中考數(shù)學(xué) 知識點聚焦 第四章 整式的乘除

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第四章 整式的乘除高頻考點考查頻率所占分值1冪的有關(guān)運算2整式的乘法3乘法公式(平方差公式、完全平方公式)4整式的除法39分5因式分解6整式的混合運算知能圖譜同底數(shù)冪的乘法 字母表示：(，都是正整數(shù))冪的乘方 字母表示：(，都是正整數(shù))冪的運算積的乘方 字母表示：(是正整數(shù))同底數(shù)冪的除法 字母表示：(，都是正整數(shù)，并且)零指數(shù)冪 字母表示：負整數(shù)指數(shù)冪 字母表示：(，為正整數(shù))單項式乘單項式：單項式與單項式相系，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪別相乘，對于整式的乘法只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為的一個因式整式的乘除單項式乘多項式：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的多項式乘多項式每項，再把所得的積相加乘法公式平方差公式：完全平方公式聯(lián)系整式的混合運算整式的除法單項式除以單項式轉(zhuǎn)化多項式除以單項式因式分解的意義因式分解整式乘法因式分解的方法因式分解的步驟 一般步驟：一提、二套、三分組、四徹底利用因式分解解決相關(guān)問題第7講 冪的運算性質(zhì)知識能力解讀知能解讀 (一)同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即(，都是正整數(shù))注意：(1)在學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法過程中，不僅要記住結(jié)論?更重要的是掌握結(jié)論的推導(dǎo)過程(2)這一運算性質(zhì)可推廣到三個或三個以上同底數(shù)冪相乘，如(，都是正整數(shù))(3)運算性質(zhì)可以逆用，如(，都是正整數(shù))(4)冪的底數(shù)可以是單項式，也可以是多項式，如，(5)當(dāng)冪指數(shù)為l時，不要誤以為指數(shù)為0，如，而不是(二)冪的乘方冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即(，都是正整數(shù))注意：(1)不要把冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法混淆冪的乘方運算，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運算(底數(shù)不變)；同底數(shù)冪的乘法，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運算(底數(shù)不變)(2)根據(jù)同底數(shù)冪的運算性質(zhì)可推出結(jié)論： (3)此性質(zhì)可以逆用：，如(三)積的乘方積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即(是正整數(shù))注意：(1)同理，三個或三個以上的因數(shù)(或因式)的積的乘方，也具備這一性質(zhì)，如(為正整數(shù))(2)此性質(zhì)可以逆用：，如(3)積的乘方公式中，可以表示數(shù)，也可以表示含有字母的代數(shù)式(四)同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即(，都是正整數(shù)，并月)注意：(1)當(dāng)三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質(zhì)，如(，都是正整數(shù)，且)(2)底數(shù)不能為0，若為0，則除數(shù)為0，除法就沒有意義了(3)注意指數(shù)為“1”的情況，如，不能把的指數(shù)當(dāng)成“0”(4)該法則可以逆用，即(，都是正整數(shù)，且)(五)零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪(1)零指數(shù)冪的意義：任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1，即(2)負整數(shù)指數(shù)冪的意義：任何不等于零的數(shù)的(為正整數(shù))次冪，等于這個數(shù)的次冪的倒數(shù)，即( ，為正整數(shù))在中，當(dāng)時，規(guī)定當(dāng)時，規(guī)定，如(3)零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪的注意事項：在中，底數(shù)不等于零，否則無意義底數(shù) 