新標人教版小學數(shù)學五年級下冊教學用書.doc

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. 目 錄 《義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學》五年級下冊說明........1 一、教學內(nèi)容和教學目標........1 二、教材的編寫特點........4 三、教學中需要準備的教具和學具........14 四、課時安排........15 各單元的教材說明和教學建議........17 一、圖形的變換........17 （一）教學目標........17 （二）教材說明和教學建議........17 （三）具體內(nèi)容的說明和教學建議........19 二、因數(shù)與倍數(shù)........28 （一）教學目標........28 （二）教材說明和教學建議........28 （三）各小節(jié)的教材說明和教學建議........31 1. 因數(shù)和倍數(shù)........31 2. 2、5、3的倍數(shù)的特征........36 3. 質(zhì)數(shù)和合數(shù)........41 （四）參考資料........44 1. 2、5、3的倍數(shù)的特征........44 2. 質(zhì)數(shù)表........45 3. 篩法........46 三、長方體和正方體........47 （一）教學目標........47 （二）教材說明和教學建議........47 （三）各小節(jié)的教材說明和教學建議........50 1. 長方體和正方體的認識........50 2. 長方體和正方體的表面積........56 3. 長方體和正方體的體積........61 （四）參考教案........78 課題一：長方體的認識（片斷）........78 課題二：體積和體積單位........81 綜合應(yīng)用：粉刷圍墻........86 四、分數(shù)的意義和性質(zhì)........89 （一）教學目標........89 （二）教材說明和教學建議........89 （三）各小節(jié)的教材說明和教學建議........95 1. 分數(shù)的意義........95 2. 真分數(shù)和假分數(shù)........106 3. 分數(shù)的基本性質(zhì)........114 4. 約分........120 5. 通分........130 6. 分數(shù)和小數(shù)的互化........144 （四）參考教案........152 課題一：分數(shù)的意義........152 課題二：最小公倍數(shù)........155 （五）參考資料........159 1. 輾轉(zhuǎn)相除法........159 2. 利用最大公因數(shù)求最小公倍數(shù)........160 3. 數(shù)的擴充........161 4. 無限循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)........162 五、分數(shù)的加法和減法........164 （一）教學目標........164 （二）教材說明和教學建議........164 （三）各小節(jié)的教材說明和教學建議........169 1. 同分母分數(shù)加、減法........169 2. 異分母分數(shù)加、減法........178 3. 分數(shù)加減混合運算........185 （四）參考教案........192 課題：異分母分數(shù)加減法........192 六、統(tǒng)計........198 （一）教學目標........198 （二）教材說明和教學建議........198 （三）具體內(nèi)容的說明和教學建議........200 綜合應(yīng)用：打電話........206 七、數(shù)學廣角........212 （一）教學目標........212 （二）教材說明和教學建議........212 （三）具體內(nèi)容的說明和教學建議........214 八、總復習........219 （一）教學目標........219 （二）教材說明........219 （三）教學建議........221 全冊教材分析 《義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學》五年級下冊說明 人民教育出版社小學數(shù)學室、課程教材研究所小學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心編寫的《義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學》五年級下冊，是以《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）的基本理念和所規(guī)定的教學內(nèi)容為依據(jù)，在總結(jié)現(xiàn)行九年義務(wù)教育小學數(shù)學教材研究和使用經(jīng)驗的基礎(chǔ)上編寫的。編者一方面努力體現(xiàn)新的教材觀、教學觀和學習觀，同時注意所采用措施的可行性，使實驗教材具有創(chuàng)新、實用、開放的特點。另一方面注意處理好繼承與發(fā)展的關(guān)系，既注意反映數(shù)學教育改革的新理念，又注意保持我國數(shù)學教育的優(yōu)良傳統(tǒng)，使教材具有基礎(chǔ)性、豐富性和發(fā)展性。 下面就這冊教材中幾個主要問題作一簡要說明，以供教師參考。 一、教學內(nèi)容和教學目標 這一冊教材包括下面一些內(nèi)容：圖形的變換，因數(shù)與倍數(shù)，長方體和正方體，分數(shù)的意義和性質(zhì)，分數(shù)的加法和減法，統(tǒng)計，數(shù)學廣角和綜合應(yīng)用等。 因數(shù)與倍數(shù)，長方體和正方體，分數(shù)的意義和性質(zhì)，分數(shù)的加法和減法，統(tǒng)計等是本冊教材的重點教學內(nèi)容。 在數(shù)與代數(shù)方面，這一冊教材安排了因數(shù)與倍數(shù)、分數(shù)的意義和性質(zhì)，分數(shù)的加法和減法。因數(shù)與倍數(shù)，在前面學習整數(shù)及其四則運算的基礎(chǔ)上教學初等數(shù)論的一些基礎(chǔ)知識，包括因數(shù)和倍數(shù)的意義，2、5、3的倍數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)和合數(shù)。教材在三年級上冊分數(shù)的初步認識的基礎(chǔ)上教學分數(shù)的意義和性質(zhì)以及分數(shù)的加法、減法，結(jié)合約分教學最大公因數(shù)，結(jié)合通分教學最小公倍數(shù)。 在空間與圖形方面，這一冊教材安排了圖形的變換、長方體和正方體兩個單元。在已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過豐富的現(xiàn)實的數(shù)學活動，讓學生獲得探究學習的經(jīng)歷，認識圖形的軸對稱和旋轉(zhuǎn)變換；探索并體會長方體和正方體的特征、圖形之間的關(guān)系，及圖形之間的轉(zhuǎn)化，掌握長方體、正方體的體積及表面積公式，探索某些實物體積的測量方法，促進學生空間觀念的進一步發(fā)展。 在統(tǒng)計方面，本冊教材讓學生學習有關(guān)眾數(shù)和復式折線統(tǒng)計圖的知識。在學習平均數(shù)和中位數(shù)的基礎(chǔ)上，本冊教材教學眾數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的特征數(shù)。平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，比較穩(wěn)定、可靠，但易受極端數(shù)據(jù)的影響；中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性比較差，但不受極端數(shù)據(jù)的影響；眾數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，也不受極端數(shù)據(jù)的影響。