中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第十一章 函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、一次函數(shù)及反比例函數(shù)

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專題四 圖形與坐標(biāo)、函數(shù)及圖象第十一章函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、一次函數(shù)及反比例函數(shù)考勤分析高頻考點(diǎn)考查頻率所占分值1.點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)2.函數(shù)自變量的取值范圍3.由函數(shù)圖象獲取信息4.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式6.一次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系7.反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)8.反比例函數(shù)中比例系數(shù)的幾何意義9.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合10.反比例函數(shù)的應(yīng)用710分知能圖譜第23講 函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)能力解讀知能解讀(一)有序數(shù)對(duì)我們把有順序的兩個(gè)數(shù)與組成的數(shù)對(duì)，叫作有序數(shù)對(duì)，記作.注意對(duì)“有序”要理解準(zhǔn)確，即兩個(gè)數(shù)的位置不能隨意交換，與中字母順序不同，含義就不同，表示的位置也就不同.知能解讀(二)平面直角坐標(biāo)系(1)如圖所示，在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為橫軸或軸，習(xí)慣上取向右方向?yàn)檎较颍回Q直的數(shù)軸稱為縱軸或軸，取向上方向?yàn)檎较?兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).(2)建立了平面直角坐標(biāo)系以后，坐標(biāo)平面就被兩條坐標(biāo)軸分成四個(gè)部分，每個(gè)部分稱為象限，按逆時(shí)針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如圖1-23-1所示.注意(1)兩條坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何一個(gè)象限.(2)如果平面直角坐標(biāo)系具有實(shí)際意義，那么要在表示橫軸、縱軸的字母后附上單位.知能解讀(三)點(diǎn)的坐標(biāo)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，從點(diǎn)分別向軸和軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn).這時(shí)，點(diǎn)在軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為3，稱為點(diǎn)的橫坐標(biāo)；點(diǎn)在軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為2，稱為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，依次寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)，該有序?qū)崝?shù)對(duì)稱為點(diǎn)的坐標(biāo)，這時(shí)點(diǎn)可記作.注意(1)在建立了平面直角坐標(biāo)系后，平面內(nèi)的點(diǎn)便可與有序?qū)崝?shù)對(duì)對(duì)應(yīng).也就是說，對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，總能找到一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)與之對(duì)應(yīng)；反之，對(duì)于任意一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，總可以在坐標(biāo)平面內(nèi)找出一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).(2)在表示點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，橫坐標(biāo)應(yīng)寫在縱坐標(biāo)的前面，中間用逗號(hào)隔開，橫、縱坐標(biāo)的順序不能顛倒，如與是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo).知能解讀(四)不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征1各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征 