可以是不等于0的數(shù)或式子學(xué)習(xí)零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪后，正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)推廣到了整數(shù)指數(shù)冪如：；等方法技巧歸納方法技巧 (一)同底數(shù)冪的乘法、除法運算解題技巧同底數(shù)冪的運算法則，無論是乘法法則，還是除法法則，只適用于同底數(shù)冪的乘除，當(dāng)?shù)讛?shù)不同時要看能否化為同底，若不能化為同底，則不能用上述法則(二)冪的乘方、積的乘方運算解題技巧運用冪的乘方時，一定要注意底數(shù)的符號；在進行積的乘方運算時，應(yīng)把底數(shù)的各因式分別乘方，不要忽略任何一項冪的乘方和積的乘方法則均可逆用(三)零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的解題技巧(四)利用冪的運算性質(zhì)比較數(shù)的大小的解題技巧(拓展)當(dāng)所給冪的指數(shù)、底數(shù)均不相同，且指數(shù)較大時，可利用冪的乘方性質(zhì)化為同指數(shù)冪，根據(jù)底數(shù)大小關(guān)系確定原來三個冪的大小關(guān)系比較幾個冪的大小時，可以將它們逆用冪的乘方法則，化成同底數(shù)或同指數(shù)的冪再比較大小易混易錯辨析易混易錯知識1同底數(shù)冪的乘法法則與合并同類項法則容易混淆同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，如；而合并同類項的法則是只把系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)都不變，如此處易犯的錯誤故解題時，應(yīng)認真審題，看清題目是什么運算，然后準確選用法則2冪的乘方法則與同底數(shù)冪的乘法法則容易混淆冪的乘方運算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運算(底數(shù)不變)，同底數(shù)冪的乘法運算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運算(底數(shù)不變)在運算時，特別注意二者的區(qū)別，如的運算順序為先乘方，再乘法，不要出現(xiàn)類似的錯誤易混易錯 (一)在運用積的乘方法則時，沒有把每個因式分別乘方，忽略某些因式的乘方，或符號山錯(二)對同底數(shù)冪的除法法則理解不透導(dǎo)致出錯(三)忽略零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪底數(shù)不為0的條件中考試題研究中考命題規(guī)律本講的考點主要有同底數(shù)冪的乘除法，積的乘方和冪的乘方運算以及零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的運算，題型以選擇題、填空題為主，也有簡單的解答題中考試題 (一)同底數(shù)冪的乘法(二)冪的乘方和積的乘方(三)零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪(四)冪的綜合運算第8講 整式的乘法知識能力解讀知能解讀 (一)單項式與單項式相乘的法則單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式如：注意：(1)對于三個或三個以上的單項式相乘，法則仍然適用(2)由法則可知，在用法則解題時，可按三步進行：系數(shù)相乘確定積的系數(shù)，相乘時注意符號；相同字母的冪相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加；只在一個單項式里含有的字母連同字母的指數(shù)寫在積中，不要漏掉這個因式記憶口訣：系數(shù)乘系數(shù)，字母乘字母(二)單項式與多項式相乘的法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即注意：(1)單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用分配律將其轉(zhuǎn)化為單項式乘單項式(2)單項式乘多項式，結(jié)果仍是多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同(3)計算時注意符號，多項式中的每一項都包括它前面的符號，根據(jù)這一特點確定乘積中每一項的符號(4)運算結(jié)果中有同類項時要合并同類項，從而得到最簡結(jié)果(三)多項式與多項式相乘的法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加即(1)要用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，不要漏乘項(2)注意多項式中的符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號，計算時要細心(四)乘法公式1平方差公式(1)公式：(2)意義：