當一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)變動較大時，適宜選擇眾數(shù)或中位數(shù)來表示這組數(shù)據(jù)的集中趨勢。 在用數(shù)學解決問題方面，教材一方面結(jié)合分數(shù)的加法和減法、長方體和正方體兩個單元，教學用所學的知識解決生活中的簡單問題；另一方面，安排了“數(shù)學廣角”的教學內(nèi)容，引導學生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動向?qū)W生滲透優(yōu)化的數(shù)學思想方法，體會解決問題策略的多樣性及運用優(yōu)化的方法解決問題的有效性，感受數(shù)學的魅力。 本冊教材根據(jù)學生所學習的數(shù)學知識和生活經(jīng)驗，安排了兩個數(shù)學綜合應(yīng)用活動，讓學生通過小組合作的探究活動或有現(xiàn)實背景的活動，運用所學知識解決問題，體會探索的樂趣和數(shù)學的實際應(yīng)用，感受用數(shù)學的愉悅，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識和實踐能力。 這一冊教材的教學目標是，使學生： 1. 理解分數(shù)的意義和基本性質(zhì)，會比較分數(shù)的大小，會把假分數(shù)化成帶分數(shù)或整數(shù)，會進行整數(shù)、小數(shù)的互化，能夠比較熟練地進行約分和通分。 2. 掌握因數(shù)和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)等概念，以及2、3、5的倍數(shù)的特征；會求100以內(nèi)的兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。 3. 理解分數(shù)加、減法的意義，掌握分數(shù)加、減法的計算方法，比較熟練地計算簡單的分數(shù)加、減法，會解決有關(guān)分數(shù)加、減法的簡單實際問題。 4. 知道體積和容積的意義及度量單位，會進行單位之間的換算，感受有關(guān)體積和容積單位的實際意義。 5. 結(jié)合具體情境，探索并掌握長方體和正方體的體積和表面積的計算方法，探索某些實物體積的測量方法。 6. 能在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形，以及將簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°；欣賞生活中的圖案，靈活運用平移、對稱和旋轉(zhuǎn)在方格紙上設(shè)計圖案。 7. 通過豐富的實例，理解眾數(shù)的意義，會求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，并解釋結(jié)果的實際意義；根據(jù)具體的問題，能選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量表示數(shù)據(jù)的不同特征。 8. 認識復式折線統(tǒng)計圖，能根據(jù)需要選擇合適的統(tǒng)計圖表示數(shù)據(jù)。 9. 經(jīng)歷從實際生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程，體會數(shù)學在日常生活中的作用，初步形成綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。 10. 體會解決問題策略的多樣性及運用優(yōu)化的數(shù)學思想方法解決問題的有效性，感受數(shù)學的魅力。形成發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學的意識，初步形成觀察、分析及推理的能力。 11. 體會學習數(shù)學的樂趣，提高學習數(shù)學的興趣，建立學好數(shù)學的信心。 12. 養(yǎng)成認真作業(yè)、書寫整潔的良好習慣。 二、教材的編寫特點 本冊教材對于教學內(nèi)容的編排和處理，是以整套實驗教材的編寫思想、編寫原則等為指導，力求使教材的結(jié)構(gòu)符合教育學、心理學的原理和學生的年齡特征，繼續(xù)體現(xiàn)前幾冊實驗教材中的風格與特點。本冊教材仍然具有內(nèi)容豐富、關(guān)注學生的經(jīng)驗與體驗、體現(xiàn)知識的形成過程、鼓勵算法及解決問題的策略多樣化、改變學生的學習方式，體現(xiàn)開放性的教學方法等特點。同時，由于教學內(nèi)容的不同，本冊教材還具有下面幾個明顯的特點。 1. 改進因數(shù)與倍數(shù)教學的編排，體現(xiàn)數(shù)學教學改革的新理念，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。 在小學階段，有關(guān)因數(shù)與倍數(shù)的知識是傳統(tǒng)的教學內(nèi)容，以往人們認為，它既是小學生應(yīng)該掌握的重要的基礎(chǔ)知識，又是發(fā)展小學生邏輯思維的良好素材。同時，人們普遍認為，這部分內(nèi)容概念集中，比較抽象，概念之間的聯(lián)系緊密，學生理解起來比較困難。也由于以往對這部分內(nèi)容的編排，聯(lián)系實際的素材不多，學習這部分內(nèi)容，既需要學生理解并記憶一些概念，又要求能夠運用這些概念進行一定的推理、判斷。所以，學習過程顯得比較枯燥。因此，這部分內(nèi)容向來是小學數(shù)學教學的難點內(nèi)容。 本套教材對這部分內(nèi)容的處理，主要的依據(jù)是《標準》的要求和所提倡的理念。“在《標準》中這部分內(nèi)容的要求有所降低，明確在1～100的自然數(shù)中認識有關(guān)的概念和性質(zhì)，并且這部分內(nèi)容不作為一個獨立的領(lǐng)域出現(xiàn)，在教材的編排中可以將這部分內(nèi)容分散到數(shù)的認識和計算中去?！保▌⒓鎸O曉天主編《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）解讀》第204頁，北京師范大學出版社2002年5月第1版。） 本冊教材的編排既注意體現(xiàn)《標準》中關(guān)于因數(shù)與倍數(shù)教學與教材編排的要求，同時注意體現(xiàn)近年來有關(guān)這部分內(nèi)容教學改革的經(jīng)驗。首先，將以往教材“因數(shù)與倍數(shù)”的教學內(nèi)容分散編排，安排在本冊的兩個單元里教學。第二單元“因數(shù)與倍數(shù)”包括因數(shù)和倍數(shù)的意義，2、5、3的倍數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)和合數(shù)的含義等，重點是讓學生了解和掌握這些重要的概念；在第四單元“分數(shù)的意義和性質(zhì)”中，結(jié)合約分教學最大公因數(shù)的概念和求法，結(jié)合通分教學最小公倍數(shù)的概念和求法。其次，注意所涉及的數(shù)的范圍在1～100的自然數(shù)內(nèi)，避免題目中的數(shù)目過大。此外，在例題的安排、素材的選取、習題的設(shè)計等方面都采取了新的措施，使得上述兩單元中相關(guān)內(nèi)容的編排與以往的教材相比有下面幾個特點： （1）精簡教學內(nèi)容，突出基本概念教學。①不再以整除概念為基礎(chǔ)引出因數(shù)與倍數(shù)，而是在直觀的基礎(chǔ)上，通過乘法算式得出因數(shù)與倍數(shù)的概念。由于學生已經(jīng)積累了豐富的區(qū)分整除與有余數(shù)除法的知識和經(jīng)驗，對整除的含義能夠清晰的理解，不出現(xiàn)整除的定義不會對學生理解其他概念產(chǎn)生影響。因此，本套教材中不再出現(xiàn)“整除”的數(shù)學化定義，而是借助整除的模式na＝b直接引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。②“分解質(zhì)因數(shù)”和“用短除法分解質(zhì)因數(shù)”不作為正式教學內(nèi)容。