中考數(shù)學(xué) 知識點聚焦 第一章 有理數(shù)

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第一編 基礎(chǔ)知識篇 一、本部分內(nèi)容梳理基礎(chǔ)知識，細(xì)講方法技巧，辨析易混易錯，提升中考能力． 二、本部分內(nèi)容包括： 代數(shù)式 方程(組)與不等式(組) 圖形與坐標(biāo)、函數(shù)及圖像 基礎(chǔ)知識篇 空間圖形與幾何初步 圖形與變換→對稱、平移與旋轉(zhuǎn) 圖形與證明 統(tǒng)計與概率 專題一 實數(shù) 第一章 有理數(shù) 高頻考點 考查頻率 所占分值 1．有理數(shù)的分類 ★ 2．具有相反意義的量 ★★ 3．有理數(shù)的大小比較 ★★★ 4．相反數(shù)、絕對值、倒數(shù) ★★★ 2～9 5．有理數(shù)的混合運算 ★★ 6．科學(xué)記數(shù)法 ★★★ 知能圖譜 有理數(shù)的意義 有理數(shù)的分類 有理數(shù)的運算 按正負(fù)分 按定義分 整數(shù) 分?jǐn)?shù) 正有理數(shù) 0 負(fù)有理數(shù) 有理數(shù)的有關(guān)概念 比較有理數(shù)的大小 有理數(shù) 用計算器進行有理數(shù)的簡單運算 有理數(shù)的混合運算 乘除及乘方 混合運算 加減混合運算 運算 運算律 交換律 結(jié)合律 分配律 近似數(shù) 科學(xué)記數(shù)法 第1講 有理數(shù)的意義 知識能力解讀 知能解讀 (一)正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義 (1)像，l，8％，這樣大于0的數(shù)(“＋”通常省略不寫)叫作正數(shù)． (2)像，％，，這樣在正數(shù)前面加上“－”(讀負(fù)號)的數(shù)叫作負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)小于0． 注意：(1)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是一個整數(shù)，它表示正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界． (2)對于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡單理解為帶“＋”的數(shù)是正數(shù)，帶“－”的數(shù)是負(fù)數(shù)．如是0，也是0；當(dāng)時，就是正數(shù)． (二)具有相反意義的量 正數(shù)和負(fù)數(shù)是根據(jù)實際需要而產(chǎn)生的，比如一些具有相反意義的量：收入200元與支出200元，上升7米與下降3米，零上2℃與零下7℃等．雖然它們都表示一定的數(shù)量，卻意義相反，那么我們?nèi)绾稳ケ硎舅鼈兡? 我們把一種意義的量規(guī)定為正的(如收入200元規(guī)定為元)，把另一種和它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的(如支出200元規(guī)定為元)，于是就產(chǎn)生了正數(shù)和負(fù)數(shù)． 注意：(1)用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時，哪種意義的量規(guī)定為正，是可以任意選定的(如將上升2米規(guī)定為米或米都可以)，一旦選定一種意義的量為正，則另一種意義相反的量就只能為負(fù)． (2)具有相反意義的量的特點：①具有相反意義的量是成對出現(xiàn)的，單獨一個量不能成為具有相反意義的量；②與一個量意義相反的量不止一個；③具有相反意義的量包含兩個要素：一是它們的意義相反，二是它們都具有數(shù)量；④具有相反意義的量必須是同類量，如節(jié)約3噸油與浪費1噸水不是具有相反意義的量． (三)有理數(shù)的分類 1．有理數(shù)的定義 正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)．正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)． 2．有理數(shù)的分類： (1)按定義分類： 自然數(shù) 有理數(shù) 整數(shù) 分?jǐn)?shù) 有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù) (2)按正負(fù)分類： 有理數(shù) 注意：(1)在對有理數(shù)進行分類時，要做到不重不漏． (2)在分類時，注意0的地位和意義． (3)正整數(shù)，0統(tǒng)稱非負(fù)整數(shù)(也叫自然數(shù))；負(fù)整數(shù)，0統(tǒng)稱非正整數(shù)． (四)數(shù)軸 在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線叫作數(shù)軸，它滿足以下要求： (1)在直線上任取—個點表示數(shù)0，這個0點叫作原點； (2)通常規(guī)定直線上從原點向右(或上)為正方向，從原點向左(或下)為負(fù)方向； (3)選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示l，2，3，…；從原點向左，用類似方法依次表示，，，…(如圖所示)． 點撥：(1)利用數(shù)軸，我們可以表示任意一個有理數(shù)，還可以表示任意一個無理數(shù)． (2)數(shù)軸是研究數(shù)學(xué)的重要工具，也是“數(shù)形結(jié)合”的重要體現(xiàn)． (3)數(shù)軸的定義包含三層含義：①數(shù)軸是一條可以向兩端無限延伸的直線；②數(shù)軸有三要素：原點、單位長度、正方向；③原點的位置、單位長度、正方向都是根據(jù)實際需要規(guī)定的． (五)相反數(shù) 只有符號不同的兩個數(shù)叫作互為相反數(shù)．