八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版37

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2015-2016學(xué)年河南省安陽市滑縣八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（每小題3分，共24分） 1．若有意義，則x滿足條件（　　） A．x＞2． B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2． 2．下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（　?。? A． B． C． D． 3．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列四條線段不能組成直角三角形的是（　?。? A．a(chǎn)=8，b=15，c=17 B．a(chǎn)=9，b=12，c=15 C．a(chǎn)=9，b=40，c=41 D．a(chǎn)：b：c=2：3：4 5．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，則圖中共有平行四邊形的個(gè)數(shù)是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如圖，O是菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)．下列結(jié)論：①S△ADE=S△EOD；②四邊形BFDE也是菱形；③△DEF是軸對(duì)稱圖形；④∠ADE=∠EDO；⑤四邊形ABCD面積為EFBD．其中正確的結(jié)論有（　　） A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè) 7．四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，能判定它是正方形的是（　　） A．AO=OC，OB=OD B．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD C．AO=OC，OB=OD，AC⊥BD D．AO=OC=OB=OD 8．如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是4，高是6的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是（　?。? A．9 B．10 C． D． 　 二、填空題（每題3分，共21分） 9．如圖，平行四邊形ABCD中，∠A的平分線AE交CD于E，AB=5，BC=3，則EC的長(zhǎng)為______． 10．計(jì)算：（﹣2）2009?（+2）2010=______． 11．如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，互相垂直，那么這個(gè)四邊形是______． 12．已知m＜3，則=______；若2＜x＜3，則=______． 13． 如圖，l是四邊形ABCD的對(duì)稱軸，如果AD∥BC，有下列結(jié)論： （1）AB∥CD；（2）AB=CD；（3）AB⊥BC；（4）AO=OC 其中正確的結(jié)論是______（把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）． 14．觀察下列各式：①，②，③，…請(qǐng)寫出第⑦個(gè)式子：______，用含n （n≥1）的式子寫出你猜想的規(guī)律：______． 15．如圖，Rt△ABC中，∠B=90，AC=10cm，BC=8cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度，沿AB向終點(diǎn)B移動(dòng)；點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)，其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止．連結(jié)PQ，若經(jīng)x秒后P，Q兩點(diǎn)之間的距離為4，那么x的值為______． 　 三、解答題 16．計(jì)算： （1）2 （2） （3）（3+2）（2） （4）（3﹣）2． 17．如圖，某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，問學(xué)校需要投入多少資金買草皮？ 18．已知，如圖所示，△ABC中，AD是角平分線，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且DE∥AC，DF∥AB，試說明四邊形ABDF是菱形． 19．觀察下列等式： ①； ②； ③；… 回答下列問題： （1）利用你的觀察到的規(guī)律，化簡(jiǎn)：； （2）計(jì)算：． 20．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60，點(diǎn)E時(shí)AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M時(shí)AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接MD，AN． （1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形． （2）填空：①當(dāng)AM的值為______時(shí)，四邊形AMDN是矩形； ②當(dāng)AM的值為______時(shí)，四邊形AMDN是菱形． 21．如圖，矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，P是AD上任一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F．求PE+PF的值． 22．有這樣一類題目：將化簡(jiǎn)，如果你能找到兩個(gè)數(shù)m、n，使記m2+n2=a，并且mn=，則將a2，變成m2+n22mn=（mn）2開方，從而使得化簡(jiǎn)． 例如：化簡(jiǎn)． 因?yàn)?