在以往的教材中，“分解質(zhì)因數(shù)”及“用短除法分解質(zhì)因數(shù)”是作為求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的基礎(chǔ)知識和技能安排的，因此，“分解質(zhì)因數(shù)”一直作為必學內(nèi)容編排。而在本冊教材中，由于允許學生采用多種方法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，“分解質(zhì)因數(shù)”失去了其基礎(chǔ)知識的作用，因此不再作為正式教學內(nèi)容，而只作為一個補充知識，安排在“你知道嗎？”中介紹。 （2）增加了直觀和聯(lián)系實際。以往人們普遍認為，這部分內(nèi)容的教學過于形式化，一系列的概念引出，似乎都與現(xiàn)實生活無關(guān)；從概念到概念，似乎都難以直觀。而小學數(shù)學的大多數(shù)教學內(nèi)容的引出都注意從實際引入，注重提供直觀支柱。因此，本套教材對這部分內(nèi)容的編排，盡量聯(lián)系實際，內(nèi)容的呈現(xiàn)、展開注意貼近學生的認知特點。例如，2、5、3的倍數(shù)的特征的教學，例題和習題，都增加了聯(lián)系學生生活實際的素材和插圖；用鋪地磚的問題情境引出最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的概念等。這樣的處理便于揭示數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，有利于學生理解有關(guān)概念的現(xiàn)實意義，也有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力。 （3）增加探索性和開放性。例如，“3的倍數(shù)的特征”的得出，“做100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表”，找出最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的過程，等等，都體現(xiàn)了放手讓學生探究，鼓勵用多種方法解決問題，培養(yǎng)學生的探索意識和解決問題的能力。 （4）加強了拓展性和知識性。內(nèi)容精簡之后，出于拓展學生知識面的考慮，教材在相關(guān)教學內(nèi)容之后，利用“你知道嗎？”“生活中的數(shù)學”等欄目，安排較多的拓展性知識作為閱讀資料提供給學生。例如，介紹完全數(shù)（第14頁）、互質(zhì)數(shù)（第83頁）的概念，奇數(shù)和偶數(shù)在日常生活中的應(yīng)用，哥德巴赫猜想，以及怎樣利用分解質(zhì)因數(shù)的方法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)（第81頁）等，以豐富學生的數(shù)論知識，激發(fā)繼續(xù)探求的欲望，培養(yǎng)學生對學習數(shù)學、探索數(shù)學持久而穩(wěn)定的興趣。 綜上所述可以看出，這樣的編排使因數(shù)與倍數(shù)教學的教育價值得到擴充與提高。通過這樣的教學，不僅可以使學生很好的掌握與數(shù)論相關(guān)的最基礎(chǔ)的知識，體會數(shù)學學習的樂趣和實際價值，同時可使學生獲得邏輯思維的訓練，自主探索意識和能力的培養(yǎng)，從而逐步提高數(shù)學素養(yǎng)。 2. 改進認識分數(shù)的編排，注重溝通知識間的相互聯(lián)系，加強學生對分數(shù)意義的理解。 從本學期開始，學生將要系統(tǒng)地學習分數(shù)的意義和性質(zhì)、分數(shù)的四則運算。同整數(shù)、小數(shù)知識一樣，分數(shù)知識也是小學數(shù)學教學的重要內(nèi)容，是進一步學習數(shù)學和其他學科所必需的基礎(chǔ)知識。分數(shù)的概念比較難理解，計算起來也比較復雜。為了便于學生理解和掌握分數(shù)，本套教材仍然采用了以往教材的編排體系，把分數(shù)劃分為兩個階段教學。第一段安排在三年級上冊，借助操作直觀，使學生對分數(shù)有初步的認識，雖然也出現(xiàn)了簡單的分數(shù)大小比較和同分母分數(shù)加、減法，目的是為了幫助學生更好地理解分數(shù)的初步概念，給學生積累一些感性知識。在系統(tǒng)認識了小數(shù)和初步認識了分數(shù)的基礎(chǔ)上，本冊將引導學生由感性認識上升到理性認識，概括出分數(shù)的意義，比較完整地從分數(shù)的產(chǎn)生、分數(shù)與除法的關(guān)系等方面加深對分數(shù)意義的理解，進而學習并理解與分數(shù)有關(guān)的基本概念，掌握必要的約分、通分、分數(shù)與小數(shù)互化等技能，以及分數(shù)的加、減法計算。在具體安排上，本套教材一方面注意體現(xiàn)《標準》所提倡的教學理念，提供豐富的學習素材，在學生已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上闡述新的內(nèi)容，給學生創(chuàng)設(shè)自主探索的空間，同時，還注意采取下面幾個方面的措施： （1）加強直觀，加深學生對分數(shù)意義的理解。 在小學數(shù)學里，引進分數(shù)概念是小學生數(shù)概念的一次重要擴展。對于小學生而言，分數(shù)比較抽象，學生在實際生活中遇到分數(shù)也比較少，因此理解和掌握是比較困難的。教材的編排比以往更重視用直觀的手段幫助學生體會、理解有關(guān)知識。例如，“分數(shù)的產(chǎn)生”提供古人測量與孩子分物的兩幅直觀圖，幫助學生感悟分數(shù)是怎樣產(chǎn)生的，促進對分數(shù)意義的理解；“分數(shù)的意義”則通過直觀插圖，從兩個方面說明1/4的含義（可以表示一個物體的1/4，也可以表示一些物體的1/4），在此基礎(chǔ)上給出分數(shù)單位的概念，揭示分數(shù)表示部分與整體的關(guān)系，加深學生對分數(shù)概念的理解。 （2）對部分教學內(nèi)容作了適當?shù)恼{(diào)整或精簡。其一，分數(shù)大小比較與通分結(jié)合在一起教學。其二，將以往“約數(shù)與倍數(shù)”的部分內(nèi)容與分數(shù)的相關(guān)知識結(jié)合起來教學。即：將公因數(shù)、最大公因數(shù)與約分編為一節(jié)，同樣，將公倍數(shù)、最小公倍數(shù)與通分編為一節(jié)。這樣的調(diào)整，分散了教學的難點，充分利用學生已有知識的遷移，降低了學習的難度，有利于學生認識的螺旋上升。 （3）加強開放性，培養(yǎng)學生靈活的思維和解決問題的能力。例如，教學求兩個數(shù)的最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)，不再采用唯一的、固定的短除法分解質(zhì)因數(shù)的方法，而是引導學生采用多種方法“找”最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。教學分數(shù)化成小數(shù)的方法，改進了過去只介紹單一的一般算法的做法，還介紹了把分母不是10，100，1000，…的分數(shù)，利用分數(shù)的基本性質(zhì)改寫成分母是10，100，1000，…的分數(shù)，再改寫成小數(shù)的方法。這樣的編排體現(xiàn)了算法多樣化、尊重學生個性化的選擇，培養(yǎng)學生善于從不同的角度思考和解決問題的意識和能力。 （4）加強聯(lián)系實際，從現(xiàn)實問題情境引出數(shù)學問題，得出數(shù)學知識。如前所述，有關(guān)分數(shù)、整除的知識都比較抽象，本套教材特別注意聯(lián)系實際，從解決實際問題的角度入手探討新知識。例如，無論是公因數(shù)與最大公因數(shù)、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的引入，還是約分、通分的給出，教材都創(chuàng)設(shè)了適當?shù)默F(xiàn)實問題情境，進而在解決實際問題中，抽象出數(shù)學概念，得出數(shù)學方法，揭示數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。這樣編排既有利于學生理解公因數(shù)、最大公因數(shù)概念的現(xiàn)實意義，也有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力，還有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識和解決實際問題的能力。 