坐標(biāo)象限橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)第一象限+第二象限-+第三象限-第四象限+-2坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征(1)點(diǎn)在軸上，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，橫坐標(biāo)為任意實(shí)數(shù)；(2)點(diǎn)在軸上，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，縱坐標(biāo)為任意實(shí)數(shù).3象限角的平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)為象限角的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)在第一、三象限角平分線上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在第二、四象限角平分線上時(shí)，.4與坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征平行于軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同；平行于軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.5關(guān)于軸，軸、原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征一般地，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸(橫軸)對(duì)稱，則橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸(縱軸)對(duì)稱，則縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).簡(jiǎn)單記為“關(guān)于誰(shuí)誰(shuí)不變，關(guān)于原點(diǎn)都改變”.知能解讀(五)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)到軸、軸、原點(diǎn)的距離(拓展)如圖所示，(1)點(diǎn)到軸的距離為，到軸的距離為，到原點(diǎn)的距離為；(2)同一坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)之間的距離為；(3)在不同坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)之間的距離為 .知能解讀(六)函數(shù)的相關(guān)概念1變量與常量在一個(gè)變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量.注意常量與變量不是絕對(duì)的，而是對(duì)“某一變化過程”而言的，同一個(gè)量在某一個(gè)變化過程中是常量，而在另一個(gè)變化過程中可能是變量.如在汽車：行駛的過程中，有路程、行駛時(shí)間、速度三個(gè)量，當(dāng)速度定時(shí)，路程與時(shí)間是變量，速度是常量；當(dāng)汽車行駛的時(shí)間一定時(shí)，路程與速度是變量，時(shí)間為常量；當(dāng)路程定時(shí)，速度與時(shí)間是變量，路程為常量.2自變量與函數(shù)一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量與，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說是自變量，是的函數(shù).注意函數(shù)體現(xiàn)的是一個(gè)變化的過程，在這一變化過程中，要著重把握以下兩點(diǎn)：(1)只能有兩個(gè)變量；(2)對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值，都有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng).知能解讀(七)函數(shù)的解析式像這樣，用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，是描述函數(shù)的常用方法，這種式子叫作函數(shù)的解析式.知能解讀(八)函數(shù)自變量的取值范圍及函數(shù)值函數(shù)自變量的取值范圍是指使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體.求自變量的取值范圍通常從兩個(gè)方面考慮:一是要使函數(shù)的解析式有意義；二是要符合客觀實(shí)際.下面給出一些簡(jiǎn)單函數(shù)解析式中自變量取值范圍的確定方法：(1)當(dāng)函數(shù)的解析式是整式時(shí)，自變量取任意實(shí)數(shù)(即全體實(shí)數(shù))；(2)當(dāng)函數(shù)的解析式是分式時(shí)，自變量取值是使分母不為零的任意實(shí)數(shù)；(3)當(dāng)函數(shù)的解析式是二次根式時(shí)，自變量取值是使被開方式為非負(fù)數(shù)；(4)當(dāng)函數(shù)解析式中自變量出現(xiàn)在零次冪或負(fù)整數(shù)次幕的底數(shù)中時(shí)，自變量取值是使底數(shù)不為零的實(shí)數(shù)對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值，如當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)值就是當(dāng)時(shí)的函數(shù)值.知能解讀(九)函數(shù)的圖象一般地，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的一般步驟如下：第一步，列表在表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；第二步，描點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)；第三步，連線按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來.知能解讀(十)函數(shù)的表示方法寫函數(shù)解析式、列表格、畫函數(shù)圖象，都可以表示具體的函數(shù).這三種表示函數(shù)的方法，分別稱為解析式法、列表法和圖象法.