ∈R)． (4)分配律：λ(a＋b)＝__________. (λ＋μ)a＝__________(λ∈R，μ∈R)． (5)結(jié)合律：(λμ)a＝__________(λ∈R，μ∈R)． 5．空間兩個向量a與b (b≠0)共線的充分必要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得____________． 6．空間向量的數(shù)量積：空間兩個向量a和b的數(shù)量積是________，等于______________，記作__________． 7．空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)交換律：ab＝__________； (2)分配律：a(b＋c)＝__________； (3)λ(ab)＝____________ (λ∈R)． 8．利用空間向量的數(shù)量積得到的結(jié)論 (1)|a|＝____________； (2)a⊥b____________； (3)cos〈a，b〉＝____________ (a≠0，b≠0)． 一、選擇題 1．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，向量表達(dá)式－＋化簡后的結(jié)果是(　　) A. B. C. D. 2．四面體ABCD中，設(shè)M是CD的中點(diǎn)，則＋(＋)化簡的結(jié)果是(　　) A. B. C. D. 3．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)且2＋＋＝0，則等于(　　) A. B. C. D．2 4．若a，b均為非零向量，則ab＝|a||b|是a與b共線的(　　) A．充分不必要條件　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 5．在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則等于(　　) A．0 B. C．－ D．－ 6. 如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于(　　) A．6 B．6 C．12 D．144 題　號 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空題 7．在正四面體O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝__________________(用a，b，c表示)． 8．若向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為，則|a＋b|＝________. 9．在△ABC中，有下列命題： ①－＝； ②＋＋＝0； ③若(＋)(－)＝0，則△ABC為等腰三角形； ④若>0，則△ABC為銳角三角形． 其中正確的是________．(填寫正確的序號) 三、解答題 10. 如圖，已知在空間四邊形OABC中，||＝||，||＝||.求證：⊥. 11. 如圖所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD. 求證：⊥. 能力提升 12．平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，設(shè)＝a，＝b，則△OAB的面積等于(　　) A. B. C. D. 13. 已知在平行六面體ABCD—A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90，∠BAA′＝∠DAA′＝60. (1)求AC′的長(如圖所示)； (2)求與的夾角的余弦值． 1．空間向量的加減法運(yùn)算及加減法的幾何意義和平面向量的是相同的． 2．空間兩個向量a，b的數(shù)量積，仍舊保留平面向量中數(shù)量積的形式，即：ab＝|a||b|cos〈a，b〉，這里〈a，b〉表示空間兩向量所組成的角(0≤〈a，b〉≤π)．空間向量的數(shù)量積具有平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)．應(yīng)用數(shù)量積可以判斷空間兩直線的垂直問題，可以求兩直線夾角問題和線段長度問題．即(1)利用a⊥bab＝0證線線垂直(a，b為非零向量)．(2)利用ab＝|a||b|cos〈a，b〉，cos θ＝，求兩直線的夾角．(3)利用|a|2＝aa，求解有關(guān)線段的長度問題． 2　空間向量的運(yùn)算 知識梳理 1．向量　a＋b 2．a(chǎn)＋(－b)　a－b 3．(1)a＋(b＋c)　(2)b＋a 4．向量　λa　(1)|λ||a|　(2)λ>0　λ<0　λ＝0　(3)aλ　(4)λa＋λb　λa＋μa　(5)λ(μa) 5．a(chǎn)＝λb 6．一個數(shù)　|a||b|cos〈a，b〉　ab 7．(1)ba　(2)ab＋ac　(3)(λa)b 8．(1)　(2)ab＝0　(3) 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．A 　[如圖所示， ∵＝，－ ＝－＝， ＋＝， ∴－＋＝.] 2．A 　[如圖所示， 因(＋)＝， 所以＋(＋) ＝＋＝.] 3．C　[∵D為BC邊中點(diǎn)，∴＋＝2， ∴＋＝0，∴＝.] 4．A　[ab＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|cos〈a，b〉＝1〈a，b〉＝0，當(dāng)a與b反向時，不能成立．] 5．D　[＝(＋) ＝＋－－||2 ＝cos 60＋cos 60－cos 60－＝－.] 6．C　[∵＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2＋2＋2＝108＋266＝144， ∴||＝12.] 7.a＋b＋c 解析　 如圖，＝(＋) ＝＋(＋) ＝a＋b＋c. 8. 解析　|a＋b|＝ ＝＝. 9．②③ 解析?、馘e，－＝；②正確；③正確，||＝||；④錯，△ABC不一定是銳角三角形． 10．證明　∵||＝||，||＝||， ||＝||，∴△OAC≌△OAB. ∴∠AOC＝∠AOB. ∵＝(－) ＝－ ＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝0， ∴⊥. 11．證明　設(shè)＝a，＝b， ＝c， 依題意，|a|＝|b|， 又設(shè)，，中兩兩所成夾角為θ， 于是＝－＝a－b， ＝c(a－b)＝ca－cb ＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0， 所以⊥. 12. C　[如圖所示， S△OAB＝|a||b|sin〈a，b〉 ＝|a||b| ＝|a||b| ＝|a||b| ＝.] 13．解　(1)∵＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2 ＝||2＋||2＋||2＋2(＋＋) ＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85. ∴||＝. (2)設(shè)與的夾角為θ， ∵ABCD是矩形， ∴||＝＝5. ∴由余弦定理可得 cos θ＝ ＝＝. - 8 -