中考數學 知識點聚焦 第九章 一元二次方程

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第九章 一元二次方程 考情分析 高頻考點 考查頻率 所占分值 1.元二次方程的概念 ★ 7～12分 2.一元二次方程的解法 ★★★ 3.一元二次方程根的判別式 ★★ 4.一元二次方程根與系數的關系 ★ 5.利用一元二次方程解決實際問題 ★★★ 知能圖譜 第19講 一元二次方程的有關概念及解法 知識能力解讀 知能解讀（一）一元二次方程的有關概念 1一元二次方程的定義及一般形式 定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程，叫作一元二次方程. 點撥 對定義的理解抓住三個條件：“一元”“二次”“整式方程”,缺一不可，同時強調二次項的系數不為0. 一元二次方程的一般形式是：,其中是二次項，是二次項系數，是一次項，是一次項系數，是常數項. 一元二次方程的形式： 項形式 二次項 一次項 常數項 一般形式 0 特殊形式 0 0 0 2—元二次方程的解的定義 使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根.判定一個數是否為一元二次方程的解的方法是：只需將這個值代入一元二次方程的左右兩邊，看方程兩邊是否相等.若相等，則這個數是方程的解；若不相等，則這個數不是方程的解. 知能解讀（二）一元二次方程的解法 解一元二次方程常用的方法有配方法、公式法和因式分解法.其中因式分解法是特殊解法，而配方法和由配方法推導出來的公式法是一般方法，一般方法對任何一元二次方程者隨用. 1配方法 一般地，對于方程. （1）當時，根據平方根的意義，方程有兩個不相等的實數根成：，. （2）當時，方程有兩個相等的實數根. （3）當時，因為對任意實數.都有，所以方程無實數根. 如果方程能化成或的形式，那么可得或. 通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫作配方法.配方的目的是為了降次，把一個一元二次方程轉化成兩個一元一次方程來解. 用配方法解一元二次方程的一般步驟： （1）化二次項系數為1：可在方程兩邊都除以二次項系數； （2）移項：使方程左邊是二次項和一次項,右邊為常數項(移項時注意變號)； （3）配方：方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方，使左邊配成完全平方形式，把方程化為的形式； （4）如果變形后的方程右邊的數為非負數，直接開平方解變形后的方程. 點撥 (1)配方法的一般步驟可簡記為：一移，二化，三配，四求解. (2)配方一般先把常數項移到方程右邊，再利用等式的性質將方程兩邊都加上一次項系數一半的平方(二次項系數必須為1). (3)用配方法解一元二次方程，實質就是對一元二次方程變形，轉化為開平方所需的形式.配方：是為了降次,利用平方根的意義把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解. 2公式法 解一元二次方程時,可以先將方程化為一般形式，當時，方程的實數根可寫成的形式，這個式子叫作一元二次方程的求根公式.解一個具體的一元二次方程時,把各系數直接代入求根公式，可以避免配方過程而直接得出根，這種解一元二次方程的方法叫作公式法. 點撥 用公式法解一元二次方程的記憶口訣 要用公式解方程，首先化成一般式. 調整系數隨其后，使其成為最簡比. 確定參數，計算方程判別式. 判別式值與零比，有無實根便得知. 若有實根套公式，若無實根要告之. 3因式分解法 通過因式分解，使一元二次方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0,從而實現降次，這種解一元二次方程的方法叫作因式分懈法. 因式分解法體現了將一元二次方程“降次”轉化為一元一次方程來解的思想，運用這種方法的步驟： （1）將所有項移到方程的左邊，將方程的右邊化為0； （2）將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積； （3）令每個因式分別等于零，得到兩個一元一次方程； （4）解這兩個一元一次方程，他們的解就是原方程的解. 