+2=1+2+2=12+（）2+2=（1+）2 所以==1+ 仿照上例化簡(jiǎn)下列各式： （1）； （2）． 23．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，BC=5，∠C=30．點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF． （1）求證：AE=DF； （2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由． （3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由． 　  2015-2016學(xué)年河南省安陽市滑縣八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題3分，共24分） 1．若有意義，則x滿足條件（　?。? A．x＞2． B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2． 【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，即可得到關(guān)于x的不等式組，即可求解． 【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故選B． 　 2．下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】二次根式的加減法． 【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則分別計(jì)算，再作判斷． 【解答】解：A、==7，正確； B、==2，正確； C、+=3+5=8，正確； D、，故錯(cuò)誤．故選D． 　 3．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式． 【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查定義中的兩個(gè)條件（①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式）是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是． 【解答】解：A、被開方數(shù)里含有能開得盡方的因數(shù)8，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、符合最簡(jiǎn)二次根式的條件；故本選項(xiàng)正確； B、，被開方數(shù)里含有能開得盡方的因式x2；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、被開方數(shù)里含有分母；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． D、被開方數(shù)里含有能開得盡方的因式a2；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選；B． 　 4．下列四條線段不能組成直角三角形的是（　?。? A．a(chǎn)=8，b=15，c=17 B．a(chǎn)=9，b=12，c=15 C．a(chǎn)=9，b=40，c=41 D．a(chǎn)：b：c=2：3：4 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案． 【解答】解：A、因?yàn)?2+152=172，故A能組成直角三角形； B、因?yàn)?2+122=152，故B能組成直角三角形； C、因?yàn)?2+402=412，故C能組成直角三角形； D、不滿足勾股定理的逆定理，故D不能組成直角三角形． 故選D． 　 5．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，則圖中共有平行四邊形的個(gè)數(shù)是（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)． 【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，AD∥BC，進(jìn)而得出AFBE，DFEC，AFEC，求出答案． 【解答】解：∵點(diǎn)E、F分別為邊BC，AD的中點(diǎn)， ∴AF=DF，BE=EC， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴AF=DF=BE=EC， ∴AFBE，DFEC，AFEC， ∴四邊形ABEF是平行四邊形，四邊形AECF是平行四邊形，四邊形FECD是平行四邊形， 則圖中共有平行四邊形的個(gè)數(shù)是4個(gè)． 故選：B． 　 6．如圖，O是菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)．下列結(jié)論：①S△ADE=S△EOD；②四邊形BFDE也是菱形；③△DEF是軸對(duì)稱圖形；④∠ADE=∠EDO；⑤四邊形ABCD面積為EFBD．其中正確的結(jié)論有（　?。? A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè) 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；軸對(duì)稱圖形． 【分析】①正確，根據(jù)三角形的面積公式可得到結(jié)論． ②根據(jù)已知條件利用菱形的判定定理可證得其正確． ③正確，根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半即可求得． ④不正確，根據(jù)已知可求得∠FDO=∠EDO，而無法求得∠ADE=∠EDO． ⑤正確，由已知可證得△DEO≌△DFO，從而可推出結(jié)論正確． 【解答】解：①正確 ∵E、F分別是OA、OC的中點(diǎn)． ∴AE=OE． ∵S△ADE=AEOD=OEOD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正確 ∵四邊形ABCD是菱形，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)． ∴EF⊥OD，OE=OF． ∵OD=OD． ∴DE=DF． 