表示方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)總結(jié)解析式法簡(jiǎn)單明了，能準(zhǔn)確反映整個(gè)變化過程中自變量與函數(shù)的關(guān)系不直觀，有些函數(shù)關(guān)系不一定能用解析式法表示出來表示函數(shù)時(shí)，要根據(jù)具體情況選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，有時(shí)為解決問題，需要同時(shí)使用幾種方法列表法一目了然，使用方便對(duì)應(yīng)值不限，不易看出自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)規(guī)律圖象法形象直觀，能明顯表示變化趨勢(shì)不易看出自變量和函數(shù)的對(duì)應(yīng)值方法技巧歸納方法技巧(一)利用平面直角坐標(biāo)系相關(guān)知識(shí)解決問題的方法1由點(diǎn)的位置確定點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的位置的關(guān)系，我們可以根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置，反過來，也可以根據(jù)點(diǎn)的位置確定點(diǎn)的坐標(biāo).2建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，解決數(shù)學(xué)問題根據(jù)已知條件，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，是確定點(diǎn)的位置的必經(jīng)過程，在建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，我們一般以圖形的某邊所在直線為坐標(biāo)軸，或使圖形的頂點(diǎn)大部分在坐標(biāo)軸上.方法技巧(二)求函數(shù)自變量的取值范圍的方法函數(shù)自變量的取值范圍首先要使函數(shù)解析式有意義，當(dāng)函數(shù)解析式表示實(shí)際問題或幾何問題時(shí)，自變量的取值范圍還必須符合實(shí)際意義或幾何意義.方法技巧(三)列函數(shù)解析式(建立函數(shù)模型)的方法1求幾何圖形問題中的函數(shù)解析式2求實(shí)際問題中的函數(shù)解析式方法技巧(四)用圖象法表示函數(shù)關(guān)系的方法1實(shí)際問題的函數(shù)圖象2動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)1.由點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離確定點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，因考慮不周而出錯(cuò).由點(diǎn)求坐標(biāo)時(shí)，容易將橫、縱坐標(biāo)的位置弄錯(cuò)，還容易忽略坐標(biāo)的符號(hào)而出現(xiàn)漏解的情況，如點(diǎn)到軸的距離是4，到軸的距離是3，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)不只是一種情況，求解時(shí)考慮問題要全面.2.由實(shí)際問題的函數(shù)解析式畫圖象時(shí)，易忽視自變量的取值范圍而導(dǎo)致圖象錯(cuò)誤.實(shí)際問題中自變量的取值范圍大部分都是非負(fù)數(shù)，畫圖象時(shí)應(yīng)加以注意.易混易錯(cuò)(一)求自變量的取值范圍時(shí)，因考慮不周而出錯(cuò)易混易錯(cuò)(二)由點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)出錯(cuò)中考試題研究中考命題規(guī)律函數(shù)自變量的取值范圍、函數(shù)的圖象及平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用、確定物體位置的方法是近幾年中考的常見考點(diǎn).特別是根據(jù)提供的圖象解決實(shí)際問題的一類信息題因具有時(shí)代氣息、貼近生活，是中考熱點(diǎn)之一.題型有選擇題、填空題和解答題.中考試題(一)確定點(diǎn)的位置中考試題(二)確定點(diǎn)的坐標(biāo)中考試題(三)利用函數(shù)自變量的取值范圍解決問題中考試題(四)根據(jù)情景描述函數(shù)圖象中考試題(五)由函數(shù)圖象獲取信息第24講 一次函數(shù)知識(shí)能力解讀知能解讀(一)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念(1)正比例函數(shù):一般地，形如(是常數(shù)，)的函數(shù)，叫作正比例函數(shù)，其中叫作比例系數(shù).(2)一次函數(shù):一般地，形如(是常數(shù)，)的函數(shù)，叫作一次函數(shù).當(dāng)時(shí)，即，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注意(1)一次函數(shù)的表達(dá)式是一個(gè)等式，其左邊是因變量，右邊是關(guān)于自變量的整式.(2)自變量的次數(shù)為1，且系數(shù)不等于0.(3)自變量的取值范圍：一般情況下，一次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù).知能解讀(二)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象(1)一般地，正比例函數(shù)(是常數(shù), )的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線，我們稱它為直線，當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過第一、三象限，從左向右上升，即隨著的增大也增大；當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，即隨著的增大反而減小.一般地，過原點(diǎn)和點(diǎn)(是常數(shù)，)的直線，即正比例函數(shù)的圖象.(2)一次函數(shù)(是常數(shù)，)的圖象可以由直線平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到(當(dāng)時(shí)，向上平移；當(dāng)時(shí)，向下平移).一次函數(shù)(是常數(shù)，)的圖象也是一條直線，我們稱它為直線.