中考數(shù)學(xué)命題研究 第三編 綜合專(zhuān)題闖關(guān)篇 專(zhuān)題四 線(xiàn)段和的最小值問(wèn)題試題

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專(zhuān)題四 線(xiàn)段和的最小值問(wèn)題 縱觀(guān)貴陽(yáng)5年中考，2014年和2015年兩年連續(xù)考查了利用對(duì)稱(chēng)求線(xiàn)段和最小值的幾何問(wèn)題．設(shè)置在第24題、25題，以解答題的形式出現(xiàn)，分值為12分，難度較大． 預(yù)計(jì)2017貴陽(yáng)中考還會(huì)設(shè)計(jì)利用圖形變換考查此類(lèi)問(wèn)題的幾何綜合題，復(fù)習(xí)時(shí)要加大訓(xùn)練力度． ,中考重難點(diǎn)突破) 線(xiàn)段的最小值 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例】(六盤(pán)水中考)(1)觀(guān)察發(fā)現(xiàn) 如圖①，若點(diǎn)A，B在直線(xiàn)m同側(cè)，在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P，使AP＋BP的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，與直線(xiàn)m的交點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)P，線(xiàn)段AB′的長(zhǎng)度即為AP＋BP的最小值． 如圖②，在等邊三角形ABC中，AB＝2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP＋PE的值最小，做法如下： 作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)P，故BP＋PE的最小值為_(kāi)_______． (2)實(shí)踐運(yùn)用 如圖③，已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP＋AP的值最小，則BP＋AP的最小值為_(kāi)_______． (3)拓展延伸 如圖④，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB，BC上作出點(diǎn)M，點(diǎn)N，使PM＋PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法． 【解析】(1)利用作法得到CE的長(zhǎng)為BP＋PE的最小值；由AB＝2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE⊥AB，∠BCE＝∠BCA＝30，BE＝1，再根據(jù)含30的直角三角形三邊的關(guān)系得到CE的長(zhǎng)度．CE的長(zhǎng)為BP＋PE的最小值．∵在等邊三角形ABC中，AB＝2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴CE⊥AB，∠BCE＝∠BCA＝30，BE＝1，∴CE＝BE＝.故答案為；(2)過(guò)B點(diǎn)作弦BE⊥CD ，連接AE交CD于P點(diǎn)，連接OB，OE，OA，PB，根據(jù)垂徑定得到CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，則AE的長(zhǎng)就是BP＋AP的最小值． 【學(xué)生解答】解：(1)；(2)實(shí)踐運(yùn)用 如解圖①，過(guò)B作弦BE⊥CD，連接AE交CD于P點(diǎn)，連接OB，OE，OA，PB.∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)．∵的度數(shù)為60，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴∠BOC＝30，∠AOC＝60，∴∠EOC＝30，∴∠AOE＝60＋30＝90，∵OA＝OE＝1，∴AE＝OA＝，∵AE的長(zhǎng)就是BP＋AP的最小值．故答案為； (3)分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB和BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E和F，然后連接EF，EF交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N.拓展延伸如解圖②. 1．(2015綏化中考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5.若點(diǎn)M，N分別是線(xiàn)段AC，AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是( B ) A．10 B．8 C．5 D．6 ,(第1題圖)) ,(第2題圖)) 2．(2016貴陽(yáng)模擬)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在邊DC上，且DM＝1，N為對(duì)角線(xiàn)AC上任意一點(diǎn)，則DN＋MN的最小值為( B ) A．3 B．5 C．6 D．無(wú)法確定 3．(2016原創(chuàng))如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，PM＋PN的最小值是( B ) A．2 B．1 C. D. 4．(2016原創(chuàng))幾何模型： 條件：如下左圖，A，B是直線(xiàn)l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)． 問(wèn)題：在直線(xiàn)l上確定一點(diǎn)P，使PA＋PB的值最?。? 方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA＋PB＝A′B的值最小(不必證明)． 模型應(yīng)用： (1)如圖①，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．連接BD，由正方形對(duì)稱(chēng)性可知，B與D關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)．