同理：BE=BF ∴四邊形BFDE是菱形． ③正確 ∵菱形ABCD的面積=ACBD． ∵E、F分別是OA、OC的中點(diǎn)． ∴EF=AC． ∴菱形ABCD的面積=EFBD． ④不正確 由已知可求得∠FDO=∠EDO，而無法求得∠ADE=∠EDO． ⑤正確 ∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD． ∴△DEO≌△DFO． ∴△DEF是軸對(duì)稱圖形． ∴正確的結(jié)論有四個(gè)，分別是①②③⑤，故選B． 　 7．四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，能判定它是正方形的是（　?。? A．AO=OC，OB=OD B．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD C．AO=OC，OB=OD，AC⊥BD D．AO=OC=OB=OD 【考點(diǎn)】正方形的判定． 【分析】根據(jù)正方形的判定對(duì)角線相等且互相垂直平分是正方形對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析從而得到答案． 【解答】解：A，不能，只能判定為平行四邊形； B，能，因?yàn)閷?duì)角線相等且互相垂直平分； C，不能，只能判定為菱形； D，不能，只能判定為矩形； 故選B． 　 8．如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是4，高是6的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是（　　） A．9 B．10 C． D． 【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題． 【分析】將長(zhǎng)方體展開，得到兩種不同的方案，利用勾股定理分別求出AB的長(zhǎng)，最短者即為所求． 【解答】解：如圖（1），AB==； 如圖（2），AB===10． 故選B． 　 二、填空題（每題3分，共21分） 9．如圖，平行四邊形ABCD中，∠A的平分線AE交CD于E，AB=5，BC=3，則EC的長(zhǎng)為　2?。? 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD=5，DC∥AB，AD=BC=3，然后證明AD=DE，進(jìn)而可得EC長(zhǎng)． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD=5，DC∥AB，AD=BC=3， ∴∠DEA=∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA， ∴AD=DE， ∵AD=3， ∴DE=3， ∴EC=5﹣3=2． 故答案為：2． 　 10．計(jì)算：（﹣2）2009?（+2）2010=　﹣﹣2?。? 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算． 【分析】先根據(jù)積的乘方得到原式=[（﹣2）（+2）]2009?（+2），然后利用平方差公式計(jì)算． 【解答】解：原式=[（﹣2）（+2）]2009?（+2） =（3﹣4）2009?（+2） =﹣（+2） =﹣﹣2． 故答案為﹣﹣2． 　 11．如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，互相垂直，那么這個(gè)四邊形是　菱形?。? 【考點(diǎn)】菱形的判定． 【分析】由一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，互相垂直，根據(jù)菱形的判定定理可得這個(gè)四邊形是菱形． 【解答】解：∵一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分， ∴此四邊形是平行四邊形， ∵兩條對(duì)角線互相垂直， ∴這個(gè)四邊形是菱形． 故答案為：菱形． 　 12．已知m＜3，則=　3﹣m?。蝗?＜x＜3，則=　1　． 【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)． 【分析】根據(jù)=|a|=求出即可． 【解答】解：∵m＜3， ∴=3﹣m， ∵2＜x＜3， ∴+|x﹣3| =x﹣2+3﹣x =1， 故答案為：3﹣m，1． 　 13． 如圖，l是四邊形ABCD的對(duì)稱軸，如果AD∥BC，有下列結(jié)論： （1）AB∥CD；（2）AB=CD；（3）AB⊥BC；（4）AO=OC 其中正確的結(jié)論是?、佗冖堋。ò涯阏J(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)；平行線的判定與性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)平行和對(duì)稱得到△AOD≌△COB，所以AD=BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可． 【解答】解：∵L是四邊形ABCD的對(duì)稱軸， ∴AO=CO， ∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠CBO， 又∠AOD=∠BOC=90， ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴AD=BC， 又∵AD∥BC， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∴①AB∥CD，正確； ②AB與BC是關(guān)于L的對(duì)應(yīng)線段，所以相等，正確； ③AB與BC相交于點(diǎn)B，錯(cuò)誤； ④AO=CO，正確． 故正確的是①②④． 故答案為：①②④． 　 14．觀察下列各式：①，②，③，…請(qǐng)寫出第⑦個(gè)式子：　=8　，用含n （n≥1）的式子寫出你猜想的規(guī)律：?。╪+1）　． 【考點(diǎn)】算術(shù)平方根． 【分析】根據(jù)所給的式子找出規(guī)律，再進(jìn)行解答即可． 