次函數(shù)具有如下性質(zhì):當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小.點(diǎn)撥為了方便，我們通常利用一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和來畫圖象.知能解讀(三)對(duì)一次函數(shù)中的系數(shù)的理解(拓展點(diǎn))(1)直線中表示直線向上的方向與軸正方向夾角的大小程度，即直線的傾斜程度，是直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).當(dāng)時(shí)，直線與軸交于正半軸；當(dāng)時(shí)，直線過原點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與軸交于負(fù)半軸.如下表：的符號(hào)函數(shù)圖象圖象的位置性質(zhì)圖象過第一、二、三象限隨的增大而增大圖象過第一、三象限圖象過第一、三、四象限圖象過第一、二、四象限隨的增大而減小圖象過第二、四象限圖象過第二、三、四象限(2)兩直線與的位置關(guān)系：當(dāng)時(shí)，兩直線平行；當(dāng)時(shí)，兩直線重合；當(dāng)時(shí)，兩直線交于軸上一點(diǎn)；(供參考)當(dāng)時(shí)，兩直線垂直.知能解讀(四)待定系數(shù)法先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而得出函數(shù)解析式的方法，叫作待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟：(1)設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式(為常數(shù)，)；(2)把已知條件(自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)代入解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；(3)解方程，求出待定系數(shù)；(4)將求出的待定系數(shù)的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式，即得出所求的函數(shù)解析式.知能解讀(五)一次函數(shù)與方程(組)、不等式之間的關(guān)系1一次函數(shù)與一元一次方程一般地，因?yàn)槿魏我粋€(gè)以為未知數(shù)的一元一次方程都可以變形為的形式，所以解一元一次方程相當(dāng)于求與之對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的函數(shù)值為0時(shí)，自變量的值.點(diǎn)撥求直線與軸的交點(diǎn)，可令得方程，解方程得是直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).反之，由函數(shù)的圖象也能求出與之對(duì)應(yīng)的一元一次方程的解.2一次函數(shù)與二元一次方程(組)一般地因?yàn)槊總€(gè)含有未知數(shù)和的二元一次方程，都可以變?yōu)椋ㄊ浅?shù)，）的形式，所以每個(gè)這樣的方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)一條直線.這條直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)二元一次方程的解.由上可知，由含有未知數(shù)和的兩個(gè)二元一次方程組成的每個(gè)二元一次方程組，都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解這樣的方程組，相當(dāng)于求自變量為何值時(shí)相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是多少；從“形”的角度看，解這樣的方程組，相當(dāng)于確定兩條相應(yīng)直線交點(diǎn)的坐標(biāo).因此，我們可以用畫一次函數(shù)圖象的方法得到方程組的解.3次函數(shù)與一元一次不等式一般地，因?yàn)槿魏我粋€(gè)以為未知數(shù)的一元一次，不等式都可以變?yōu)榛虻男问?，所以解一元一次不等式相?dāng)于求與之對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的函數(shù)值大于0或小于0時(shí)，自變量的取值范圍.注意通常我們可用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，也可以通過畫圖象，利用兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)得出方程組的解，即:既可以用“數(shù)”的方法解決；“形”的問題，也可以用“形的方蜂解決“數(shù)”的問題，這種方法上的互通性體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.方法技巧歸納方法技巧(一)一次函數(shù)的判別方法一次函數(shù)的判別依據(jù)有如下三點(diǎn)：(1)關(guān)于自變量的表達(dá)式是整式；(2)自變量的次數(shù)是1；(3)自變量的系數(shù)不為零.特別地，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為零時(shí)，是正比例函數(shù).方法技巧(二)一次函數(shù)圖象位置的確定方法的符號(hào)決定直線的傾斜方向：當(dāng)時(shí)，直線自左向右上升；當(dāng)是時(shí)，直線自左向右下降. 的符號(hào)決定直線與軸的交點(diǎn)位置：當(dāng)時(shí)，直線與軸交于正半軸；當(dāng)時(shí)，直線過原點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與軸交于負(fù)半軸.方法技巧(三)利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題的方法一次函數(shù)的性質(zhì)主要是指函數(shù)的增減性，即隨的變化情況，它只和的符號(hào)有關(guān)，與的符號(hào)無關(guān).