方法技巧歸納 方法技巧（一）一元二次方程的識別方法 判斷一個方程是一元二次方程，應抓住它的三個特征：①整式方程；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是2且二次項系數不為0. 點撥 （1）正確理解掌握定義是解題的關鍵，尤其是準確掌握中“”這一條件. （2）應先把方程化成一般形式后，再判斷該方程是不是一元二次方程. 方法技巧（二）用配方法解一元二次方程 配方法解方程的關鍵在于配方，即先把方程整理成的形式，然后在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，使左邊配成完全平方形式. 點撥 （1）用配方法解一元二次方程必須先把二次：項系數化為1才能配方，這是關鍵的一步. （2）配方的重要步驟是在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，配方的目的是根據，將一般形式的一元二次方程化為的形式，然后再用直接開平方法求解. 方法技巧（三）用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的一般步驟如下： （1）把方程化為一般形式； （2）確定的值,注意各項系數包括它們前面的符號； （3）計算的值； （4）當時，把及的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；當時，方程無實數根. 點撥 用公式法解方程注意三點：一是將方程化為一般形式；二是熟記求根公式；三是掌握用此法解方程的步驟（前面已講）. 方法技巧（四）用因式分解法解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程的關鍵有三點：一是要將方程的右邊化為0；二是熟練掌握因式分解的方法(提公因式法和公式法）；三是切忌方程兩邊同時除以含未知數的整式. 注意 （1）用因式分解法解一元二次方程時，方程右邊必須為0. （2）第（2）題中的方程兩邊不能同除以，這樣容易丟掉根.遇到此類情形要先移項把方程一邊化為0. （3）第（4）題中，得出，不能只寫成. 方法技巧（五）一元二次方程中的閱讀理解題 點撥 本題體現了換元法在解高次方程中的應用，突出了解方程中的降次思想和轉化思想. 方法技巧（六）含字母系數的方程的解法 注意 由于原方程對的取值沒有限制條件，所以它不一定是一元二次方程，顯然當或時，方程分別是不同的一元一次方程，當且時，方程才是一元二次方程，這種分類討論思想要注意掌握. 易混易錯辨析 易混易錯知識 對一元二次方程的定義理解不透或思維不嚴謹，易出現錯解.如判定一元二次方程時忽略“”的條件. 易混易錯（一）忽略一元二次方程中“”的條件 易混易錯（二）用求根公式時未化成一般形式致錯 易混易錯（三）解一元二次方程時丟根 易混易錯（四）配方時未將系數化為1 易混易錯（五）亂用因式分解 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的主要考點有一元一次方程的一般形式和一元二次方程的解法等，題型有填空題、選擇題、解答題，近幾年部分地區(qū)中考出現了閱讀理解題、開放題等新題型，應予以關注. 中考試題（一）對一元二次方程相關概念的理解 點撥 已知一元二次方程的根求未知系數或有關代數式的值時，常把方程的根代入一元二次方程中求解. 中考試題（二）解一元二次方程 （1）用配方法解方程 （2）用公式法解方程 點撥 用公式法求解，先把一元二次方程化為一般形式，再計算，最后代入公式求解. （3）用因式分解法解方程 中考試題（三）一元二次方程的探究創(chuàng)新 第20講一元二次方程根的判別式和根與系數的關系 知識能力解讀 知能解讀（一）一元二次方程根的判別式及應用 1一元二次方程根的判別式 將配方成后，可以看出，只有當時，方程才有實數根，這樣的值就決定著一元一次方程根的情況.一般地，式子叫作一元二次方程根的判別式，通常用“”表示它，即. 的符號 方程根的情況 方程有兩個不相等的實數根，即 方程有兩個相等的實數根，即 方程無實數根 上面的結論反過來也成立，即當方程有兩個不相等的實數根時，；當方程有兩個相等的實數根時，；當方程沒有實數根時，. 注意 （1）只適用于一元二次方程.