高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題10_4 圓錐曲線的綜合應(yīng)用試題 文（含解析）

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專題10.4 圓錐曲線的綜合應(yīng)用試題 文 【三年高考】 1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P(x，y)不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為；當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身，現(xiàn)有下列命題： ?若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A. ?單元圓上的“伴隨點(diǎn)”還在單位圓上. ?若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則他們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對(duì)稱 ④若三點(diǎn)在同一條直線上，則他們的“伴隨點(diǎn)”一定共線. 其中的真命題是 . 【答案】②③ 線分別為與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以②正確；③令單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為其伴隨點(diǎn)為仍在單位圓上，故③正確；對(duì)于④，直線上取點(diǎn)后得其伴隨點(diǎn)消參后軌跡是圓，故④錯(cuò)誤.所以正確的為序號(hào)為②③. 2．【2016高考山東文數(shù)】已知橢圓C:（a>b>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2. （I）求橢圓C的方程； (Ⅱ)過動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長(zhǎng)線QM交C于點(diǎn)B. (i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k，證明為定值. (ii)求直線AB的斜率的最小值. (Ⅱ)(i)設(shè)，由，可得 所以 直線PM的斜率 ，直線QM的斜率.此時(shí)，所以為定值. (ii)設(shè)，直線PA的方程為，直線QB的方程為.聯(lián)立 ，整理得.由可得 ，所以，同理.所以， ，所以 由，可知，所以 ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.此時(shí)，即，符號(hào)題意.所以直線AB 的斜率的最小值為 . 3．【2016高考四川文科】已知橢圓E：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上. (Ⅰ)求橢圓E的方程； (Ⅱ)設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：． （II）設(shè)直線l的方程為， ，由方程組 得，① 方程①的判別式為，由，即，解得.由①得.所以M點(diǎn)坐標(biāo)為，直線OM方程為，由方程組得.所以.又.所以. 4．【2016高考上海文科】有一塊正方形菜地,所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點(diǎn)或河邊運(yùn)走。于是，菜地分為兩個(gè)區(qū)域和，其中中的蔬菜運(yùn)到河邊較近，中的蔬菜運(yùn)到點(diǎn)較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點(diǎn)到河邊與到點(diǎn)的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0），如圖 （1） 求菜地內(nèi)的分界線的方程 （2） 菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計(jì)出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗(yàn)值”為。設(shè)是上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算以為一邊、另一邊過點(diǎn)的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個(gè)更接近于面積的經(jīng)驗(yàn)值 5．【2015高考新課標(biāo)1，文5】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則 ( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】B 6. 【2015高考山東，文21】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，且點(diǎn)（，）在橢圓上. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)橢圓：，為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn). （i）求的值； (ii)求面積的最大值. 【解析】（I）由題意知又，解得，所以橢圓的方程為 （II）由（I）知橢圓的方程為. （i）設(shè)由題意知.因?yàn)橛?，即所以，? 7. 【2015高考陜西，文20】如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為. (I)求橢圓的方程； (II)經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），證明：直線與的斜率之和為2. 【解析】 (I)由題意知，綜合，解得，所以，橢圓的方程為. (II)由題設(shè)知，直線的方程為，代入，得 ，由已知，設(shè)，，則，從而直線與的斜率之和 . 8. 【2015高考重慶，文21】如題（21）圖，橢圓（>>0）的左右焦點(diǎn)分別為,,且過的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且PQ. (Ⅰ)若||=2+，||=2-，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (Ⅱ)若|PQ|=||，且，試確定橢圓離心率的取值范圍. (2)如題(21)圖，由,得，由橢圓的定義，,進(jìn)而，于是. 解得，故.由勾股定理得,從而,兩邊除以，得,若記，則上式變成.由，并注意到關(guān)于的單調(diào)性，得，即，進(jìn)而，即. 9. 【2015高考四川，文20】如圖，橢圓E：(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)P(0，1)在短軸CD上，且＝－1 (Ⅰ)求橢圓E的方程； (Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. A D B C O x y P (Ⅱ)當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判別式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，所以，從而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－，所以，當(dāng)λ＝1時(shí)，－＝－3，此時(shí)，＝－3為定值，當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD，此時(shí)＝－2－1＝－3，故存在常數(shù)λ＝－1，使得為定值－3. 10.【2014山東，文15】 已知雙曲線的焦距為，右頂點(diǎn)為A，拋物線的焦點(diǎn)為F，若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為，且，則雙曲線的漸近線方程為　　　　　　. 【答案】 11.【2014廣東，文20】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為. （1） 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2） 若動(dòng)點(diǎn)為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程． 【解析】（1）由題意得，，所以，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 12.【2014湖南，文20】如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線和橢圓均過點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形. (1)求的方程； (2)是否存在直線，使得與交于兩點(diǎn)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且？證明你的結(jié)論. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 由定義法求曲線的方程、由已知條件直接求曲線的方程、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等是高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為中檔題或難題，主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)問題、最值問題、定點(diǎn)定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，考查的知識(shí)點(diǎn)多，能力要求高，尤其是運(yùn)算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，是高考中區(qū)分度較大的題目. 