3. 提供豐富的空間與圖形的教學內(nèi)容，注重動手實踐與自主探索，促進學生空間觀念的發(fā)展。 小學階段空間與圖形教學的主要目標是發(fā)展學生的空間觀念，與前幾冊一樣，本冊教材繼續(xù)把促進學生空間觀念的發(fā)展作為空間與圖形內(nèi)容編排的研究重點。在教學內(nèi)容方面安排了“圖形的變換”“長方體和正方體”兩個單元。 “圖形的變換”的內(nèi)容是在第一學段學習基礎(chǔ)上的進一步擴展和提高。在以前的學習中，學生初步感知了生活中的對稱、平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象,初步認識了軸對稱圖形,能在方格紙上畫簡單的軸對稱圖形或畫出一個簡單圖形沿水平或垂直方向平移后的圖形。本冊在此基礎(chǔ)上,讓學生進一步認識圖形的軸對稱，探索圖形成軸對稱的特征和性質(zhì)，學習在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形和畫出一個簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°后的圖形,發(fā)展空間觀念。教材的編排，首先注意利用學生已有知識引導學生探索新知識。例如，探索圖形成軸對稱的特征和性質(zhì)，先讓學生復習軸對稱圖形和畫對稱軸，再讓學生觀察軸對稱圖形的特征和畫出一個軸對稱圖形的另一半,從而使學生在已有知識的基礎(chǔ)上加深對軸對稱圖形特征的認識。其次，加強直觀教學圖形的特征。例如，圖形的旋轉(zhuǎn)的教學,讓學生觀察鐘表表針和風車旋轉(zhuǎn)的過程,認識它們是怎樣按照順時針或逆時針方向旋轉(zhuǎn)的，明確旋轉(zhuǎn)的含義，探索圖形的旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)。第三，設(shè)計大量的活動，幫助學生理解圖形的性質(zhì)和變換，發(fā)展空間觀念。不僅設(shè)計了畫一畫、剪一剪等操作活動，而且還設(shè)計了需要學生想像、猜測和推理進行的探究活動。例如，讓學生判斷某個圖案分別是由哪種方法剪出來的，這就需要學生根據(jù)圖案的特征，在頭腦中對這個圖案進行“折疊”和“剪開”，從而使學生的空間想像力和思維能力得到鍛煉的機會。 “長方體和正方體”單元，則是學生系統(tǒng)認識立體圖形特征的開始。從認識平面圖形擴展到認識立體圖形，是學生發(fā)展空間觀念的一次飛躍。長方體和正方體是最基本的立體圖形。通過教學不僅可以使學生掌握有關(guān)立體圖形方面的最基礎(chǔ)的知識，而且可以使學生對自己周圍的空間和空間中的物體形成初步的觀念，為進一步學習與發(fā)展打下基礎(chǔ)。在以往的教材中，這些部分內(nèi)容的編排往往側(cè)重于理解和掌握立體圖形的特征和表面積、體積的計算方法，而對于促進學生空間觀念的發(fā)展在學習素材和實踐操作方面都顯不夠。本套教材在編排上突出的變化是，加強動手實踐、自主探索，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，使學生得到較多的有關(guān)空間觀念的訓練機會。例如，每種圖形的特征，均采用讓學生動手實驗，自主探索得到；通過“烏鴉喝水”的故事，石頭放在盛水的杯子里的實驗等，以形象、生動的方式，為學生感知物體占有空間，理解體積概念提供豐富的感性經(jīng)驗。又如，長方體體積的計算方法，先讓學生用方木塊拼擺長方體，通過對擺法不同的長方體的相關(guān)數(shù)據(jù)的觀察、分析和歸納，自己發(fā)現(xiàn)長方體的體積與它的長、寬、高之間的內(nèi)在聯(lián)系，再總結(jié)出長方體體積的計算公式。教材編排還加強了聯(lián)系實際。例如，從現(xiàn)實生活素材抽象出長方體和正方體的幾何圖形；在介紹了容積概念后，還介紹了用排水法求不規(guī)則物體體積的方法；在練習中適當增加了解決實際問題的題目（如第32頁第6、7題）；等等。這些新的變化使以往知識容量大且比較抽象的這一單元，為學生的學習和教師的教學，都提供了更為豐富的學習素材和開放的教學空間。 4. 加強統(tǒng)計知識的教學，發(fā)展學生的統(tǒng)計觀念，逐步形成從數(shù)學的角度進行思考問題的思維習慣。 通過四年多的數(shù)學學習，在統(tǒng)計與概率方面，學生已經(jīng)掌握了一定的知識，形成了一定的能力，積累了一定的經(jīng)驗。本冊教材關(guān)于統(tǒng)計的教學主要有兩部分，其一，教學新的統(tǒng)計知識——眾數(shù)，了解眾數(shù)的含義，學會找出數(shù)據(jù)的眾數(shù)，在統(tǒng)計分析中能根據(jù)實際情況選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量來描述數(shù)據(jù)的特征；其二，教學復式折線統(tǒng)計圖，使學生更好地理解統(tǒng)計知識在解決問題中的作用，形成良好的統(tǒng)計觀念。 在教材的具體編排上，一是注意與先前學習過的統(tǒng)計知識的聯(lián)系，幫助學生理解所學的新內(nèi)容。例如，眾數(shù)的含義是通過與平均數(shù)、中位數(shù)的對比得到的；復式折線統(tǒng)計圖也是由單式折線統(tǒng)計圖引出的。這樣既有助于加深對前面所學統(tǒng)計知識的理解，也便于對新知識的領(lǐng)悟。二是注意提供豐富的現(xiàn)實生活素材，凸現(xiàn)統(tǒng)計知識和方法的價值。 本冊教材所選素材涉及到體育、氣象、消費等方面，擴大了學生處理信息的范圍，更好地體會統(tǒng)計知識和方法在實際生活中的作用，有利于發(fā)展學生的統(tǒng)計觀念，形成從數(shù)學的角度思考問題的良好習慣。 5. 有步驟地滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力和解決問題的能力。 數(shù)學學習不僅可以使學生獲得參與社會生活必不可少的知識和能力，而且還能有效地提高學生的邏輯推理能力，進而奠定發(fā)展更高素質(zhì)的基礎(chǔ)。因此，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維能力是數(shù)學教學要達到的重要目標之一。本套教材總體設(shè)想之一是：系統(tǒng)而有步驟地滲透數(shù)學思想方法，嘗試把重要的數(shù)學思想方法通過學生可以理解的簡單形式，采用生動有趣的事例呈現(xiàn)出來。通過教學使學生受到數(shù)學思想方法的熏陶，形成探索數(shù)學問題的興趣與欲望，逐步發(fā)展數(shù)學思維能力。據(jù)此，在本冊教材的“數(shù)學廣角”單元，安排了“找次品”的教學，旨在通過“找次品”滲透優(yōu)化思想，讓學生充分感受到數(shù)學與日常生活的密切聯(lián)系。優(yōu)化是一種重要的數(shù)學思想方法，運用之可有效地分析和解決問題。教材以“找次品”這一探索性操作活動為載體，讓學生通過觀察、猜測、試驗等方式感受解決問題策略的多樣性，再通過歸納、推理的方法體會運用優(yōu)化策略解決問題的有效性，感受數(shù)學的魅力，培養(yǎng)觀察、分析、推理以及解決問題的能力。 用數(shù)學解決問題能力的培養(yǎng)是義務(wù)教育階段數(shù)學課程的重要目標之一，因此解決問題教學在數(shù)學教學中有著重要的作用。它既是發(fā)展學生數(shù)學思維的過程，又是培養(yǎng)學生應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識的重要途徑。與前面幾冊教材一樣，本冊教材仍然注意將解決問題的教學融合于各部分內(nèi)容的教學中，通過各部分內(nèi)容的教學培養(yǎng)學生用數(shù)學解決問題的能力。同時在“數(shù)學廣角”單元以及數(shù)學綜合運用活動中，加強了綜合運用知識解決問題和解決問題策略多樣化的教學，使學生逐步提高數(shù)學思維能力和解決問題的能力。本冊教材設(shè)計了“粉刷圍墻”和“打電話”兩個數(shù)學綜合運用活動，讓學生通過小組合作的探究性活動，綜合運用所學的數(shù)學知識和方法（如簡單的優(yōu)化思想方法、通過畫圖的方式發(fā)現(xiàn)事物隱含的規(guī)律等），動手實踐、解決問題，體會數(shù)學在日常生活中的應(yīng)用價值，增強學生應(yīng)用數(shù)學的意識，不斷提高學生的實踐能力和解決問題的能力。 