特別地，0的相反數(shù)是0． (1)在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離相等(幾何意義)． (2)數(shù)的相反數(shù)是．若，互為相反數(shù)，則(或，或)． (六)絕對值 一般地，數(shù)軸上表示數(shù) 的點與原點的距離叫作數(shù)的絕對值，記作． 正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，即 點撥：因為有理數(shù)的絕對值表示兩點之間的距離，距離總是正數(shù)或零，所以任意一個有理數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，即． (七)有理數(shù)大小比較的常用方法 (1)數(shù)軸比較法：將兩數(shù)分別表示在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大． (2)代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。? (3)差值比較法：設(shè)，是兩個任意數(shù)，若，則；若，則；若，則． (4)商值比較法：設(shè)，是兩個正數(shù)，若，則；若，則；若，則． 此外，還有倒數(shù)比較法、中間值比較法、平方比較法、換元比較法等． (八)絕對值的非負(fù)性(拓展點) (1)正數(shù)和零統(tǒng)稱非負(fù)數(shù)，絕對值的意義揭示了絕對值的一個重要性質(zhì)：非負(fù)性，即對于任何有理數(shù)，都有．如，，，故絕對值最小的數(shù)是0． (2)非負(fù)數(shù)的重要性質(zhì)：①非負(fù)數(shù)有最小值，是0；②若幾個非負(fù)數(shù)之和等于0，每個非負(fù)數(shù)都等于0，即若，則，；③有限個非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)有理數(shù)的識別方法 識別有理數(shù)的依據(jù)是有理數(shù)的定義及分類標(biāo)準(zhǔn)． (二)求相反數(shù)的方法與多層性質(zhì)符號的化簡方法 (1)求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面加上“－”即可．若求一個代數(shù)式(含和、差形式)的相反數(shù)，則把這個代數(shù)式作為一個整體用括號括起來，再在前面加一個“－”，如的相反數(shù)是，即． (2)含多層性質(zhì)符號的式子，其化簡結(jié)果的符號只與“－”的個數(shù)有關(guān)，若“－”有偶數(shù)個，則結(jié)果為正；若“－”有奇數(shù)個，則結(jié)果為負(fù)． (三)絕對值的求法 求一個數(shù)的絕對值，就是想辦法去掉絕對值號，順序為“先判后去”，即先判斷絕對值號內(nèi)的數(shù)(或式)的符號，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值號． (四)絕對值非負(fù)性的應(yīng)用 我們知道，對于任意有理數(shù)，有．若幾個非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個非負(fù)數(shù)均為0． (五)數(shù)軸與有理數(shù)大小比較的方法 (1)在數(shù)軸上，右邊的點所表示的數(shù)比左邊的點所表示的數(shù)大．根據(jù)正、負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置可知：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)．在利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小時，先要確定好有理數(shù)在數(shù)軸上的位置． (2)用不等式表示正數(shù)和負(fù)數(shù)： ①正數(shù)大于0，反之，大于0的數(shù)都是正數(shù)，故用“”表示為正數(shù)． ②負(fù)數(shù)小于0，反之，小于0的數(shù)都是負(fù)數(shù)，故用“”表示為負(fù)數(shù)． ③為非負(fù)數(shù)，用“”表示；為非正數(shù)，用“”表示． (六)數(shù)軸上兩點間的距離 數(shù)軸上兩點間的距離等于表示該兩點的數(shù)的差的絕對值． 易混易錯辨析 易混易錯知識 1．誤認(rèn)為無論是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，絕對值大的數(shù)就大． 2．對有理數(shù)進行分類時，易因誤解0的地位和意義而出錯． 易混易錯 (一)對相反數(shù)的幾何意義理解不透導(dǎo)致漏解 (二)對絕對值的意義理解不透導(dǎo)致錯誤 (三)混淆負(fù)數(shù)與帶負(fù)號的數(shù)導(dǎo)致出錯 (四)比較有理數(shù)的大小時，忽視原數(shù)的符號導(dǎo)致錯誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，中考題一般在準(zhǔn)確理解概念的前提下即可正確解答．主要考查絕對值和相反數(shù)的概念、有理數(shù)的大小比較，以及利用數(shù)軸進行化簡或解決相關(guān)問題，題型以填空題、選擇題為主． 中考試題 (一)對相反數(shù)的考查 (二)對絕對值的考查 (三)有理數(shù)的大小比較 (四)利用數(shù)軸解決問題 第2講 有理數(shù)的運算 知識能力解談 知能解讀 (一)有理數(shù)的加法 (1)有理數(shù)的加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)． (2)加法運算律：①加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變，即；②加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變，即． 