若，則隨的增大而增大；若，則隨的增大而減小，反之，若隨的增大而增大，則；若隨的增大而減小，則.方法技巧(四)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法由于一次函數(shù)的解析式中有和兩個(gè)待定系數(shù)，因此用待定系數(shù)法時(shí)需要根據(jù)兩個(gè)條件列二元一次方程組(以和為未知數(shù))，解方程組后便可求得這個(gè)一次函數(shù)的解析式.方法技巧(五)利用一次函數(shù)求方程(組)的解、不等式(組)的解或解集的方法一次函數(shù)的圖象與方程(組)、不等式(組)有著密切的聯(lián)系：(1)關(guān)于的一元一次方程的解是直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)關(guān)于的一元一次不等式的解集是以直線和軸的交點(diǎn)為分界點(diǎn)，軸上(下)方的圖象所對(duì)應(yīng)的值的集合. (3)關(guān)于的二元一次方程組的解是直線和的交點(diǎn)坐標(biāo).方法技巧(六)用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的方法在研究一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)首先從問題中抽象出特定的函數(shù)關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為“函數(shù)模型”，然后再利用函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論，最后把結(jié)論應(yīng)用到實(shí)際問題中去，從而得到實(shí)際問題的研究結(jié)果.易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的區(qū)別.正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)，一次函數(shù)包括正比例函數(shù).也就是說，如果一個(gè)函數(shù)是正比例函數(shù)，那么它一定是一次函數(shù).但是，如果一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，那么它不一定是正比例函數(shù).易混易錯(cuò)(一)因忽視隱含條性而致錯(cuò)易混易錯(cuò)(二)因考慮問題不全面而致錯(cuò)易混易錯(cuò)(三)因?qū)D象表示的實(shí)際意義理解錯(cuò)誤而致錯(cuò)中考試題研究中考命題規(guī)律一次函數(shù)解析式的確定，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系，以及運(yùn)用一次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題都是近年來中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，特別是根據(jù)提供的圖象解決有關(guān)的實(shí)際問題更是中考的熱點(diǎn).題型有選擇題、填空題、解答題.中考試題(一)對(duì)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的理解中考試題(二)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式中考試題(三)一次函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系中考試題(四)利用一次函數(shù)解決實(shí)際問題中考試題(五)利用圖象獲取信息第25講 反比例函數(shù)知識(shí)能力解讀知能解讀(一)反比例函數(shù)的定義一般地，形如(是常數(shù)，)的函數(shù)叫作反比例函數(shù)，其中叫作比例系數(shù).注意(1)反比例函數(shù)的左邊是函數(shù)，右邊是分母為自變量的分式.也就是說，分母不能是多項(xiàng)式，只能是的一次單項(xiàng)式.如等都是關(guān)于的反比例函數(shù)，但就不是關(guān)于的反比例函數(shù).(2)反比例函數(shù)可以寫成或的形式.(3)反比例函數(shù)中，兩個(gè)變量成反比例關(guān)系.(4)反比例函數(shù)的自變量是不等于0的任意實(shí)數(shù).知能解讀(二)反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.注意(1)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，它的兩個(gè)分支是斷開的.(2)當(dāng)時(shí)，兩個(gè)分支分別位于第一、三象限；當(dāng)時(shí)，兩個(gè)分支分別位于第二、四象限.(3)反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(4)反比例函數(shù)的圖象與軸、軸都沒有交點(diǎn)，即圖象的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交，這是因?yàn)?知能解讀(三)反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)的性質(zhì)如下表所示：反比例函數(shù)的符號(hào)圖象性質(zhì)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左到右下降，也就是在每個(gè)象限內(nèi)隨的增大而減小當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左到右上升，也就是在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大注意(1)反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性都是由比例系數(shù)的符號(hào)決定的，反過來，由雙曲：線所在的位置或函數(shù)的增減性也可以判斷出的符號(hào).(2)反比例函數(shù)的增減性只能在其圖象所在的某個(gè)象限內(nèi)討論.