連接PE，PB，則PB＋PE的最小值是________； (2)如圖②，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA＋PC的最小值； (3)如圖③，∠AOB＝30，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO＝8，Q，R分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值． 解：(1)；(2)如圖②，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)A′，則點(diǎn)A，A′關(guān)于直線(xiàn)OB對(duì)稱(chēng)，連接A′C與OB相交于點(diǎn)P，連接AC.∵OA＝OC＝2，∠AOC＝60，∴△AOC是等邊三角形，∴AC＝2.∵AA′＝4，∠ACA′＝90，∴PA＋PC＝PA′＋PC＝A′C＝2，即PA＋PC的最小值是2； (3)如圖③，分別作P點(diǎn)關(guān)于OB，OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交OA于點(diǎn)Q，交OB于點(diǎn)R，∴OP＝OP1＝OP2，∠P1OB＝∠POB，∠P2OA＝∠POA，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60，∴△P1OP2是等邊三角形，P1P2＝OP＝8，∴三角形PQR的周長(zhǎng)＝PR＋PQ＋RQ＝P1R＋P2Q＋RQ＝P1P2＝8，即△PQR的周長(zhǎng)的最小值為8. 5．(2014貴陽(yáng)中考)如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD，其中∠BAC＝45，∠ACD＝30，點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，連接AE，將△ADE沿AE所在直線(xiàn)翻折得到△AD′E，D′E交AC于F點(diǎn)．若AB＝6 cm. (1)AE的長(zhǎng)為_(kāi)_4__cm； (2)試在線(xiàn)段AC上確定一點(diǎn)P，使得DP＋EP的值最小，并求出這個(gè)最小值； (3)求點(diǎn)D′到BC的距離． 解：(1)4；(2)∵Rt△ADC中，∠ACD＝30， ∴∠ADC＝60. ∵E為CD邊上的中點(diǎn)， ∴DE＝AE, ∴△ADE為等邊三角形．∵將△ADE沿AE所在直線(xiàn)翻折得△AD′E, ∴△AD′E為等邊三角形， ∠AED′＝60， ∵∠EAC＝∠EAD－∠DAC＝30， ∴∠EFA＝90， 即AC所在的直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段ED′， ∴點(diǎn)E，D′關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)， 連接DD′交AC于點(diǎn)P, ∴此時(shí)DP＋EP值為最小，且DP＋EP＝DD′， ∵△ADE是等邊三角形，AD＝AE＝4， ∴DD′＝2AD＝26＝12, 即DP＋EP最小值為12 cm；(3)連接CD′，BD′，過(guò)點(diǎn)D′作D′G⊥BC于點(diǎn)G, ∵AC垂直平分線(xiàn)ED′， ∴AE＝AD′，CE＝CD′， ∵AE＝EC，∴AD′＝CD′＝4， 在△ABD′和△CBD′中，∴△ABD′≌△CBD′(SSS), ∴∠D′BG＝45， ∴D′G＝GB, 設(shè)D′G長(zhǎng)為x cm，則CG長(zhǎng)為(6－x)cm，在Rt△GD′C中，x2 ＋(6－x)2 ＝(4)2 , 解得x1＝3－，x2＝3＋(不合題意舍去), ∴點(diǎn)D′到BC邊的距離為(3－)cm. 6．(2016貴陽(yáng)中考)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝4，AD＝12，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，此時(shí)PD＝3. (1)求MP的值； (2)在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F，且不與點(diǎn)A，B重合，當(dāng)AF等于多少時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最?。? (3)若點(diǎn)G，Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，B重合，GQ＝2，當(dāng)四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小時(shí)，求最小周長(zhǎng)值．(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)) 解：(1)MP＝＝5；(2)如圖1，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，連接M′E交AB于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求， 過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD，垂足為N.∵AM＝AD－MP－PD＝15－5－3＝4，∴AM＝AM′＝4.∵矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，∴∠CEP＝∠MEP，而∠CEP＝∠MPE，∴∠MEP＝∠MPE，∴ME＝MP＝5，在Rt△ENM中，MN＝＝＝3，∴NM′＝11.∵AF∥NE，∴△AFM′∽△NEM′，∴＝，即＝，解得AF＝，即AF＝時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最??；(3)如圖2，由(2)知點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接MG，在EN上截取ER＝2，連接M′R交AB于點(diǎn)G，再過(guò)點(diǎn)E作EQ∥RG，交AB于點(diǎn)Q， ∵EQ∥RG，ER∥GQ，∴四邊形ERGQ是平行四邊形，∴QE＝GR.∵GM＝GM′，∴MG＋QE＝GM′＋GR＝M′R，此時(shí)MG＋EQ最小，四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小，在Rt△M′RN中，NR＝4－2＝2，M′R＝＝5，∵M(jìn)E＝5，GQ＝2，∴四邊形MEQG的最小周長(zhǎng)值是7＋5.