點撥：有理數(shù)的加法運算可概括為：同號相加一邊倒；異號相加“大”減“小”，符號跟著“大”的跑；相反敷相加“零”正好． (二)有理數(shù)的減法 有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，即把有理數(shù)的減法利用數(shù)的相反數(shù)變成加法進行運算．可表示為． 點撥：有理數(shù)相減，符號有兩變，先把減變加，減數(shù)變相反，統(tǒng)一成加后，再把結(jié)果算． (三)有理數(shù)的乘法 (1)有理數(shù)的乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；②任何數(shù)與0相乘，都得0． (2)有理數(shù)乘法法則的推廣：①幾個不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負(fù)數(shù)．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．③幾個不等于0的數(shù)相乘，首先確定積的符號，然后把絕對值相乘． (3)乘法運算律：①乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即；②乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等，即；③分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加，即． 說明：(1)多個有理數(shù)相乘，負(fù)號當(dāng)家起作用，奇負(fù)偶正規(guī)律定，一數(shù)為0積為0． (2)由有理數(shù)乘法法則得出以下結(jié)論： ①如果兩個數(shù)的積為正數(shù)，那么這兩個數(shù)同正或同負(fù)； ②如果兩個數(shù)的積為負(fù)數(shù)，那么這兩個數(shù)一正一負(fù)； ③如果兩個數(shù)的積為0，那么這兩個數(shù)中至少有一個是0． (四)有理數(shù)的除法 (1)倒數(shù)：乘積是l的兩個數(shù)互為倒數(shù)．巧記為“分子分母顛倒位置”，如的倒數(shù)為． 一般地，，即若是不等于0的有理數(shù)，則的倒數(shù)為． (2)有理數(shù)的除法法則：①除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，也可表示為．②兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除；0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0． 注意：(1)0不能作除敏．(2)巧記“除法化乘法，倒數(shù)是關(guān)鍵”．(3)求倒數(shù)的方法：①求一個整數(shù)(不為0)的倒數(shù)，只要寫成這個整數(shù)分之一即可；②求一個真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把分?jǐn)?shù)的分子和分母顛倒位置即可；③求一個帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，要先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再求它的倒數(shù)；④求一個小數(shù)的倒數(shù)，要先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再求它的倒數(shù)． (五)有理數(shù)的乘方 (1)乘方的概念：求個相同因數(shù)的積的運算，叫作乘方，乘方的結(jié)果叫作冪．在中，叫作底數(shù)，叫作指數(shù)．一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的1次方． (2)乘方的符號法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0． 注意：(1)一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的1次方，指數(shù)l通常省略不寫；(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時，要先用括號將底數(shù)括起來，再在其右上角寫上指數(shù)；(3)0的0次冪無意義． (六)有理數(shù)的混合運算順序 運算順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運算，從左到右進行；(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號、大括號依次進行． 注意：(1)運算過程中，帶分?jǐn)?shù)一般化為假分?jǐn)?shù)，小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再進行乘方、乘除等運算，可簡化解題步驟；另外有些運算可同時進行，也可簡化解題步驟 (2)在進行混合運算時，除遵守以上原則外，還需注意靈活使用運算律，使運算準(zhǔn)確而快捷． (七)科學(xué)記數(shù)法 (1)把一個絕對值大于10的數(shù)表示成的形式(其中，是正整數(shù))，使用的是科學(xué)記數(shù)法． 注意：中只有一位整數(shù)，等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1． (2)把一個絕對值小于1的非零數(shù)表示成的形式，其中，是一個負(fù)整數(shù)，的絕對值等于原數(shù)中左起第一個非零數(shù)字左面所有的0的個數(shù)(包括小數(shù)點左面的那個0)． (八)近似數(shù) 近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫作這個數(shù)的近似數(shù)，也叫近似值． 