高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 10 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案 文

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學(xué)案10　平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 班級________姓名_______ 【導(dǎo)學(xué)目標(biāo)】1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的坐標(biāo)表示.3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件． 【知識梳理】 1．平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個非零向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝______________. 我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 2．夾角 （1）已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做 向量a與b的夾角． 特別注意：當(dāng)兩向量是共起點(diǎn)或共終點(diǎn)時，則所成角為向量的夾角；當(dāng)兩向量首位相連時，則向量的夾角為所成角的補(bǔ)角。 (2)向量夾角θ的范圍是________，a與b同向時，夾角θ＝____；a與b反向時，夾角θ＝____. (3)如果向量a與b的夾角是________，我們說a與b垂直，記作________． 3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和實數(shù)λ，那么a＋b＝________________________， a－b＝________________________，λa＝________________，|a|=___________________. （2）已知A（），B（），則＝ ，||＝__________________. 4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (b≠0)，則a∥b的充要條件是________________________． 5．(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為________________________________． (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則△P1P2P3的重心P的坐標(biāo)為_______________． 【自我檢測】 1．若向量a＝(x,3)(x∈R)，則“x＝4”是“|a|＝5”的 (　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 2．設(shè)a＝，b＝，且a∥b，則銳角α為 (　　) A．30 B．45 C．60 D．75 3.已知向量a=(6，-4)，b=（0，2），＝c＝a＋λb，若C點(diǎn)在函數(shù)y＝sin x的圖象上，則實數(shù)λ等于 (　　) A. B. C．－ D．－ 4． 若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，則c等于 (　　) A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a(chǎn)＋3b 5． 已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b與b平行，則k＝________. 6．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，則m＝________. 探究點(diǎn)一　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例1　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，(1)求3a＋b－3c； (2)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 變式1 已知點(diǎn)A（1，-2），若向量與a＝(2,3)同向，||＝2，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。 探究點(diǎn)二　在向量平行下求參數(shù)問題 例2　已知平面內(nèi)三個向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m、n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k. (3)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. 變式2　已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝________. 探究點(diǎn)三　平面向量基本定理的應(yīng)用 例3 如圖，平面內(nèi)有三個向量、、，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，則λ＋μ的值為______． 【課后練習(xí)與提高】 1.已知a,b是不共線的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b， (λ1，λ2∈R)，則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為 (　　) A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1 C．λ1λ2－1＝0 D．λ1λ2＋1＝0 2.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，＝x＋y，且 ＝2，則 (　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 3．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于 (　　) A．－a＋b B.a－b C．－a－b D．－a＋b 4．在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于 (　　) A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21) 5． 若平面向量b與向量a＝(1，－2)的夾角是180，且|b|＝3，則b等于 (　　) A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3) 6.設(shè)0≤θ≤2π時，已知兩個向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，則向量長度的最大值是 (　　) A. B. C．3 D．2 7.在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則等于(　　) A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4) 8．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實數(shù)x的值為________． 9．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)滿足＝＋，則＝________. 10．設(shè)＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A、B、C三點(diǎn)共線，則＋的最小值是________． 11．已知平行四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)分別是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，則第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是__________________ 13．已知向量a、b，是否存在實數(shù)k，使得ka＋b與a－3b共線，且方向相反？ 14．(2014陜西文)在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，且. （1）若，求；（2）用表示，并求的最大值.