高考數學（四海八荒易錯集）專題02 不等式與線性規(guī)劃 文

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專題02 不等式與線性規(guī)劃1. 【2016高考新課標1卷】若,則( )（A） （B） （C） （D）【答案】C2.【2016高考天津理數】設變量x，y滿足約束條件則目標函數的最小值為（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域為一個三角形ABC及其內部，其中，直線過點B時取最小值6，選B.3.【2016高考山東理數】若變量x，y滿足則的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點的三角形區(qū)域,表示點（x,y）到原點距離的平方,最大值必在頂點處取到,經驗證最大值為,故選C.4.【2016高考浙江理數】在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影由區(qū)域 中的點在直線x+y2=0上的投影構成的線段記為AB，則AB=（ ）A2 B4 C3 D【答案】C5.【2016年高考北京理數】若，滿足，則的最大值為（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】作出如圖可行域，則當經過點時，取最大值，而，所求最大值為4，故選C. 6.【2016年高考四川理數】設p：實數x，y滿足，q：實數x，y滿足 則p是q的( )（A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】畫出可行域（如圖所示），可知命題中不等式組表示的平面區(qū)域在命題中不等式表示的圓盤內，故選A.7.【2016高考新課標3理數】若滿足約束條件 則的最大值為_.【答案】【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.由圖知，當直線經過點時，z取得最大值.由 得 ，即，則8.【2016高考新課標1卷】某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料生產一件產品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時生產一件產品A的利潤為2100元,生產一件產品B的利潤為900元該企業(yè)現有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為 元【答案】【解析】設生產產品、產品分別為、件,利潤之和為元,那么目標函數.二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.將變形,得,平行直線,當直線經過點時, 取得最大值.解方程組,得的坐標.所以當,時,.故生產產品、產品的利潤之和的最大值為元.9.【2016高考江蘇卷】 已知實數滿足 ，則的取值范圍是 .【答案】【解析】由圖知原點到直線距離平方為最小值，為，原點到點距離平方為最大值，為，因此取值范圍為易錯起源1、不等式的解法例1、(1)已知函數f(x)x2axb (a，bR)的值域為0，)，若關于x的不等式f(x)c的解集為(m，m6)，則實數c的值為_(2)已知一元二次不等式f(x)0的解集為()Ax|xlg2Bx|1xlg2Dx|xlg2答案(1)9(2)D【變式探究】(1)關于x的不等式x22ax8a20)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a_.(2)不等式24的解集為_答案(1)(2)(1,2)解析(1)由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集為(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.(2)2422，x2x2，即x2x20，解得1x0(a0)，再求相應一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據相應二次函數圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集2簡單分式不等式的解法(1)0(0(0，n0，b0)對稱，則的最小值為_答案(1)(2)16解析(1)正數a，b滿足ab1，222，當且僅當ab時取等號，的最大值為.(2)圓(x2)2(y2)29的圓心坐標為(2,2)，由已知得直線axby20必經過圓心(2,2)，即ab1.所以()(ab)1010216(當且僅當，即a，b時等號成立)，所以的最小值為16.【名師點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：(1)如果x0，y0，xyp(定值)，當xy時，xy有最小值2(簡記為：積定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，xys(定值)，當xy時，xy有最大值s2(簡記為：和定，積有最大值)易錯起源3、簡單的線性規(guī)劃問題例3、(1)已知實數x，y滿足約束條件則zx2y的最大值與最小值之和為()A2B14C6D2(2)若變量x， y滿足約束條件且目標函數zkxy當且僅當時取得最小值，則實數k的取值范圍是_答案(1)A(2)解析(1)根據x，y的約束條件畫出可行域，如圖陰影部分所示，其中A，B(6,0)，C(0,4)由zx2y可知，當直線yx過點A時，z取最小值，即zmin210；當直線yx過點C時，z取最大值，即zmax0248，zminzmax2.故選A.(2)由題意知不等式組所表示的可行域為如圖所示的ABC及其內部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)將目標函數變形得ykxz，當z取得最小值時，直線的縱截距最小由于直線當且僅當經過點(3,1)時縱截距最小，結合動直線ykxz繞定點A旋轉進行分析，知kb，則下列不等式中恒成立的是()AlnalnbB.abDa2b22ab答案D解析只有當ab0時A成立；只有當a，b同號時B成立；只有當a0時C成立；因為ab，所以D恒成立，故選D.2若函數f(x)則“0x1”是“f(x)0時，由log3x1可得x3，當x0時，由()x1可得x0，不等式f(x)1的解集為(，03，)8要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_元答案1609已知x0，y0，若m22m恒成立，則實數m的取值范圍是_答案(4,2)解析由題意可得m22m應小于的最小值，所以由基本不等式可得28，所以m22m84m2.10定義運算“”：xy(x，yR，xy0)，當x0，y0時，xy(2y)x的最小值為_答案解析由題意，得xy(2y)x，當且僅當xy時取等號11設點P(x，y)滿足條件點Q(a，b) (a0，b0)滿足1恒成立，其中O是坐標原點，則Q點的軌跡所圍成圖形的面積是_答案解析1，axby1，點P(x，y)滿足條件的區(qū)域，如圖陰影部分所示，1，即axby1，且點Q(a，b)滿足1恒成立，只需點P(x，y)在可行域內的交點處：A(1,0)，B(0,2)，axby1成立即可，即它表示一個長為1寬為的矩形，其面積為，故答案為.12設0a0，BxR|2x23(1a)x6a0，DAB，求集合D.(用區(qū)間表示)解令g(x)2x23(1a)x6a，其對稱軸方程為x(1a)，9(1a)248a9a230a93(3a1)(a3)當00，g(0)6a0，方程g(x)0的兩個根分別為0x1x2，DAB；當a1時，0恒成立，所以DAB(0，)綜上所述，當0a時，D；當a1時，D(0，)13運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米(按交通法規(guī)限制50x100)(單位：千米/小時)假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油(2)升，司機的工資是每小時14元(1)求這次行車總費用y關于x的表達式；(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值14提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當20x200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(1)當0x200時，求函數v(x)的表達式；(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時)f(x)xv(x)可以達到最大，并求出最大值 (精確到1輛/小時)解(1)由題意：當0x20時，v(x)60；當20x200時，設v(x)axb，顯然v(x)axb在20,200上是減函數，由已知得解得故函數v(x)的表達式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當0x20時，f(x)為增函數，故當x20時，其最大值為60201200；當20x200時，f(x)x(200x)2，當且僅當x200x，即x100時，等號成立，所以，當x100時，f(x)在區(qū)間20,200上取得最大值.綜上，當x100時，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3333，即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約3 333輛/小時