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差這個公式叫作平方差公式記憶口訣：和乘差，平方差(3)特征：左邊是兩個二項式相乘，這兩項中有一項相同，另一項互為相反數(shù)；右邊是左邊二項式中兩項的平方差(相同項的平方減相反項的平方)；公式中的和可以是具體的數(shù)，也可以是含有字母的代數(shù)式(4)公式的幾何背景：如圖所示，最上層的矩形的面積為，它等于大正方形的面積與小正方形的面積的差，即2完全平方公式(1)公式：；(2)意義：兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或減去)它們的積的2倍(3)特征：左邊是個二項式的完全平方，右邊是一個二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，另一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍可簡記為“首平方，尾平方，積的2倍在中央”公式中的，可以是單項式，也可以是多項式(4)公式的幾何背景：如圖所示，用圖形面積表示圖的幾何意義為，表示圖的幾何意義為(五)特殊乘法公式(拓展)(，是常數(shù))(利用多項式乘法運算法則可從左邊得到右邊)公式特征：(1)相乘的兩個因式都只含有一個相同的字母都是一次二項式，并且一次項的系數(shù)為1(2)乘積是二次三項式，二次項系數(shù)是1，一次項系數(shù)是兩常數(shù)項之和，常數(shù)項等于兩個因式中的常數(shù)項之積方法技巧歸納方法技巧 (一)單項式與單項式相乘的解題方法單項式與單項式相乘的順序是：(1)系數(shù)相乘；(2)同底數(shù)的冪相乘；(3)只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)一起寫在積中故正確進行冪的運算是解題的關(guān)鍵；要先確定符號，再計算(二)單項式與多項式相乘的解題方法單項式與多項式相乘，實質(zhì)是利用乘法的分配律，計算時注意運算順序，不要漏項(三)多項式與多項式相乘的解題方法多項式乘多項式，其主要方法是分項輪乘，依次轉(zhuǎn)化為單項式乘單項式，不要漏乘項(四)整式乘法的綜合創(chuàng)新題整式乘法的綜合創(chuàng)新題主要考查整式乘法法則的運用能力，一般是由特殊情況推測一般規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新能力(五)利用乘法公式計算的解題技巧乘法公式是一種特殊形式的乘法法則，它通過多項式的乘法法則，把特殊多項式的運算結(jié)果寫成公式形式并加以應(yīng)用運用公式計算可使多項式相乘變得方便簡捷，但運用時要掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，只要符合公式結(jié)構(gòu)特征就可以運用公式進行計算，否則不能用公式中的字母可以是具體數(shù)，也可以是含有字母的代數(shù)式1直接應(yīng)用公式計算2開放探究題3乘法公式巧變形(六)整式的混合運算整式的混合運算一般應(yīng)注意以下幾點：(1)將多項式的運算轉(zhuǎn)化為單項式的運算；(2)確定符號；(3)確定運算順序與運算類型；(4)盡量運用乘法公式簡化多項式的乘法運算1混合運算2化簡求值易混易錯辨析易混易錯知識1在整式乘法法則的運用上易出錯錯誤有：(1)漏乘多項式的某些項；(2)單項式與多項式相乘時，易出現(xiàn)符號錯誤(多項式中每一項都包括它前面的符號，還要注意單項式的符號)2對平方差公式理解不透導(dǎo)致出錯(1)分不清哪一項相當(dāng)于公式中的，哪一項相當(dāng)于公式中的，導(dǎo)致誤用(2)對不具備平方差公式特征的運算誤用了平方差公式如出現(xiàn)之類的錯誤，實際上本題應(yīng)該用多項式與多項式相乘的法則計算：3混淆完全平方公式與平方差公式運用完全平方公式時常出現(xiàn)的錯誤有：(1)與平方差公式混淆，誤寫成；(2)弄錯中間項“積的2倍”的符號易混易錯 (一)單項式乘多項式時易漏乘或弄錯符號(二)錯用乘法公式(三)運用乘法公式時易弄錯符號中考試題研究中考命題規(guī)律本講的考點主要是整式的乘法，它是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，是有理數(shù)乘法和冪的運算法則的綜合，是代數(shù)式變形、化簡、求值、因式分解等的重要基礎(chǔ)，題型以填空題、選擇題、計算題為主，有的為化簡求值題，多與其他知識(分式、根式、方程(組)、不等式(組)等)綜合命題，有時也會聯(lián)系幾何知識綜合命題，一般為容易題和中等難度題中考試題 (一)考查運算法則和完全平方公式的運用(二)考查運算法則與平方差公式的運用(三)整式乘法的綜合應(yīng)用(四)利用整式乘法化簡求值第9講 整式的除法知識能力解讀知能解讀 (一)單項式除以單項式法則單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式注意：對法則的理解應(yīng)注意三點：(1)兩個單項式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除即可(2)只在被除式里含有的字母不要漏掉如(3)在單項式除以單項式中只研究整除的情況，因此，在除式中所出現(xiàn)的一切字母，在被除式中不僅也要出現(xiàn)，而且其指數(shù)要分別都不小于除式中同一字母的指數(shù)在這個前提下，單項式相除，可以按系數(shù)、相同字母、被除式單獨有的字母這幾部分進行(二)多項式除以單項式法則一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加如：注意：(1)這個法則的適用范圍必須是多項式除以單項式，反之，單項式除以多項式是不能這樣計算的例如：(2)多項式的每一項都包括它前面的符號(3)計算時不要漏項方法技巧歸納方法技巧 (一)單項式除以單項式的解題技巧單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除，其運算順序為：首先將系數(shù)相除，然后將同底數(shù)冪相除，最后將被除式中單獨有的字母連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式，系數(shù)相除時要注意先確定商的符號(二)多項式除以單項式的解題技巧多項式除以單項式，除掌握法則外，還應(yīng)注意：(1)多項式除以單項式所得商的項數(shù)與多項式的項數(shù)一致，在計算時不要漏項；(2)計算時，多項式的各項要包括它前面的符號，注意符號的變化易混易錯辨析易混易錯知識1單項式除以單項式時，容易出現(xiàn)的錯誤(1)忽略系數(shù)的符號；(2)當(dāng)某一字母指數(shù)為1時容易忽略該指數(shù)2多項式除以單項式時，容易出現(xiàn)的錯誤(1)漏項；(2)符號錯誤易混易錯 (一)審題、計算不認真致錯(二)除式的系數(shù)忘記變成其倒數(shù)(三)由于對法則理解不透或粗心致錯中考試題研究中考命題規(guī)律本講的考點主要是整式的除法，它是數(shù)學(xué)中的重要基礎(chǔ)知識單獨考查時，以填空題、選擇題為主，也常與其他知識綜合考查，題型以解答題為主中考試題 整式的綜合運算第10講 因式分解知識能力解讀知能解讀 (一)因式分解的意義化為把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫作這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式，即多項式 幾個整式的積因式分解是對多項式進行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程要求把每個因式都分解到不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，怎樣才算不能再分解呢?這要看題目的要求，若指出在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，則就符合要求，若指出在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解，則才符合要求注意：(1)因式分解時應(yīng)注意以下幾點：結(jié)果一定是積的形式，分解的對象是多項式；每個因式必須是整式，且每個因式的次數(shù)都必須低于或等于原多項式的次數(shù)；分解因式必須分解到不能再分解為止(2)因式分解與整式乘法是兩種不同的變形過程，它們是互逆關(guān)系如 (二)公因式的定義多項式的各項都含有的公共的因式，叫作這個多項式各項的公因式如中，各項都含有因式，故叫作這個多項式各項的公因式公因式可以是一個數(shù)或一個字母，也可以是含有字母的代數(shù)式，如中，公因式是公因式的構(gòu)成如下：(1)系數(shù)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)字母取各項都含有的字母；(3)次數(shù)取相同字母的最低指數(shù)(三)因式分解的方法1提公因式法(1)定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫作提公因式法如，這個變形就是用提公因式法分解因式這里的可以表示單項式，也可以表示多項式，稱為公因式(2)提公因式法的步驟：第一步：確定公因式；第二步：提出公因式并確定另一個因式，提出公因式時，可用原多項式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一個因式，注意：提公因式法是因式分解的最基本的方法，因式分解必須首先考慮多項式各項之間是否存在公因式，因此關(guān)鍵是確定公因式，為了準確迅速地找出公因式，必須做到“五看”(1)看系數(shù)公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù)(2)看字母公因式中的字母應(yīng)是各項中的相同字母(3)看字母的指數(shù)公因式中字母的指數(shù)是各項中相同字母的最低指數(shù)(4)看整體有時在多項式中，如果各