高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.5 圓錐曲線的共同性質(zhì)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) 蘇教版

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學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十二)圓錐曲線的共同性質(zhì) (建議用時(shí)：45分鐘) 學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、填空題 1.雙曲線－y2＝1的右準(zhǔn)線方程是________. 【解析】　由方程可知a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，即c＝. 故雙曲線的右準(zhǔn)線方程是x＝＝. 【答案】　x＝ 2.已知橢圓的離心率為，準(zhǔn)線方程為x＝4，則橢圓的長軸長為________. 【解析】　由＝，＝4，得a＝＝4＝2，故長軸長為2a＝4. 【答案】　4 3.方程x－2y2＝0表示的曲線為________，焦點(diǎn)為________，準(zhǔn)線方程為________. 【解析】　化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)2＝x，表示焦點(diǎn)在x正半軸上的拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線x＝－. 【答案】　拋物線　　x＝－ 4.已知橢圓的兩條準(zhǔn)線方程為y＝9，離心率為，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830056】 【解析】　由題意得? 從而b2＝a2－c2＝9－1＝8， ∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴所求方程為＋＝1. 【答案】　＋＝1 5.已知橢圓兩準(zhǔn)線間的距離為8，虛軸長為2，焦點(diǎn)在x軸上，則此橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 【解析】　依題得：＝4，∴a2＝4c. 又∵2b＝2，∴b＝，b2＝3. ∴b2＋c2＝4c，∴c2－4c＋3＝0，(c－3)(c－1)＝0， ∴c＝3或c＝1. 當(dāng)c＝3時(shí)，a2＝12.橢圓方程為＋＝1. 當(dāng)c＝1時(shí)，a2＝4，橢圓方程為＋＝1. 【答案】?。?或＋＝1 6.如果雙曲線－＝1上的一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是10，那么P到右準(zhǔn)線的距離為________. 【解析】　由雙曲線方程知a2＝16，b2＝9，故c2＝25，所以e＝，由雙曲線定義知P到右焦點(diǎn)的距離為108＝2或18， 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知，P到右準(zhǔn)線的距離為2＝或18＝. 【答案】　或 7.橢圓＋＝1上一點(diǎn)M，到焦點(diǎn)F(0，)的距離為2，則M到橢圓上方準(zhǔn)線的距離是________. 【解析】　∵a2＝16，a＝4，b2＝9，b＝3，∴c2＝7，c＝. ∴e＝＝，設(shè)所求距離為d，則＝， ∴d＝＝8. 【答案】　8 8.已知橢圓＋y2＝1(a＞0)的一條準(zhǔn)線與拋物線y2＝－10x的準(zhǔn)線重合，則橢圓的離心率為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830057】 【解析】　拋物線y2＝－10x的準(zhǔn)線方程是x＝.由題意知，橢圓＋y2＝1的一條準(zhǔn)線方程為x＝，即右準(zhǔn)線方程為x＝，故＝，∴a2＝c，∵b＝1，∴c2＋1＝c，解得c1＝2，c2＝. 當(dāng)c＝2時(shí)，a2＝c＝5，a＝，∴e＝； 當(dāng)c＝時(shí)，a2＝c＝，a＝，∴e＝. 【答案】　或 二、解答題 9.已知橢圓＋＝1，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若PF1∶PF2＝2∶1，求點(diǎn)P的坐標(biāo). 【解】　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y). ∵橢圓＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3. ∴e＝，準(zhǔn)線方程為x＝. 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知PF1＝ed1＝＝x＋5， PF2＝ed2＝＝5－x. ∵PF1∶PF2＝2∶1，∴∶＝2∶1， 解得x＝，代入橢圓的方程得y＝. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或 10.求中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上，一條準(zhǔn)線方程得x＝3，離心率為的橢圓方程. 【解】　方法一：設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0). 由題意得所以 ∴b2＝a2－c2＝. ∴所求橢圓的方程為＋＝1. 方法二：設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)為(x，y). 由法一知，準(zhǔn)線x＝3對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)為F. 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得＝. ∴＝，化簡得4x2＋9y2＝20. ∴所求橢圓的方程為＋＝1. 能力提升] 1.已知點(diǎn)M(x，y)滿足＝|x－3|， 則M點(diǎn)的軌跡是________. 【解析】　由題意得＝，所以M到定點(diǎn)(1,0)和定直線x＝3的距離之比為定值，∴M的軌跡是橢圓. 【答案】　橢圓 2.設(shè)橢圓＋＝1(m>1)上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為3，到右焦點(diǎn)的距離為1，則P到右準(zhǔn)線的距離為________. 【解析】　由題意得2m＝3＋1，m＝2，故橢圓的方程是＋＝1，該橢圓的離心率是，設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離等于d，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得＝，d＝2，即點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離等于2. 【答案】　2 3.設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)恒過定點(diǎn)A(1,2)，則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值為________. 【解析】　∵A(1,2)在橢圓上，∴＋＝1， ∴b2＝，則中心到準(zhǔn)線距離的平方為2＝＝＝＝. 令a2－5＝t＞0， f(t)＝＝t＋＋9≥9＋4. 當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)取“＝”， ∴≥＝＋2， ∴min＝＋2. 【答案】　＋2 4.已知A(4,0)，B(2,2)是橢圓＋＝1內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn). (1)求MA＋MB的最大值和最小值. (2)求MB＋MA的最小值. 【解】　(1)由＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4. ∴點(diǎn)A(4,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，則其左焦點(diǎn)為F(－4,0). 又∵M(jìn)A＋MF＝2a＝10， ∴MA＋MB＝10－MF＋MB. ∵|MB－MF|≤BF＝＝2， ∴－2≤MB－MF≤2. 故10－2≤MA＋MB≤10＋2. 即MA＋MB的最大值為10＋2，最小值為10－2. (2)由題意橢圓的右準(zhǔn)線為x＝，設(shè)M到右準(zhǔn)線的距離為MN，由橢圓的統(tǒng)一定義知＝e＝， ∴MA＝MN，MB＋MA＝MB＋MN，易知 當(dāng)B，M，N共線時(shí)，MB＋MN最小，最小值為－2＝，此時(shí)M的坐標(biāo)為.