不能說當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大.)知能解讀(四)反比例函數(shù)解析式的確定因?yàn)樵诜幢壤瘮?shù)的解析式中，只有一個(gè)系數(shù)，所以確定了的值，也就確定了反比例函數(shù)，因此只需利用一組的對(duì)應(yīng)值或圖象上一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，即可確定反比例函數(shù)的解析式.知能解讀(五)反比例函數(shù)中比例系數(shù)的幾何意義反比例函數(shù)中比例系數(shù)的幾何意義：如圖所示，過雙曲線上任一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積即過雙曲線上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積均為.同時(shí)，的面積均為.注意(1)應(yīng)用反比例函數(shù) (為常數(shù)，)中的幾何意義，可把反比例函數(shù)與直角三角形、矩形聯(lián)系在一起_(2)應(yīng)用面積不變性可以解決一些實(shí)際問題，逆用其面積不變性還可以直接求出值，這樣可以簡(jiǎn)化反比例函數(shù)解析式的求法.知能解讀(六)反比例函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用反比例函數(shù)模型是實(shí)際生活和生產(chǎn)中的一類問題的數(shù)學(xué)模型，解決這類問題時(shí)，需要先列出符合題意的函數(shù)解析式，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)、方程、方程組、不等式等相關(guān)知識(shí)求解.根據(jù)實(shí)際問題，利用反比例函數(shù)模型來刻畫某些實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系式或利用數(shù)形結(jié)合來分析實(shí)際問題時(shí)，要特別注意以下幾點(diǎn)：在實(shí)際問題的函數(shù)解析式中，因變量和自變量都有自己代表的實(shí)際意義，不僅要學(xué)會(huì)利用變量的實(shí)際意義解答問題，還要學(xué)會(huì)把從實(shí)際中得到的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為解析式中所需的數(shù)據(jù)；(2)實(shí)際問題中函數(shù)圖象上的每一點(diǎn)都有自己所代表的實(shí)際意義；(3)作實(shí)際問題的圖象時(shí)，要注意兩個(gè)變量的取值范圍；(4)在解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常要應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想.方法技巧歸納方法技巧(一)反比例函數(shù)概念的應(yīng)用根據(jù)反比例函數(shù)的定義:反比例函數(shù)的形式主要有.方法技巧(二)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用反比例函數(shù)的圖象位置可根據(jù)的符號(hào)來確定，當(dāng)時(shí)，同號(hào)，圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，異號(hào)，圖象的兩個(gè)分支分別位于；第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大.方法技巧(三)反比例函數(shù)中比例系數(shù)的幾何意義的應(yīng)用利用反比例函數(shù)中比例系數(shù)的幾何意義解答即可.方法技巧(四)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)，既適合一次函數(shù)的解析式，也適合反比例函數(shù)的解析式，可以利用一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用解決一些問題.易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)1.對(duì)反比例函數(shù)的定義理解不透.在識(shí)別反比例函數(shù)時(shí)，(1)容易忽略條件導(dǎo)致出錯(cuò)；(2)易忽視等號(hào)右邊的關(guān)于的分式中分母是關(guān)于的單項(xiàng)式而出錯(cuò)，例如，認(rèn)為是反比例函數(shù).2.對(duì)反比例函數(shù)的性質(zhì)理解出錯(cuò).反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小.在理解時(shí)，易忽視“在每一個(gè)象限內(nèi)”這個(gè)條件，而理解為時(shí)，隨的增大而減小.易混易錯(cuò)(一)因忽視反比例函數(shù)中的條件而致錯(cuò)易混易錯(cuò)(二)因忽視題目圖象中的隱含信息而致錯(cuò).易混易錯(cuò)(三)研究反比例函數(shù)性質(zhì)時(shí)，因忽視前提條件而致錯(cuò)中考試題研究中考命題規(guī)律反比例函數(shù)的定義、性質(zhì)、解析式的確定方法及結(jié)合圖象對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析是中考必考點(diǎn)，而利用圖象及其性質(zhì)解決問題是中考的熱點(diǎn)，題型設(shè)計(jì)較新穎，有反映時(shí)代特點(diǎn)的應(yīng)用題、圖表信息題及與幾何面積有關(guān)的綜合題.中考試題(一)反比例函數(shù)的解析式中考試題(二)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)中考試題(三)反比例函數(shù)中比例系數(shù)的幾何意義中考試題(四)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題中考試題(五)反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用