精確度：近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示． 一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位． 注意：(1)一個數(shù)要精確到哪一位，只要將它的下一位四舍五入即可，按要求求近似數(shù)時不能連續(xù)從未位向前四舍五入． (2)一個近似數(shù)的末尾的0不可省略，省略后原數(shù)的精確度會改變． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)有理數(shù)加法運算的解題技巧 (1)在進行有理數(shù)加法運算時，首先要弄清兩個加數(shù)的情況，其次按照“一定，二求，三和差”的步驟完成解題任務(wù)．“一定”即先確定和的符號；“二求”即求加數(shù)的絕對值；“三和差”即分析確定絕對值是相加還是相減． (2)在運算中可靈活運用運算律，使運算簡化． (二)有理數(shù)減法運算的解題規(guī)律 有理數(shù)的減法，不像算術(shù)里那樣直接減，而是把它轉(zhuǎn)化為加法，借助加法進行計算．關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解減法法則，注意“兩變”和“一不變”．“兩變”即改變運算符號(減→加)和改變減數(shù)的性質(zhì)符號(變?yōu)橄喾磾?shù))；“一不變”即被減數(shù)和減數(shù)的位置不能交換． (三)有理數(shù)加減混合運算的規(guī)律技巧 有理數(shù)的加減混合運算的方法：(1)運用有理數(shù)減法法則，將有理數(shù)加減混合運算中的減法運算統(tǒng)一為加法運算，然后省略加號和括號；(2)運用運算律，使運算簡便． (四)正確進行有理數(shù)的乘法運算，靈活運用運算律 (1)有理數(shù)乘法運算步驟為：第一步，確定符號；第二步，因數(shù)的絕對值相乘． (2)有理數(shù)乘法法則中“同號得正，異號得負(fù)”專對“兩數(shù)相乘”而言． (五)正確進行有理數(shù)的除法運算 在有理數(shù)的除法中，一般能整除的，在確定符號后可直接整除；在不能整除的情況下，特別是當(dāng)除數(shù)是分?jǐn)?shù)時，往往把除法轉(zhuǎn)化為乘法較方便．在乘除混合運算中，注意運算順序，從左向右依次運算． (六)有理數(shù)乘方運算的解題方法 (1)乘方是一種特殊的乘法運算(因數(shù)相同的乘法運算)，冪是乘方運算的結(jié)果．有理數(shù)乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先確定冪的符號，然后再計算絕對值．(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在右上角寫上指數(shù)，指數(shù)要寫得小一些，例如不能寫為． (七)有理數(shù)混合運算的方法與技巧 (1)把握好運算順序是關(guān)鍵．有理數(shù)運算分三級運算，加減是第一級運算，乘除是第二級運算，乘方與開方(后面講)是第三級運算．運算順序：先算高級運算，后算低級運算；若是同級運算，從左向右依次計算；若有括號，就先算括號里面的． (2)牢記五種運算的運算法則、運算技巧及運算律，以簡化計算，從而提高解題的速度和準(zhǔn)確率． (八)用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的方法 把絕對值大于10的數(shù)表示成的形式時，，是正整數(shù)且等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1． (九)巧用“拆項法”解決有理數(shù)的混合運算問題 在有理數(shù)的運算中常把帶分?jǐn)?shù)拆分成整數(shù)部分和小數(shù)部分和的形式，或把拆成(其中)的形式．這樣就可把復(fù)雜的有理數(shù)運算轉(zhuǎn)化為簡單的計算． 易混易錯辨析 易混易錯知識 1．混淆倒數(shù)與相反數(shù)的概念． 我們知道，只有符號不同的兩個數(shù)叫作互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0，或者說和為0的兩個數(shù)互為相反數(shù)．任何數(shù)都有相反數(shù)，即的相反數(shù)是．而乘積為l的兩個數(shù)互為恒數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，0沒有倒數(shù)，即的倒數(shù)是． 2．混淆有理數(shù)加法與乘法法則． 在進行有理數(shù)加法和乘法運算時，常因混淆兩個法則而出現(xiàn)或之類的錯誤．要切記：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)；兩數(shù)相加，同號取相同的符號，異號(絕對值不相等)取絕對值較大的加數(shù)的符號． 3．對乘方的理解有誤． 乘方是指幾個相同因數(shù)積的運算，表示個的積，即，在運用乘方公式時易出現(xiàn)的錯誤，要特別注意． 易混易錯 (一)運算時，符號出錯 (二)運算順序不正確 (三)錯用運算律 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的考點主要有有理數(shù)的運算和科學(xué)記數(shù)法，題型以填空題、選擇題為主，主要考查有理數(shù)的運算法則以及在實際問題中的應(yīng)用，有理數(shù)的運算還常以找規(guī)律的形式命題或與其他知識綜合命題．近幾年考查科學(xué)記數(shù)法的試題背景多與時代熱點或地方特點相結(jié)合． 中考試題 (一)有理數(shù)的基本運算 (二)有理數(shù)加減法的實際應(yīng)用 (三)對科學(xué)記數(shù)法的理解 (四)有理數(shù)運算中的規(guī)律性問題