只有確定是一元二次方程時，才能確定、、，求出. （2）使用時，要先將一元二次方程化為一般形式后，才能確定、、，求出. （3）當時，方程有實數根. 2一元二次方程根的判別式的應用 一元二次方程根的判別式主要有以下應用：①不解一元二次方程，判別根的情況；②根據方程根的情況，確定方程中字母系數的取值范圍. 知能解讀（二）一元二次方程根與系數的關系及應用 1內容 若一元二次方程有實數根，設這兩個實數根分別為，由求根公式得，令，.由此可得，.所以，.即對于一元二次方程來說，若是它的兩個實數根，則，. 這一結論可表述為：一元一次方程兩個根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩個根的積等于常數項與二次項系數的比.此結論稱為一元二次方程根與系數的關系. 注意 （1）根與系數的關系是在方程有根的前提下（即)才能夠成立的，運用根與系數的關系解題時首先要檢驗是否非負. （2）根與系數的關系的應用：①不解方程，求與方程的根有關的代數式的值；②已知方程一根，求方程的另一根；③與根的判別式相結合,解決一些綜合題. 2應用 （1）驗根：不解方程，利用一元二次方程根與系數的關系，可以檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩根. （2）已知方程的一個根，求另一根及未知系數. （3）不解方程，利用一元二次方程根與系數的關系，求關于的對稱式的值. （4）已知方程的兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數的值. 3拓展 （1）與兩根有關的幾個代數式的變形： ①； ②； ③； ④. （2）討論一元二次方程根的符號 且 兩根同為正數 兩根同為負數 且 異號且正根絕對值大 異號且負根絕對值大 （3）以為根的一元二次方程（二次項系數為1）為. 方程技巧歸納 方法技巧（一）一元二次方程根的判別式的應用 一元二次方根根的判別式闡明了根的存在性與系數的內在聯(lián)系，它的應用非常廣泛，現舉例說明如下： 1不解方程，判斷方程根的情況 解題時，一般分兩步：（1）先求出的值；（2）由與零的關系判斷方程根的情況. 點撥 判斷一元二次方程根的情況要根據的值是大于0，小于0還是等于0來判斷.當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程沒有實數根；當時，方程有兩個相等的實數根. 2根據方程根的情況確定待定系數的取值 注意 方程有兩個實數根，則；方程有兩個不相等的實數根，則，解題時一定要注意兩者的區(qū)別. 方法技巧（二）一元二次方程根與系數的關系的應用 一元二次方程根與系數的關系不僅提供了方程兩根與系數之間的內在聯(lián)系，也為我們處理有關一元二次方程問題提供了重要思路和方法. 方法技巧（三）根的判別式和根與系數關系的綜合應用 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.利用實數根的個數確定字母的取值范圍時忽略. 2.關于的方程有兩個實數根的大前提是原方程為一元二次方程，所以必須保證二次項系數，這個隱含條件常常成為命題設置的“陷阱在應用一元二次方程根與系數的關系時易出錯. 要注意其成立的兩個前提條件：（1)在一元二次方程條件下，注意二次項系數；(2)存在實數根的條件下，注意根的判別式.兩者缺一不可.解題時，常常因為忽略某一方面導致出錯. 易混易錯(一)根據一元二次方程根的情況確定未知系數取值范圍時忽略“”的條件） 易錯易混（二）二次項系數或考慮不周致錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的主要考點有根的判別式及根與系數的關系的簡單應用，近年來，直接考查根的判別式及根與系數的關系的題目明顯增加，題型以選擇題、填空題為主，有時出現與解直角三角形、四邊形、二次函數有關的綜合題，題型有解答題和開放探究題. 