高三數(shù)學(xué)第3周教學(xué)設(shè)計（第4節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)）

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函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)考點(diǎn)：1二次函數(shù)掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會求二次函數(shù)的最值(值域)、單調(diào)區(qū)間2冪函數(shù)(1)了解冪函數(shù)的概念(2)結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，y，yx的圖象，了解它們的變化情況主干知識：知識點(diǎn)一五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1圖象定義域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(，0減，(0，)增增增(，0)和(0，)減公共點(diǎn)(1,1)易誤提醒形如yx(R)才是冪函數(shù)，如y3x不是冪函數(shù)自測練習(xí)1已知冪函數(shù)f(x)kx的圖象過點(diǎn)，則k()A. B1 C. D2解析：因為函數(shù)f(x)kx是冪函數(shù)，所以k1，又函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)，所以，解得，則k.答案：C知識點(diǎn)二二次函數(shù)1二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)(3)零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)a0a0，a0恒成立的充要條件是(2)ax2bxc0，a0恒成立的充要條件是自測練習(xí)2.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么此函數(shù)的解析式可能是()Ayx22x1Byx22x1Cyx22x1Dyx22x1解析：設(shè)二次函數(shù)的解析式為f(x)ax2bxc(a0)，由題圖得：a0，b0.選C.答案：C3若二次函數(shù)f(x)ax24xc的值域為0，)，則a，c滿足的條件是_解析：由已知得答案：a0，ac44已知f(x)4x2mx5在2，)上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是_解：因為函數(shù)f(x)4x2mx5的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以2，即m16.答案：(，16考點(diǎn)練習(xí)：考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)|1(2015濟(jì)南二模)若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)3f(2)，則f的值為()A. B. C. D.解析：設(shè)f(x)xa，又f(4)3f(2)，4a32a，解得alog23，flog23.答案：A2.若四個冪函數(shù)yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()AdcbaBabcdCdcabDabdc解析：冪函數(shù)a2，b，c，d1的圖象，正好和題目所給的形式相符合，在第一象限內(nèi)，x1的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)增大，所以abcd.故選B.答案：B3(2015安慶三模)若(a1)(32a)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式(a1)32a0或32aa10或a1032a.解得a1或a0，若在(0，)上單調(diào)遞減，則0)，將點(diǎn)D(1,1)代入得，a，即y(x3)2，故選D.答案D(2)函數(shù)f(x)4x2mx5在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，則f(1)的取值范圍是()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)25解析函數(shù)f(x)4x2mx5的增區(qū)間為，由已知可得2m16，所以f(1)412m159m25.答案A解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時兩個注意點(diǎn)(1)拋物線的開口、對稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約常見的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論；(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍1已知函數(shù)f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在區(qū)間2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b0，則f(x)在區(qū)間2,3上是增函數(shù)則有解得若a0，則f(x)在區(qū)間2,3上是減函數(shù)，則有解得綜上可知，a1，b0或a1，b3.(2)由b2tx在t2,2時恒成立，求實數(shù)x的取值范圍解(1)由知f(x)ax2bx(a0)的對稱軸是直線x1，b2a.函數(shù)f(x)的圖象與直線yx只有一個公共點(diǎn)，方程組有且只有一個解，即ax2(b1)x0有兩個相同的實根，(b1)20，即b1，a.f(x)x2x.