【解答】解：∵第①式子==（1+1）； 第②式子==（1+2）； 第③式子， =4=（1+3）； …； ∴第⑦個(gè)式子為： =8， 第n個(gè)式子為： =（n+1）． 故答案為： =8；（n+1）． 　 15．如圖，Rt△ABC中，∠B=90，AC=10cm，BC=8cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度，沿AB向終點(diǎn)B移動(dòng)；點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)，其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止．連結(jié)PQ，若經(jīng)x秒后P，Q兩點(diǎn)之間的距離為4，那么x的值為　2或?。? 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】首先運(yùn)用勾股定理求出AB邊的長(zhǎng)度，然后根據(jù)路程=速度時(shí)間，分別表示出BQ、PB的長(zhǎng)度，再由P，Q兩點(diǎn)之間的距離為4，列出方程（2x）2+（2x）2=（4）2，解方程即可． 【解答】解：∵∠B=90，AC=10cm，BC=8cm， ∴AB=6cm． ∴BQ=2x，PB=6﹣x． ∵P，Q兩點(diǎn)之間的距離為4， ∴BQ2+PB2=PQ2， ∴（2x）2+（6﹣x）2=（4）2， 整理得，5x2﹣12x+4=0， 解得x1=2，x2=． 故答案為：2或． 　 三、解答題 16．計(jì)算： （1）2 （2） （3）（3+2）（2） （4）（3﹣）2． 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算． 【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘除法進(jìn)行計(jì)算即可； （2）先對(duì)原式化簡(jiǎn)，再合并同類項(xiàng)即可解答本題； （3）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方法進(jìn)行計(jì)算即可解答本題； （4）根據(jù)完全平方公式即可解答本題． 【解答】解：（1）2 = = =； （2） = =； （3）（3+2）（2） = =； （4）（3﹣）2 = =54﹣+15 =． 　 17．如圖，某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，問學(xué)校需要投入多少資金買草皮？ 【考點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理． 【分析】仔細(xì)分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結(jié)果．連接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的長(zhǎng)，由BD、CD、BC的長(zhǎng)度關(guān)系可得三角形DBC為一直角三角形，DC為斜邊；由此看，四邊形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC構(gòu)成，則容易求解． 【解答】解：連接BD， 在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52， 在△CBD中，CD2=132，BC2=122， 而122+52=132， 即BC2+BD2=CD2， ∴∠DBC=90， S四邊形ABCD=S△BAD+S△DBC=?AD?AB+DB?BC， =43+125=36． 所以需費(fèi)用36200=7200（元）． 　 18．已知，如圖所示，△ABC中，AD是角平分線，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且DE∥AC，DF∥AB，試說明四邊形ABDF是菱形． 【考點(diǎn)】菱形的判定． 【分析】先證明四邊形AEDF是平行四邊形，再證明AF=DF即可證明． 【解答】證明：如圖，∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四邊形AEDF是平行四邊形， ∵AD是∠BAC的平分線， ∴∠BAD=∠CAD， ∵DF∥AB， ∴∠ADF=∠BAD， ∴∠CAD=∠ADF， ∴AF=DF， ∴四邊形AEDF是菱形． 　 19．觀察下列等式： ①； ②； ③；… 回答下列問題： （1）利用你的觀察到的規(guī)律，化簡(jiǎn)：； （2）計(jì)算：． 【考點(diǎn)】分母有理化． 【分析】（1）根據(jù)已知的3個(gè)等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律： =﹣，把n=22代入即可求解； （2）先利用上題的規(guī)律將每一個(gè)分?jǐn)?shù)化為兩個(gè)二次根式的差的形式，再計(jì)算即可． 【解答】解：（1）=﹣； （2）計(jì)算： +++…+ =﹣1+﹣+2﹣+…+﹣ =﹣1 =9． 　 20．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60，點(diǎn)E時(shí)AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M時(shí)AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接MD，AN． （1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形． （2）填空：①當(dāng)AM的值為　1　時(shí)，四邊形AMDN是矩形； ②當(dāng)AM的值為　2　時(shí)，四邊形AMDN是菱形． 【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；矩形的判定． 