高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 1 歸納與類比 1_1 歸納推理課后演練提升 北師大版選修1-2

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2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 1 歸納與類比 1.1 歸納推理課后演練提升 北師大版選修1-2 一、選擇題 1．如圖所示是一串黑白相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排列，那么第36顆珠子的顏色是(　　) A．白色　　　　　　　　 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 解析：　由圖可知，三白二黑周而復(fù)始相繼排列．因?yàn)?65＝7余1，所以第36顆珠子的顏色與第一顆珠子的顏色相同，即為白色． 答案：　A 2．已知數(shù)列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，則數(shù)列的第k項(xiàng)是(　　) A．a(chǎn)k＋ak＋1＋…＋a2k B．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－1 C．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k D．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－2 解析：　利用歸納推理可知，第k項(xiàng)中第一個(gè)數(shù)為ak－1，且第k項(xiàng)中有k項(xiàng)，且次數(shù)連續(xù)，故第k項(xiàng)為ak－1＋ak＋…＋a2k－2. 答案：　D 3．觀察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，則52 011的末四位數(shù)字為(　　) A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125 解析：　∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝19 531 25,510＝9 765 625，… ∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字呈周期性變化， 且最小正周期為4，記5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字為f(n)， 則f(2 011)＝f(5014＋7)＝f(7)． ∴52 011與57的末四位數(shù)字相同，均為8 125，故選D. 答案：　D 4．凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n＋1邊形的對(duì)角線條數(shù)f(n＋1)等于(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析：　凸n＋1邊形的對(duì)角線條數(shù)f(n＋1)可看作是凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)f(n)加上從第n＋1個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的n－2條對(duì)角線和凸n邊形的一條邊之和，即f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1. 答案：　C 二、填空題 5．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…，若 ＝6(a，b均為實(shí)數(shù))，請(qǐng)推測(cè)a＝____________，b＝________. 解析：　由三個(gè)等式知，左邊被開(kāi)方式中整數(shù)和分?jǐn)?shù)的分子相同，而分母是這個(gè)分子的平方減1，由此推測(cè) ＝6中，a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35. 答案：　6　35 6．根據(jù)下圖中5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜測(cè)第n個(gè)圖中有________個(gè)點(diǎn)． 解析：　觀察圖形的增長(zhǎng)規(guī)律可得：圖(2)從中心點(diǎn)向兩邊各增長(zhǎng)1個(gè)點(diǎn)，圖(3)從中心點(diǎn)向三邊各增長(zhǎng)2個(gè)點(diǎn)，圖(4)從中心點(diǎn)向四邊各增長(zhǎng)3個(gè)點(diǎn)，如此，第n個(gè)圖從中心點(diǎn)向n邊各增長(zhǎng)(n－1)個(gè)點(diǎn)，易得答案：1＋n(n－1)＝n2－n＋1.本題若從圖形的數(shù)值變化方面入手也可歸納出結(jié)果，但沒(méi)有從圖形的結(jié)構(gòu)方面入手直接． 答案：　n2－n＋1 三、解答題 7．觀察下表，填表后再解答問(wèn)題： (1)完成下列表格： 序號(hào) 1 2 3 … 圖形 … ◎的個(gè)數(shù) 8 24 … ☆的個(gè)數(shù) 1 4 … (2)試求第幾個(gè)圖形中“◎”的個(gè)數(shù)和“☆”的個(gè)數(shù)相等？ 解析：　(1)16,9；(2)設(shè)第n個(gè)圖形中“◎”的個(gè)數(shù)和“☆”的個(gè)數(shù)相等．觀察圖形可知8n＝n2，解得n＝8或n＝0(舍去)． 所以第8個(gè)圖形中“◎”的個(gè)數(shù)和“☆”的個(gè)數(shù)相等． 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4； (2)猜測(cè)a5及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解析：　(1)a2＝＝，a3＝＝＝， a4＝＝. (2)猜想a5＝＝，由(1)猜想an的通項(xiàng)公式為an＝. 9．如圖，第n個(gè)圖形是由正n＋2邊形“擴(kuò)展”而來(lái)(n＝1,2,3，…)，則在第n個(gè)圖形中共有頂點(diǎn)多少個(gè)？ 解析：　第1個(gè)圖形中共有頂點(diǎn)12個(gè)，第2個(gè)圖形中共有頂點(diǎn)20個(gè)，第3個(gè)圖形中共有頂點(diǎn)30個(gè)． 這幾個(gè)圖形中頂點(diǎn)個(gè)數(shù)的特征是12＝34,20＝45,30＝56，因此猜測(cè)第n個(gè)圖形中共有頂點(diǎn)(n＋2)(n＋3)個(gè)．