(2)1，f(x)2tx等價于f(x)tx2，即x2xtx2在t2,2時恒成立函數(shù)g(t)xt0在t2,2時恒成立，即解得x3，故實數(shù)x的取值范圍是(，3)(3，)不等式恒成立的求解方法由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，其依據(jù)是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.2設(shè)函數(shù)f(x)ax22x2，對于滿足1x0，求實數(shù)a的取值范圍解：由f(x)0，即ax22x20，x(1,4)，得a在(1,4)上恒成立令g(x)22，g(x)maxg(2)，所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要a即可.3.分類討論思想在二次函數(shù)最值中的應(yīng)用【典例】已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值思路分析參數(shù)a的值確定f(x)圖象的形狀；a0時，函數(shù)f(x)的圖象為拋物線，還要考慮開口方向和對稱軸位置解(1)當(dāng)a0時，f(x)2x在0,1上遞減，f(x)minf(1)2.(2)當(dāng)a0時，f(x)ax22x圖象的開口方向向上，且對稱軸為x.當(dāng)1，即a1時，f(x)ax22x圖象的對稱軸在0,1內(nèi)，f(x)在上遞減，在上遞增f(x)minf.當(dāng)1，即0a1時，f(x)ax22x圖象的對稱軸在0,1的右側(cè)，f(x)在0,1上遞減f(x)minf(1)a2.(3)當(dāng)a0時，f(x)ax22x的圖象的開口方向向下，且對稱軸x0，在y軸的左側(cè)，f(x)ax22x在0,1上遞減f(x)minf(1)a2.綜上所述，f(x)min思想點(diǎn)評(1)本題在求二次函數(shù)最值時，用到了分類討論思想，求解中既對系數(shù)a的符號進(jìn)行了討論，又對對稱軸進(jìn)行討論在分類討論時要遵循分類的原則：一是分類的標(biāo)準(zhǔn)要一致，二是分類時要做到不重不漏，三是能不分類的要盡量避免分類，絕不無原則的分類討論(2)在有關(guān)二次函數(shù)最值的求解中，若軸定區(qū)間動，仍應(yīng)對區(qū)間進(jìn)行分類討論跟蹤練習(xí)設(shè)函數(shù)yx22x，x2，a，若函數(shù)的最小值為g(x)，求g(x)解：函數(shù)yx22x(x1)21，對稱軸為直線x1，x1不一定在區(qū)間2，a內(nèi)，應(yīng)進(jìn)行討論當(dāng)21時，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減，在1，a上單調(diào)遞增，則當(dāng)x1時，y取得最小值，即ymin1.綜上，g(x)練習(xí)A組考點(diǎn)能力演練1當(dāng)ab0時，函數(shù)yax2與f(x)axb在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是下列圖象中的()解析：因為ab0，所以，當(dāng)a0，b0，b0時，函數(shù)yax2的圖象開口向上，函數(shù)f(x)axb的圖象在x軸上的截距為負(fù)值，在y軸上的截距為正值，沒有符合條件的選項，故選D.答案：D2已知函數(shù)f(x)x2xc.若f(0)0，f(p)0Bf(p1)0，f(p)0，1p0，f(p1)0.答案：A3若冪函數(shù)y(m23m3)xm2m2的圖象不過原點(diǎn)，則m的取值是()A1m2 Bm1或m2Cm2 Dm1解析：由冪函數(shù)性質(zhì)可知m23m31，m2或m1.又冪函數(shù)圖象不過原點(diǎn)，m2m20，即1m2，m2或m1.答案：B4若函數(shù)yx23x4的定義域為0，m，值域為，則m的取值范圍是()A0,4 B.C. D.解析：二次函數(shù)圖象的對稱軸為x，且f，f(3)f(0)4，由圖得m.答案：D5(2015滄州質(zhì)檢)如果函數(shù)f(x)x2bxc對任意的x都有f(x1)f(x)，那么()Af(2)f(0)f(2)Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(0)f(2)f(2)解析：由f(1x)f(x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，又拋物線f(x)開口向上，f(0)f(2)f(2)答案：D6二次函數(shù)f(x)x2(2log2m)xm是偶函數(shù)，則實數(shù)m_.解析：利用偶函數(shù)性質(zhì)求解因為偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以0，解得m4.答案：47已知冪函數(shù)f(x)x，若f(a1)0)，易知x(0，)時為減函數(shù)，又f(a1)f(102a)，解得3a1)(1)若f(x)的定義域和值域均是1，a，求實數(shù)a的值；(2)若f(x)在區(qū)間(，2上是減函數(shù)，且對任意的x1，x21，a1，總有|f(x1)f(x2)|4，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)(xa)25a2(a1)，f(x)在1，a上是減函數(shù)又定義域和值域均為1，a即解得a2.(2)f(x)在區(qū)間(，2上是減函數(shù)，a2.又xa1，a1，且(a1)aa1，f(x)maxf(1)62a，f(x)minf(a)5a2.對任意的x1，x21，a1，總有|f(x1)f(x2)|4，f(x)maxf(x)min4，得1a3.又a2，2a3.故實數(shù)a的取值范圍是2,3B組高考題型專練1(2014高考浙江卷)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)xa(x0)，g(x)logax的圖象可能是()解析：函數(shù)yxa(x0)與ylogax(x0)，選項A中沒有冪函數(shù)圖象，不符合；對于選項B，yxa(x0)中a1，ylogax(x0)中0a1，不符合；對于選項C，yxa(x0)中，0a0)中a1，不符合，對于選項D，yxa(x0)中0a0)中，0a0，q0)的兩個不同的零點(diǎn)，且a，b，2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq的值等于_解析：依題意有a，b是方程x2pxq0的兩根，則abp，abq，由p0，q0可知a0，b0.由題意可知ab(2)24q，a22b或b22a，將a22b代入ab4可解得a4，b1，此時ab5，將b22a代入ab4可解得a1，b4，此時ab5，則p5，故pq9.答案：9