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式,橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)綜合問題是高考考試的重點(diǎn)，每年必考，一般是兩小一大的布局，試題難度往往是有一道基礎(chǔ)題，另一道是提高題，難度中等以上，有時(shí)作為把關(guān)題．考查方面離心率是重點(diǎn)，其它利用性質(zhì)求圓錐曲線方程，求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積，求弦長(zhǎng)，求圓錐曲線中的最值或范圍問題，過定點(diǎn)問題，定值問題等．從近三年的高考試題來看，小題中雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，題型大多為選擇題、填空題，難度為中等偏低，主要考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì)，考查基本運(yùn)算能力及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，而橢圓、拋物線的性質(zhì)一般，一道小題，一道解答題，難度中等，有時(shí)作為把關(guān)題存在，而且三大曲線幾乎年年都考，故預(yù)測(cè)2017求曲線的方程和研究曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等仍是高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為仍中檔題或難題，仍主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)問題、最值問題、定點(diǎn)定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系仍是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，考查的知識(shí)點(diǎn)仍然較多，能力要求高，尤其是運(yùn)算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，仍是高考中區(qū)分度較大的題目，在備考時(shí)，熟練掌握求曲線方程的常用方法，掌握直線與圓錐曲線問題的常見題型與解法，加大練習(xí)力度，提高運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問題能力，要特別關(guān)注與向量、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的結(jié)合，關(guān)注函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用． 【2017年高考考點(diǎn)定位】 高考對(duì)圓錐曲線綜合問題的考查有三種主要形式：一是考查求曲線方程；二是考查圓錐曲線間的知識(shí)運(yùn)用；三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，這是高考中考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，主要涉及的題型為中點(diǎn)弦問題、最值與取值范圍問題、定點(diǎn)與定值問題、探索性問題，從涉及的知識(shí)上講，常與平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相聯(lián)系，考查知識(shí)點(diǎn)多，運(yùn)算量大，能力要求高，難度大是這種題型的一大特征. 【考點(diǎn)1】求軌跡方程 【備考知識(shí)梳理】 1．曲線與方程 在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解； (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．那么，這個(gè)方程叫做這條曲線的方程；這條曲線叫做這個(gè)方程的曲線. 2．直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟 (1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系． (2)設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)． (3)列式——列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式． (4)代換——依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡(jiǎn)． (5)證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程． 【規(guī)律方法技巧】 1. 求軌跡方程的常用方法一般分為兩大類，一類是已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)——待定系數(shù)法；另一類是不知曲線類型常用的方法有： (1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0； (2)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； (3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程； (4)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程． 2. 求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016江省衢州市高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)均滿足，則取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2. 【2016江西省高安中學(xué)高三命題中心押題】在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，動(dòng)點(diǎn)滿足:直線與直線的斜率之積為． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； （2）設(shè)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡的左右頂點(diǎn)，為直線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在x軸上），連[交的軌跡于點(diǎn)，連并延長(zhǎng)交的軌跡于點(diǎn)，試問直線是否過定點(diǎn)？若成立，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不成立，請(qǐng)說明理由． 【解析】（1）已知，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，所以直線的斜率，直線的斜率（），又，所以，即． （2）設(shè)，又，則，故直線的方程為：，代入橢圓方程并整理得：。由韋達(dá)定理：即，，同理可解得： 故直線的方程為，即，故直線恒過定點(diǎn)． 【考點(diǎn)2】圓錐曲線間的綜合 【備考知識(shí)梳理】 1.要熟記橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 2.要熟練掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 3.要熟練掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 【規(guī)律方法技巧】 1. 解圓錐曲線間的綜合問題時(shí)，要結(jié)合圖像進(jìn)行分析，理清所涉及到圓錐曲線間基本量之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)不同曲線間基本量的轉(zhuǎn)化. 2.熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016江西省高安中學(xué)高三命題中心模擬】已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A． 2. 【2016屆寧夏六盤山高中高三四模】橢圓的右焦點(diǎn)為，雙曲線的一條漸近線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 _____. 【答案】 【考點(diǎn)3】直線與圓錐曲線位置關(guān)系的綜合問題 【備考知識(shí)梳理】 1.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程. (1) 若≠0，當(dāng)△＞0時(shí)，直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn). 當(dāng)△=0時(shí)，直線與圓錐曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線與雙曲線相切. 當(dāng)△＜0時(shí)，直線與圓錐曲線無公共點(diǎn). （2）當(dāng)=0時(shí)，若圓錐曲線為雙曲線，則直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行；若圓錐曲線為拋物線，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行. （3）設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)A（，），B（，），則，. 2. 直線y＝kx＋b(k≠0)與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 【規(guī)律方法技巧】 1.在處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí)，常用設(shè)而不求法，即常將圓錐曲線與直線聯(lián)立，消去（或）化為關(guān)于（或）的一元二次方程，設(shè)出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，則交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)即為上述一元二次方程的解，利用根與系數(shù)關(guān)系，將，表示出來，注意判別式大于零不能丟，然后根據(jù)問題，再通過配湊將其化為關(guān)于與的式子，將，代入再用有關(guān)方法取處理，注意用向量法處理共線問題、垂直問題及平行問題. 