6. 情感、態(tài)度、價值觀的培養(yǎng)滲透于數(shù)學教學中，用數(shù)學的魅力和學習的收獲激發(fā)學生的學習興趣與內(nèi)在動機。 本次數(shù)學課程改革強調(diào)了對學生情感、態(tài)度和價值觀的培養(yǎng)，全面提高學生的素質(zhì)。小學高年級學生已經(jīng)具有了一定的知識和生活經(jīng)驗，對自然與社會現(xiàn)象有了一定的探求欲望，此時需要教育者進行有目的的啟發(fā)與引導。在數(shù)學教學中，就是要通過數(shù)學學習活動，使學生形成豐富的情感、積極的態(tài)度和正確的價值觀，這同樣是學生學習、生存和發(fā)展的重要基礎(chǔ)。本冊教材不僅內(nèi)容涉及數(shù)學教學內(nèi)容的各個領(lǐng)域，為學生探索奇妙的數(shù)學世界提供了豐富素材，而且注意結(jié)合教學內(nèi)容安排了許多體現(xiàn)數(shù)學文化的閱讀材料、數(shù)學史實等，使學生的數(shù)學學習活動豐富多彩、充滿魅力。這些都有助于學生初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系，了解數(shù)學的價值，激發(fā)學生學習數(shù)學的欲望。 （1）提供豐富的培養(yǎng)學習數(shù)學興趣愛好的素材。 考慮到學生年齡的增長、視野的擴大等因素，本套教材注意選擇知識內(nèi)容深刻、內(nèi)涵更豐富的教學素材，使學生在學習數(shù)學的同時，受到情感、態(tài)度、價值觀的熏陶。例如，“圖形的變換”單元,呈現(xiàn)了大量現(xiàn)實生活中利用對稱、平移和旋轉(zhuǎn)設(shè)計出的美麗的事物和圖案；數(shù)學綜合應(yīng)用“打電話”、數(shù)學廣角“找次品”等，都蘊涵了優(yōu)化的思想方法，這些簡潔、巧妙的解決問題策略體現(xiàn)的是數(shù)學方法。“數(shù)學在使人賞心悅目和提供審美價值方面，至少可與其他任何一種文化門類媲美”。（M. 克萊因）這些都有利于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，形成穩(wěn)定的探索數(shù)學的愛好。 （2）注意反映數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系以及數(shù)學的文化價值。 與前幾冊教材一樣，本冊教材仍然注意采用閱讀材料的形式，結(jié)合教學內(nèi)容編排一些有關(guān)的數(shù)學史料，豐富學生對數(shù)學發(fā)展的整體認識，培養(yǎng)學生探索數(shù)學、學習數(shù)學的興趣與欲望。如安排了 14個“你知道嗎？”6個“生活中的數(shù)學”。介紹了現(xiàn)實生活中數(shù)學知識的應(yīng)用、數(shù)學家的故事等等。這些內(nèi)容不僅可以使學生對數(shù)學本身產(chǎn)生濃厚的興趣，激勵他們擴大知識面和進一步探索研究的欲望，而且對學生的情感、態(tài)度、價值觀的形成與發(fā)展也能起到潛移默化的作用。 （3）通過自主探索的活動，讓學生獲得學習成功的體驗，增進學好數(shù)學的信心。 結(jié)合學生的年齡特點和教學內(nèi)容，本冊教材設(shè)計了很多需要學生自主探索的活動。例如，教學質(zhì)數(shù)與合數(shù)概念，教材設(shè)計了讓學生自主探索1～20各數(shù)的因數(shù)個數(shù)有什么規(guī)律的活動，從而為理解質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念獲得豐富的感性經(jīng)驗；再如，找出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，讓學生自主探索，體驗找質(zhì)數(shù)的一般方法“篩法”。長方體體積計算公式的推出，讓學生小組合作探索出長方體中所含體積單位的數(shù)量與它的長、寬、高的關(guān)系，再總結(jié)出長方體體積的計算公式。求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的教學，教材展示了學生自主探索出多種方法，具有較強的自主性和開放性，等等。讓學生有更多的機會應(yīng)用數(shù)學知識，進行自主探索的實踐，并通過這些活動獲得自己成功、能力增強等良好體驗，從而逐步增強學好數(shù)學、會用數(shù)學的信心。 四、課時安排 根據(jù)《義務(wù)教育階段國家數(shù)學課程標準（征求意見稿）》中的“各學段課程內(nèi)容參考教學時間一覽表”，實驗教材的編者為五年級下學期數(shù)學教學安排了60課時的教學內(nèi)容。各部分教學內(nèi)容教學課時大致安排如下，教師教學時可以根據(jù)本班具體情況適當靈活掌握。 一、圖形的變換（4課時） 二、因數(shù)與倍數(shù)（6課時） 1因數(shù)和倍數(shù)2課時左右 2 2、5、3的倍數(shù)的特征...............................................3課時左右 3質(zhì)數(shù)和合數(shù)...............................................1課時左右 三、長方體和正方體（12課時） 1長方體和正方體的認識...............................................2課時左右 2長方體和正方體的表面積...............................................2課時左右 3長方體和正方體的體積...............................................7課時左右 整理和復習1課時 粉刷圍墻1課時 四、分數(shù)的意義和性質(zhì)（20課時） 1分數(shù)的意義...............................................4課時左右 2真分數(shù)和假分數(shù)...............................................3課時左右 3分數(shù)的基本性質(zhì)...............................................2課時左右 4約分...............................................4課時左右 5通分...............................................4課時左右 6分數(shù)與小數(shù)的互化...............................................2課時左右 整理和復習1課時 五、分數(shù)的加法和減法 （7課時） 1同分母分數(shù)加、減法...............................................2課時左右 2異分母分數(shù)加、減法...............................................3課時左右 3分數(shù)加減混合運算...............................................2課時左右 六、統(tǒng)計（3課時） 打電話...............................................1課時 七、數(shù)學廣角（2課時） 八、總復習（4課時） 一、圖形的變換 （一）教學目標 1. 使學生進一步認識圖形的軸對稱，探索圖形成軸對稱的特征和性質(zhì)，能在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形。 2. 進一步認識圖形的旋轉(zhuǎn),探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)，能在方格紙上把簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°。 3. 