項都含有相同的“多項式”，就應(yīng)把它作為一個“整體”提出來尤其要注意，有時多項式的符號相反時，變號后再提出(5)看首項符號如果多項式首項系數(shù)為負，應(yīng)提出“”，或用加法交換律使首項的符號為正2公式法如果把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫作公式法(1)逆用平方差公式：；(2)逆用完全平方公式：注意：(1)公式中的字母，可代表一個單項式或一個多項式(2)逆用平方差公式分解因式的特點左邊是二項式，兩項都是平方的形式且符號相反；右邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積(3)逆用完全平方公式分解因式的特點左邊是三項式，其中首末兩項分別是兩個數(shù)(或式子)的平方，且這兩項的符號都為正，中間一項是這兩個數(shù)(或式子)的積的2倍，符號正負均可右邊是兩個數(shù)(或式子)的和(或差)的平方，當(dāng)左邊中間的乘積項與首末兩項的符號相同時，是和的平方；當(dāng)左邊中間的乘積項與首未兩項的符號相反時，是差的平方(4)選用公式的方法：主要從項數(shù)上看，若多項式是二項式，應(yīng)考慮逆用平方差或立方和(差)公式；若多項式是三項式，可考慮逆用完全平方公式然后觀察各項系數(shù)、次數(shù)是否符合公式特征運用公式的關(guān)鍵是將多項式改寫成符合公式的形式3分組分解法(拓展)分組分解法是把各項適當(dāng)分組，先使分解因式能分組進行，再使分解因式在各組之間進行分組時用到添括號，添括號時要注意各項符號的變化注意：當(dāng)多項式的項比較多時，可將多項式進行合理分組分組方法不一定唯一4型式子的因式分解(拓展)利用把二次三項式分解因式，也叫“十字相乘法”注意：(1)十字左邊相乘等于二次項系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項，交叉相乘的和等于一次項系數(shù)(2)不是所有的二次三項式都能用“十字相乘法”分解因式(四)因式分解的般步驟及注意問題因式分解的步驟概括為“一提”“二套”“三分組”“四徹底”一提：若多項式各項有公因式時，應(yīng)先提公因式二套：多項式各項沒有公因式時，如果是二項式就考慮能否逆用平方差公式或立方和(差)公式，如果是三項式就考慮能否逆用完全平方公式或二次三項式的因式分解三分組：若是四項或四項以上的多項式，通常采用分組分解法四徹底：分解因式，必須進行到每一個多項式都不能再分解為止因式分解的結(jié)果，必須是幾個整式的積例如，雖然這里的右邊是乘積的形式，但不是整式，所以不是因式分解方法技巧歸納方法技巧 (一)因式分解與整式乘法的識別判斷一個變形是不是因式分解，主要看這個變形是否符合因式分解的意義，故只有當(dāng)左邊是“和、差”的形式，而右邊是積的形式的時候才可以判斷自左向右的變形可能是因式分解當(dāng)然，變形前后，等號兩邊的式子必須都是整式且相等(二)提公因式法分解因式的規(guī)律提公因式法是因式分解最基本、最常用的方法，其實質(zhì)是逆用了分配律運用這個方法，關(guān)鍵是確定公因式，然后提公因式并確定另一個因式(三)公式法分解因式的規(guī)律運用公式法的關(guān)鍵是熟悉各公式的形式的特點(四)因式分解中的特殊方法因式分解除了提公因式法和公式法之外，分組分解法、十字相乘法等盡管不作要求，但應(yīng)用很方便1分組分解法2型式子的因式分解(十字相乘法)(五)利用因式分解化簡求值易混易錯辨析易混易錯知識1因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別，(1)因式分解和整式乘法是互逆變形，多項式的因式分解是把和差的形式化為積的形式，而整式乘法是把積的形式化為和差的形式，都是恒等變形，但它們是互逆的兩個過程，如是因式分解，而反過來，是整式乘法(2)鑒于因式分解與整式乘法是互逆變形，因此可用將因式分解的結(jié)果還原成一個多項式的方法檢驗因式分解是否正確，同時，這也是一種逆向思維的訓(xùn)練若混淆了因式分解與整式乘法，易犯“循環(huán)分解”的錯誤，例如分解因式，誤寫成原式2因式分解不徹底因式分解的最終結(jié)果必須分解到每個因式不能再分解為止易混易錯 (一)因式分解結(jié)果不徹底(二)錯在漏項(三)因式分解走回頭路(四)運用公式出錯中考試題研究中考命題規(guī)律本講的考點主要是因式分解，它是一種重要的恒等變形，是進一步學(xué)習(xí)分式運算、解方程、函數(shù)變形及其他數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ)，它與代數(shù)式的化簡求值、整式的乘法及今后學(xué)習(xí)的分式、一元二次方程等許多內(nèi)容密切相關(guān)，故中考試題都以直接或間接的方式進行考查，常以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，綜合題以解答題為主中考試題 (一)公因式的確定(二)分解因式(三)利用因式分解求值(四)因式分解的綜合創(chuàng)新(五)實際問題中的因式分解