中考試題（一）利用判別式方程根的情況 中考試題（二）根據方程根的情況求字母的取值范圍 中考試題（三）已知方程的一個根，求另一個根及字母的值 中考試題（四）求關于方程兩根的代數式的值 中考試題（五）已知兩根關系，求某個字母的值 中考試題（六）一元二次方程的綜合應用 第21講實際問題與一元二次方程（實踐與探究） 知識能力解讀 知能解讀（一）列一元一次方程解應用題得方法步驟 列一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的拓展，兩者的解題方法類似,但由于一元二次方程有兩個實數解，所以要注意檢驗得出的方程的 解是否符合實際意義. 其步驟如下： （1）審：讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的等量關系. （2）設：選用適當的方式設未知數(直接設未知數或間接設未知數)，不要漏寫單位，用含未知數的代數式表示題目中涉及的量. （3）列：根據題目中的等量關系，用含未知數的代數式表示其他未知數，列出含未知數的等式.注意等號兩邊量的單位必須一致. （4）解：解所列方程，求出未知數的值. （5）驗：一是檢驗得到的未知數的值是否為方程的解，二是檢驗方程的解是否符合題意. （6）答：怎么問就怎么答，注意不要漏寫單位. 知能解讀(二)主要題型 列一元二次方程解應用題在日常生活、生產、科技等方面有著廣泛的應用，如增長率(降低率)問題、利息問題、數字問題、利潤問題、動點問題等. 方法技巧歸納 方法技巧（一）增長率（降低率）問題的解題方法 （1）增長量=原產量增長率；（2）增產后的產量=原產量（1+增長率）. 點撥 增長率問題：若設基數為，平均增長率為，則增長次后的值為. 方法技巧（二）利息問題的解題方法 解答此類問題的關鍵是理解實際生活中的一些概念，如本金、利率、利息等. 注意 對于存款利息問題，解題時一定要注意每次增長的基礎量是否相同. 方法技巧（三）數字問題的解題方法 解答此類問題的關鍵是掌握好數的表示方法和設法.如：（1）兩位數=十位數字10+個位數字，三位數=百位數字100+十位數字10+個位數字；（2）三個連續(xù)整數可設為，三個連續(xù)奇數（或偶數）可設為等. 點撥 （1）解決有關多位數的問題時，一般不直接設出這個多位數，而是間接設某個數位上的數字，再用代數式表示其余數位上的數字. （2）正確列出方程的關鍵是熟練掌握用未知數表示多位數的方法，如：兩位數=十位數字10+個位數字. 方法技巧（四）利潤問題的解題方法 解決利潤問題的關鍵是弄清標價、售價、成本價的實際意義及利潤的兩個等量關系： （1）利潤=售價-成本價（進貨價）；（2）利潤率=100%. 點撥 利潤=售價-進價，所以每千克核桃降價元后獲利元，每天賣出核桃千克，這是解題的關鍵，注意根據最大讓利原則應取6，而不取4. 方法技巧（五）動點問題的解題方法 動點問題關鍵是根絕動點運動時的起點和終點等條件列出方程求解. 點撥 通過分析這類問題，可以培養(yǎng)同學們的抽象思維能力.用“靜”的方法來處理“動”的問題是解決運動型數學問題的基本思維技巧.如此題中的“靜”就是指的長度為. 方法技巧（六）圖形面積問題的解題方法 圖形面積問題多涉及三角形全等、勾股定理、三角形三邊關系及各種規(guī)則圖形的面積公式，多考查矩形面積問題. 點撥 （1）列方程解應用題得關鍵是認真讀題，找出題中的等量關系.（2）本題中的墻的長度對于方程的解有限制作用. 易混易錯辨析 易混易錯知識 忽略檢驗，導致結論錯誤. 列一元二次方程解決實際問題，是一元二次方程的一個重要應用.由于一般情況下一元二次方程有兩個實數解，所以應注意檢驗得到的未知數的值是否符合題意及實際問題的意義. 易混易錯（一）列一元二次方程解應用題時因忽視隱含條件而致誤 易混易錯（二）在解決有關比賽等問題時，因理解題意而致誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的主要考點有列一元二次方程解決圖形面積問題、增長率（降低率）問題和與市場經濟有關的利潤問題等實際問題.題型有選擇題、填空題和解答題. 中考試題(一）圖形面積問題 中考試題(二）增長率（降低率）問題 點撥 (1)有關百分率的問題常應用公式求解，其中是基數，是增長率或降低率，是變化次數，是經過次變化后的結果.（2)應用一元二次方程解應用題時要注意舍去不合題意的解. 中考試題(三）利潤問題 點撥 本題考查了一元二次方程的應用，找到等量關系準確地列出方程是解決問題的關鍵.此題要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.