初步學會運用對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的方法在方格紙上設(shè)計圖案,進一步增強空間觀念。 4. 讓學生在上述活動中，欣賞圖形變換所創(chuàng)造出的美,進一步感受對稱、平移和旋轉(zhuǎn)在生活中的應(yīng)用，體會數(shù)學的價值。 （二）教材說明和教學建議 教材說明 學生在二年級已經(jīng)初步感知了生活中的對稱、平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象,初步認識了軸對稱圖形,能在方格紙上畫簡單的軸對稱圖形,也能在方格紙上畫出一個簡單圖形沿水平或垂直方向平移后的圖形。在此基礎(chǔ)上,本單元讓學生進一步認識圖形的軸對稱，探索圖形成軸對稱的特征和性質(zhì)，學習在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形和畫出一個簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°后的圖形,發(fā)展空間觀念。結(jié)合本單元的學習, 還安排了數(shù)學游戲“設(shè)計鑲嵌圖案”。 本單元教材在編排上有以下幾個特點。 1. 重視學生已有的知識基礎(chǔ)，探索兩個圖形成軸對稱的特征和性質(zhì)。 在二年級學生已經(jīng)認識了日常生活中的對稱現(xiàn)象，有了軸對稱圖形的概念，并能畫出一個軸對稱圖形的對稱軸和它的另一半,這里是進一步認識兩個圖形成軸對稱的概念，探索圖形成軸對稱的特征和性質(zhì)，并學習在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形。本單元教材先設(shè)計了畫對稱軸，觀察軸對稱圖形的特征和畫出一個軸對稱圖形的另一半的活動,加深對軸對稱圖形特征的認識，從而讓學生在已有的知識基礎(chǔ)上探索新知識。 2. 注重聯(lián)系生活實際，讓學生在具體情境中認識圖形的旋轉(zhuǎn)。 本單元聯(lián)系具體情境,讓學生觀察鐘表的表針和風車旋轉(zhuǎn)的過程,分別認識這些實物怎樣按照順時針和逆時針方向旋轉(zhuǎn)，明確旋轉(zhuǎn)的含義，探索圖形的旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì),再讓學生學會在方格紙上把簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°。 3. 通過大量的活動，幫助學生理解圖形的對稱和旋轉(zhuǎn)變換，增強空間觀念。 本單元不僅設(shè)計了看一看、畫一畫、剪一剪等操作活動，而且注意設(shè)計需要學生進行想像、猜測和推理進行探究的活動，培養(yǎng)學生的空間想像力和思維能力。例如，讓學生判斷幾個圖案分別是由哪種方法剪出來的。這就要求學生要根據(jù)圖案的特征，不斷在頭腦中對這個圖案進行“折疊”，并將最后的結(jié)果與下面的剪法對應(yīng)起來。而且還讓學生思考“還有什么剪法”，從而使學生的空間想像力和思維能力得到充分的鍛煉。 教學建議 1. 注意讓學生真正地、充分地進行活動和探究。 由于本單元知識是在學生已有的關(guān)于對稱和旋轉(zhuǎn)的知識基礎(chǔ)上，并結(jié)合學生熟悉的生活情境進行安排的，學生完全可以通過觀察、想像、分析和推理等過程，獨立探究出來。因此，教師要切實組織好學生的課堂活動，為學生創(chuàng)造進行探究的時間和空間。不要讓教師的演示或少數(shù)學生的活動和回答代替每一位學生的親自動手、親自體驗和獨立思考。這樣學生的空間想像力和思維能力才能得以鍛煉，空間觀念才能得到發(fā)展。 2. 本單元內(nèi)容可以用4課時進行教學。 （三）具體內(nèi)容的說明和教學建議 （第2～11頁） 1. 主題圖。 教科書第2頁，呈現(xiàn)了現(xiàn)實生活中利用對稱、平移和旋轉(zhuǎn)設(shè)計出的許多美麗的事物和圖案，引出本單元內(nèi)容的學習。目的是從現(xiàn)實生活的事物引入，讓學生在欣賞圖形變換所創(chuàng)造出的美好事物的過程中,進一步感受對稱、平移和旋轉(zhuǎn)在生活中的應(yīng)用，體會數(shù)學的價值。 教學時，教師可以先讓學生觀察，說一說這些圖形有什么特征。學生可能會根據(jù)圖形的變換把這些圖形分成幾類，教師可從此處引出本單元內(nèi)容的學習。 到本單元內(nèi)容學習結(jié)束后，還可以再讓學生觀察這幅主題圖，用所學的圖形變換的知識對這些圖形的設(shè)計進行分析，體會所學知識的作用和價值。 2. 例1上面的內(nèi)容及例1。 教材通過例1上面的內(nèi)容，讓學生畫對稱軸的活動，幫助學生復習已有的關(guān)于軸對稱圖形的知識，在此基礎(chǔ)上教學例1。在“例1”中，首先通過看一看、數(shù)一數(shù)的活動，使學生由觀察“松樹”這個軸對稱圖形，進一步觀察兩個“小草”圖形成軸對稱,從而引出兩個圖形成軸對稱的概念，并引導學生從整體上概括出軸對稱的特征。接下來，再引導學生觀察軸對稱圖形（松樹）及成軸對稱的兩個圖形（小草）的對應(yīng)點與對稱軸之間有什么關(guān)系，使學生探索、發(fā)現(xiàn)圖形成軸對稱的性質(zhì)，并為例2教學“在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形”做準備。 教學時，可以分三步進行。 （1）復習舊知。 讓學生獨立畫出例1上面圖形的對稱軸，幫助學生回憶軸對稱圖形的知識，以便在此基礎(chǔ)上教學例1。 （2）進一步認識圖形的軸對稱。 先讓學生觀察圖中的“松樹”和“小草”圖案有什么特征。根據(jù)已有的知識，學生很容易判斷出“松樹”圖案是軸對稱圖形，圖中的虛線是它的對稱軸（教師也可以先不出示這條虛線，讓學生畫出它的對稱軸。）進一步學生會發(fā)現(xiàn)，如果沿虛線折疊，兩個“小草”圖案，也將完全重合。這時教師可以適時的引出兩個圖形成軸對稱的概念，并引導學生從整體上概括出軸對稱的特征。 （3）探索圖形成軸對稱的基本性質(zhì)?？梢砸龑W生分別觀察“小樹”這個軸對稱圖形和成軸對稱的兩個“小草”圖案的各對應(yīng)點（A 與A′、B 與B′、C與C′）與對稱軸之間有什么關(guān)系，使學生探索、發(fā)現(xiàn)圖形成軸對稱的基本性質(zhì)。 這一部分內(nèi)容教學需要特殊注意的是，我們不要求學生說出準確的數(shù)學語言，只要學生能用自己的語言描述出他發(fā)現(xiàn)的特征和性質(zhì)就可以了。 例如，兩個圖形成軸對稱的數(shù)學概念是“如果平面到其自身的一一變換的每對對應(yīng)點A、A′，都垂直于同一直線l,且被直線l 平分，則這種變換叫做關(guān)于直線l的軸對稱。直線l 叫做對稱軸，對應(yīng)點A 和A′叫做關(guān)于軸l的對稱點，在直線反射下的對應(yīng)圖形叫做關(guān)于軸l 的對稱圖形。”（馬忠林，《幾何學》，吉林人民出版社，1984年4月第1版。）在初中數(shù)學中，概括成“把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點。”（《義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學八年級上冊》，人民教育出版社，2004年12月第1版。）在小學階段，我們不要求學生說得這么準確，只要學生能用自己的語言把“折疊”“重合”這些基本特征概括出來就可以。 再如，圖形成軸對稱的基本性質(zhì)，在初中數(shù)學中概括成“如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線?！保ā读x務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學八年級上冊》，人民教育出版社，2004年12月第1版。）我們不要求學生概括出這樣的結(jié)論，只要學生能像書上的學生那樣直觀描述就可以了，使學生知道“對應(yīng)點到對稱軸的距離相等”。 3. 例2及“做一做”。 （1）例2。 教材通過讓學生畫小房子的另一半的活動，借助學生已經(jīng)掌握的關(guān)于軸對稱的知識，使學生在能夠畫出軸對稱圖形另一半（屋頂、房體及大門）的基礎(chǔ)上，進一步能在方格紙上畫出一個圖形（窗戶）的軸對稱圖形。教材中的小精靈提問“怎樣畫得又好又快？”就是提示學生在動手之前，先思考好畫的步驟和方法。 教學時，完全可以放手讓學生獨立完成。