【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得ND∥AM，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根據(jù)中點(diǎn)的定義求出DE=AE，然后利用“角角邊”證明△NDE和△MAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到ND=MA，然后利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明； （2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30，然后根據(jù)直角三角形30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可得出結(jié)果； ②根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AN=DN，證得△ADN為等邊三角形，即可得出結(jié)果． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴ND∥AM， ∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME， ∵點(diǎn)E是AD中點(diǎn)， ∴DE=AE， 在△NDE和△MAE中， ， ∴△NDE≌△MAE（AAS）， ∴ND=MA， ∴四邊形AMDN是平行四邊形； （2）①AM=1時(shí)，四邊形AMDN是矩形；理由如下： ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD=AB=2， ∵平行四邊形AMDN是矩形， ∴DM⊥AB， 即∠DMA=90， ∵∠DAB=60， ∴∠ADM=30， ∴AM=AD=1； ②當(dāng)AM=2時(shí)，四邊形AMDN是菱形；理由如下： ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD=AB=2， ∵平行四邊形AMDN是菱形， ∴AN=DN， ∵∠DAB=60， ∴∠ADN=60， ∴△ADN為等邊三角形， ∴AM=DN=AD=2． 　 21．如圖，矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，P是AD上任一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F．求PE+PF的值． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】首先連接OP．由矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，可求得OA=OD=，S△AOD=S矩形ABCD=3，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF=OA（PE+PF）=（PE+PF）=3，求得答案． 【解答】解：連接OP， ∵矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4， ∴S矩形ABCD=AB?BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==5， ∴S△AOD=S矩形ABCD=3，OA=OD=， ∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF=OA（PE+PF）=（PE+PF）=3， ∴PE+PF=． 　 22．有這樣一類題目：將化簡(jiǎn)，如果你能找到兩個(gè)數(shù)m、n，使記m2+n2=a，并且mn=，則將a2，變成m2+n22mn=（mn）2開方，從而使得化簡(jiǎn)． 例如：化簡(jiǎn)． 因?yàn)?+2=1+2+2=12+（）2+2=（1+）2 所以==1+ 仿照上例化簡(jiǎn)下列各式： （1）； （2）． 【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)． 【分析】仿照例題利用完全平方根是進(jìn)行化簡(jiǎn)即可． 【解答】解：（1）原式===2+． （2）原式===． 　 23．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，BC=5，∠C=30．點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF． （1）求證：AE=DF； （2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由． （3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；矩形的性質(zhì)；解直角三角形． 【分析】（1）在△DFC中，∠DFC=90，∠C=30，由已知條件求證； （2）求得四邊形AEFD為平行四邊形，若使?AEFD為菱形則需要滿足的條件及求得； （3）①∠EDF=90時(shí)，四邊形EBFD為矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得． ②∠DEF=90時(shí)，由（2）知EF∥AD，則得∠ADE=∠DEF=90，求得AD=AE?cos60列式得． ③∠EFD=90時(shí)，此種情況不存在． 【解答】（1）證明：在△DFC中，∠DFC=90，∠C=30，DC=2t， ∴DF=t． 又∵AE=t， ∴AE=DF． （2）解：能．理由如下： ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF． 又AE=DF， ∴四邊形AEFD為平行四邊形． ∵AB=BC?tan30=5=5， ∴AC=2AB=10． ∴AD=AC﹣DC=10﹣2t． 若使?AEFD為菱形，則需AE=AD， 即t=10﹣2t，t=． 即當(dāng)t=時(shí)，四邊形AEFD為菱形． （3）解：①∠EDF=90時(shí)，四邊形EBFD為矩形． 在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30， ∴AD=2AE． 即10﹣2t=2t，t=． ②∠DEF=90時(shí)，由（2）四邊形AEFD為平行四邊形知EF∥AD， ∴∠ADE=∠DEF=90． ∵∠A=90﹣∠C=60， ∴AD=AE?cos60． 即10﹣2t=t，t=4． ③∠EFD=90時(shí)，此種情況不存在． 綜上所述，當(dāng)t=秒或4秒時(shí)，△DEF為直角三角形．