如果學生有困難，教師可以提示學生只要找到左邊圖形的幾個關(guān)鍵點的對稱點，再連線就可以了；可以利用已經(jīng)掌握的圖形成軸對稱的特征和性質(zhì)方面的知識來找到關(guān)鍵點的對稱點。 （2）做一做。 教材讓學生判斷把一張紙連續(xù)對折三次，畫上一個圖形，剪出的是什么圖案。學生根據(jù)書上的折法，在頭腦中將彩紙展開，對這個圖形先做一次軸對稱變換，再對得到的圖形做一次軸對稱變換，得出最后的結(jié)果。在這個活動中，要讓學生進行空間想像，進一步體會軸對稱變換的特點。如果學生想像對折四次后剪出的圖案有困難，教師可以讓學生按書上的方法實際折一折、剪一剪，幫助學生進行想像。 4. 例3及相應(yīng)的“做一做”。 （1）教材先通過讓學生觀察鐘表的表針和風車旋轉(zhuǎn)的過程,分別認識這些實物怎樣按照順時針和逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，明確旋轉(zhuǎn)的含義。再通過小精靈提問“風車旋轉(zhuǎn)后，每個三角形有什么變化？”引導學生從圖形到線段再到點的角度，來觀察、探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)，并為例4教學“在方格紙上把一個圖形按順時針或逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°”做準備。 教學時，可以分兩步進行。 ①明確旋轉(zhuǎn)的含義。 由于學生已經(jīng)對生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象有所認識，可以先讓學生觀察鐘表的指針，獨立思考如何描述出“指針從‘12’到‘1’是怎樣旋轉(zhuǎn)的”。然后再通過交流，使學生弄清順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針旋轉(zhuǎn)的含義，明確要想表述清楚指針的旋轉(zhuǎn)，一定要說清“指針是繞哪個點旋轉(zhuǎn)”“是向什么方向旋轉(zhuǎn)”“轉(zhuǎn)動了多少度”這幾點。 ②探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)。 可以先讓學生說一說，在風的吹動下，風車是如何旋轉(zhuǎn)的。學生利用剛剛掌握的旋轉(zhuǎn)的含義，可以說清楚風車發(fā)生了怎樣的變換。 再讓學生思考小精靈提出的問題“風車旋轉(zhuǎn)后，每個三角形有什么變化”，探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)。學生會發(fā)現(xiàn)風車上的每個三角形都繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)了90°；旋轉(zhuǎn)后的三角形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化，只是位置變了。教師還可以引導學生進一步觀察，學生可能會發(fā)現(xiàn)每個三角形的邊都繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)了90°；每個頂點都繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)了90°；對應(yīng)點到O點的距離都相等；對應(yīng)點與O點所連線段的夾角都是90°等。必要時，可借助學具操作幫助學生理解。 這一部分內(nèi)容的教學與例1類似，不要求學生用準確的數(shù)學語言進行總結(jié)和概括。例如，旋轉(zhuǎn)的概念是“如果平面到其自身的一一變換，使任意一對對應(yīng)點A 、A′與平面上一個定點O距離相等，∠AOA′等于指定的有向角α，而O和自身對應(yīng)，則這樣的變換叫做關(guān)于點O的旋轉(zhuǎn)。定點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，定角α叫做旋轉(zhuǎn)角，相同的指定方向叫做旋轉(zhuǎn)方向。”（馬忠林，《幾何學》，吉林人民出版社，1984年4月第1版。）在初中數(shù)學中概括成“把一個圖形繞著某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)。點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cP′ ，那么這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點。”（《義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學九年級上冊》，人民教育出版社。）在小學階段，我們不要求學生這樣說，只要學生能概括出“繞一個點旋轉(zhuǎn)”“向什么方向旋轉(zhuǎn)”“轉(zhuǎn)動多少度”這幾點就可以了。像“旋轉(zhuǎn)中心”“旋轉(zhuǎn)角”這些名詞也不必要求學生掌握。 （2）第6頁“做一做”第1題。 教材呈現(xiàn)了幾個圖案，讓學生判斷分別是由哪一個圖形旋轉(zhuǎn)而成的。在判斷的過程中，要讓學生說清“是哪個圖形繞哪個點旋轉(zhuǎn)”“是向什么方向旋轉(zhuǎn)”。并讓學生感受數(shù)學的美，進一步理解圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，體會旋轉(zhuǎn)變換的特點。 5. 例4及相應(yīng)的“做一做”。 （1）例4。 教材通過讓學生畫一畫的活動，借助學生已經(jīng)掌握的圖形旋轉(zhuǎn)的知識，使學生學會在方格紙上把一個圖形按順時針或逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°。 教學時，可以讓學生小組合作完成。如果學生有困難，教師可以提示學生只要找到三角形AOB的幾個頂點的對應(yīng)點，再連線就可以了；在確定對應(yīng)點的位置的時候，可以利用已經(jīng)掌握的圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)方面的知識。如“對應(yīng)點與O點所連線段的夾角都是90°；對應(yīng)點到O點的距離都相等”等，再借助方格紙、三角板等，來確定頂點的對應(yīng)點的位置。無論學生用哪種方法，只要能按要求畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，都是可以的。必要時，可借助學具操作幫助學生理解。 （2）第6頁“做一做”第2題。 教材給出一個基本圖形和旋轉(zhuǎn)中心O，讓學生利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計一朵小花。這時，學生已經(jīng)掌握了在方格紙上把一個圖形旋轉(zhuǎn)90°的方法，雖然題中沒有給出旋轉(zhuǎn)的角度和方向，學生完全可以根據(jù)所設(shè)計圖案的需要自行確定。 教學時，可以放手讓學生設(shè)計，再進行交流。在設(shè)計圖案的過程中，要讓學生在動手實踐中，進一步理解旋轉(zhuǎn)的特點和性質(zhì)，體會旋轉(zhuǎn)所創(chuàng)造的美。 6. 欣賞設(shè)計。 教材先讓學生觀察從主題中抽取出來的兩幅美麗圖案,感受圖形變換創(chuàng)造的美,體會平移、旋轉(zhuǎn)在圖案設(shè)計中的應(yīng)用。接著讓學生應(yīng)用對稱、平移或旋轉(zhuǎn)的方法設(shè)計圖案并進行交流,使學生進一步感受數(shù)學美和數(shù)學方法的價值。 這是一個實踐與綜合應(yīng)用數(shù)學知識與方法的活動，教學時可以分兩步完成。 （1）指導學生在欣賞美麗的圖案的同時,分析對稱、平移或旋轉(zhuǎn)在其中的應(yīng)用,從而加深對圖形變換的基本特征和方法的理解,為接下來的自主設(shè)計做準備。 （2）通過前面的學習，學生已經(jīng)掌握了在方格紙上將圖形平移、對稱和旋轉(zhuǎn)的方法。此時，教師應(yīng)鼓勵獨立完成設(shè)計圖案的任務(wù)，再在全班展示交流。學生可能分別運用平移、對稱和旋轉(zhuǎn)變換設(shè)計圖案；也可能綜合運用不同方法設(shè)計圖案。教師不必作統(tǒng)一要求，同時注意對學生的設(shè)計要多給予肯定和贊賞。 7. 有關(guān)練習一中一些習題的說明和教學建議。 第1題，讓學生利用軸對稱設(shè)計美麗的圖案。這時，學生已經(jīng)掌握了畫一個簡單圖形的軸對稱圖形。 作簡單圖形的軸對稱圖形的方法，可以放手讓學生設(shè)計，再進行交流。在設(shè)計圖案的過程中，要讓學生在動手實踐中進一步理解圖形成軸對稱的性質(zhì)，體會軸對稱變換的特點。 第2題，教科書呈現(xiàn)了幾個剪好的圖案，讓學生判斷分別是由哪種方法剪出來的，進一步培養(yǎng)學生的空間想像力和思維能力。 學生要根據(jù)圖案的特征，不斷在頭腦中對這個圖案進行“折疊”“重合”，再將最后的結(jié)果與下面的剪法對應(yīng)起來，而且還讓學生思考“還有什么剪法”。這個活動比“判斷兩個圖形是不是成軸對稱”所要求的想像、猜測和推理等思維活動更多，在這個活動中學生的空間想像力和思維能力能夠得以鍛煉，空間觀念會得到發(fā)展。 如果學生有困難，教師可以調(diào)整題目的設(shè)計，反過來，讓學生根據(jù)剪法，選擇剪出的結(jié)果。學生根據(jù)每一種剪法，在頭腦中將彩紙展開，對“半棵小芽”這個圖案連續(xù)做軸對稱變換，得出結(jié)果，再與上面剪出的圖案對照。如果學生還有困難，教師可以讓學生按書上的方法實際折一折、剪一剪，再幫助學生進行想像。 第3題，是讓學生綜合運用所學的有關(guān)對稱、平移和旋轉(zhuǎn)變換的知識進行判斷。注意讓學生感受數(shù)學的美，體會圖形變換在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。 第4題，可仿照第6頁“做一做”第2題進行教學。 第5題，可仿照第4頁的“做一做”和第2題進行教學。 第6題，讓學生通過實驗發(fā)現(xiàn)另一類圖形“旋轉(zhuǎn)對稱圖形”的特點。這些圖形繞它們的中心旋轉(zhuǎn)一定的角度，還與原來圖形重合。這里不必讓學生了解“旋轉(zhuǎn)對稱圖形”這個概念，只要學生能用自己的語言描述出圖形的這一特征就可以了。在教學時，可以先讓學生畫出每個圖形的兩條對稱軸，確定中心O，再讓學生想像這個圖形在旋轉(zhuǎn)過程中會出現(xiàn)什么現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)這些“旋轉(zhuǎn)對稱圖形”的特點。如果學生有困難，教師可以通過操作幫助學生直觀的看到這些現(xiàn)象?？梢允孪葹閷W生準備一張底卡（印有這些圖形的硬紙卡）和這些圖形卡片，讓學生畫或折出兩條對稱軸后確定這些圖形的中心O，再用大頭針穿過圖形卡片和底卡上相應(yīng)圖形的中心O，再進行旋轉(zhuǎn)。 8. 數(shù)學游戲：設(shè)計鑲嵌圖案。 四年級學生初步了解了圖形的密鋪（鑲嵌）現(xiàn)象，本單元在此基礎(chǔ)上，通過數(shù)學游戲拓展鑲嵌圖形的范圍，讓學生用圖形變換設(shè)計鑲嵌圖案，進一步感受圖形變換帶來的美感以及在生活中的應(yīng)用。 本活動可放手讓學生獨立設(shè)計，再進行交流。分析交流豐富多彩的鑲嵌圖案時，不管運用了什么變換，其本質(zhì)都是把可鑲嵌的基本幾何圖形進行分割后再經(jīng)過圖形變換拼組而成的鑲嵌圖形。 教師小結(jié)時對科學性問題要糾正，同時以表揚為主。 二、因數(shù)與倍數(shù) （一）教學目標 1. 使學生掌握因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，知道有關(guān)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。 2. 使學生通過自主探索，掌握2、5、3的倍數(shù)的特征。 3. 逐步培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力。 （二）教材說明和教學建議 教材說明 通過四年多的數(shù)學學習，學生已經(jīng)掌握了大量的整數(shù)知識（包括整數(shù)的認識、整數(shù)四則運算），本單元讓學生在前面所學的整數(shù)知識基礎(chǔ)上，進一步探索整數(shù)的性質(zhì)。本單元涉及到的因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)以及第四單元中的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)都屬于初等數(shù)論的基本內(nèi)容。數(shù)論是一個歷史悠久的數(shù)學分支，它是研究整數(shù)的性質(zhì)的一門學問，以嚴格、簡潔、抽象著稱。數(shù)學一直被認為是“科學的皇后”，而數(shù)論則更被譽為“數(shù)學的皇后”，可見數(shù)論在數(shù)學中的地位。本單元的知識作為數(shù)論知識的初步，一直是小學數(shù)學教材中的重要內(nèi)容。通過這部分內(nèi)容的學習，可以使學生獲得一些有關(guān)整數(shù)的知識，另一方面，有助于發(fā)展他們的抽象思維。 在數(shù)論中，數(shù)的整除性理論又是最為基本的理論，本單元的所有概念都是建立在數(shù)的整除性的基礎(chǔ)之上。對于任意整數(shù)a、b，都存在整數(shù)n、r，使b＝na＋r（其中r＜a），當r＝0時，我們就說b能被a整除（或a能整除b），此時，b＝na。其他的一些概念，如因數(shù)、倍數(shù)等，都是以此為基礎(chǔ)的。 在以往的數(shù)學教材中，也一直把“數(shù)的整除”概念編排在這一單元的起始位置，再把因數(shù)（以往的教材中稱為約數(shù)），倍數(shù)，2、5、3的倍數(shù)的特征（以往的教材稱為能被2、5、3整除的數(shù)的特征），質(zhì)數(shù)，合數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)，最大公因數(shù)（以往的教材中稱為最大公約數(shù)），最小公倍數(shù)等內(nèi)容共同編排在后面，合為一個單元。這樣編排，雖然突顯了以上這些概念的緊密邏輯關(guān)系，但也形成了同一單元內(nèi)概念多而集中、抽象程度過高的現(xiàn)象，學生在學習時經(jīng)常出現(xiàn)概念混淆、理解困難的問題。因此，與以往教材相比，本套實驗教材在編寫時，對這部分內(nèi)容進行了以下幾方面的調(diào)整。 1. 我們在本單元研究的都是整除現(xiàn)象，因此，可以說整除概念是貫穿這部分教材的一條主線。但“整除”這一詞匯是否必須出現(xiàn)呢？讓學生大量敘述“×能被×整除”“×能整除×”是否必要？簽于學生在前面已經(jīng)具備了大量的區(qū)分整除與有余數(shù)除法的知識基礎(chǔ)，對整除的含義已經(jīng)有了比較清楚的認識，不出現(xiàn)整除的定義并不會對學生理解其他概念產(chǎn)生任何影響。因此，本套教材中刪去了“整除”的數(shù)學化定義，而是借助整除的模式na＝b直接引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。 2. 在以往的教材中，由于求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)時，采用的方法是唯一的、固定的，也就是用短除法分解質(zhì)因數(shù)的方法。因此，作為求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的必要基礎(chǔ)，“分解質(zhì)因數(shù)”一直作為必學內(nèi)容編排。而在本冊教材中，由于允許學生采用多樣的方法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)也失去了其不可或缺的作用，同時，也是為了減少這一單元的理論概念，教材不再把它作為正式教學內(nèi)容，而是作為一個補充知識，安排在“你知道嗎？”中進行介紹。 3. 公因數(shù)、最大公因數(shù)和公倍數(shù)、最小公倍數(shù)概念的建立是以因數(shù)、倍數(shù)的概念為基礎(chǔ)的，也是為后面學習約分（需要盡快找出分子、分母的公因數(shù)）、通分（需要盡快找出兩個分數(shù)分母的公倍數(shù)）做準備的，在整個知識鏈中起著承上啟下的作用。這兩個內(nèi)容可以集中編排在本單元，也可