2.再處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題時(shí)，首先確定直線的斜率，若不能確定，則需要分成直線斜率存在與不存在兩種情況討論，也可以將直線方程設(shè)為，避免分類討論. 3.定點(diǎn)與定值問題處理方法有兩種： （1）從特殊入手，求出定點(diǎn)（定值），再證明這個(gè)定點(diǎn)（定值）與變量無關(guān). (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（定值）. 4.最值問題常見解法有兩種： （1）幾何法：若題中的條件與結(jié)論有明顯的幾何特征和意義，則考慮利用圖形的幾何性質(zhì)來解決，如三角不等式、圓錐曲線的定義等. (2)代數(shù)法：利用相關(guān)知識(shí)和方法結(jié)合題中的條件，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)、不等式或?qū)?shù)知識(shí)求出這個(gè)函數(shù)的最值. 5.參數(shù)范圍問題常見解法有兩種： （1）不等式法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論參數(shù)滿足的不等式（組），通過解不等式（組）解出參數(shù)的范圍，注意判別式大于0不能遺漏. (2)函數(shù)最值法：利用題中條件和相關(guān)知識(shí)，將所討論參數(shù)表示為某個(gè)變量的函數(shù)，通過討論這個(gè)函數(shù)的值域求出該參數(shù)的范圍. 6.對(duì)探索性問題，先假設(shè)存在，依此為基礎(chǔ)推理，若推出矛盾，則不存在，求出值，則存在. 7. 直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法和參數(shù)法. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.【2016屆邯鄲市一中高三十研】已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)分別為其左右焦點(diǎn)． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若上存在兩個(gè)點(diǎn)，橢圓上有兩個(gè)點(diǎn)滿足三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，且，求四邊形面積的最小值． （2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的斜率為0，易得． 當(dāng)直線2.【2016年江西省九江市三?！咳鐖D所示，已知橢圓，⊙，點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn) 直線與⊙相切于點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）若⊙的切線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍. 【解析】（1）∵在⊙上，∴.又是⊙的切線，∴，即，解得.∴橢圓的方程為. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 １．求圓錐曲線方程的方法 求曲線方程的常見方法： (1)直接法：直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程 (2)定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 (3)相關(guān)點(diǎn)法：即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 (4)參數(shù)法：若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)()中的分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個(gè)參數(shù)來分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程. 注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后，再進(jìn)一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念. (5)待定系數(shù)法：①頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線，可設(shè)為或()，避開對(duì)焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上的分類討論，此時(shí)不具有的幾何意義． ②中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，橢圓方程可設(shè)為 ()，雙曲線方程可設(shè)為 ()．這樣可以避免繁瑣的計(jì)算． 利用以上設(shè)法，根據(jù)所給圓錐曲線的性質(zhì)求出參數(shù)，即得方程． 2．最值或范圍問題的解決方法 解析幾何中的最值問題涉及的知識(shí)面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種： (1)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值； (2)利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值； (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值； (4)利用判別式求最值； (5)利用數(shù)形結(jié)合，尤其是切線的性質(zhì)求最值． 3．求定值問題的方法 定值問題是解析幾何中的一種常見問題，基本的求解方法是：先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導(dǎo)和已知條件，消去變量，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變量問題，最后才是定值問題． 4． 有關(guān)弦的問題 (1)有關(guān)弦長(zhǎng)問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問題，要重視圓錐曲線定義的運(yùn)用，以簡(jiǎn)化運(yùn)算． ①斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)，，則所得弦長(zhǎng)或，其中求與時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形： ，. ②當(dāng)斜率不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式)． (2)弦的中點(diǎn)問題 有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，“設(shè)而不求法”來簡(jiǎn)化運(yùn)算． 5.圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ).因此，對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求. 6.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的步驟： (1)設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零)； (3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式； (4)結(jié)合已知條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長(zhǎng)公式求解 7.解析幾何解題的基本方法 解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對(duì)知識(shí)的重新組合，以達(dá)到鞏固知識(shí)、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應(yīng)用判別式、韋達(dá)定理的意識(shí).解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，合理建立曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法：數(shù)形結(jié)合法，以形助數(shù)，用數(shù)定形. 在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對(duì)稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等. 8.避免繁復(fù)運(yùn)算的基本方法 可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡(jiǎn)方程、求交點(diǎn)、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標(biāo)系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因?yàn)閷?duì)普通方程運(yùn)算復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程可能會(huì)簡(jiǎn)單；在某一直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，通過移軸可能會(huì)簡(jiǎn)單；在直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，在極坐標(biāo)系下可能會(huì)簡(jiǎn)單“所謂尋求”. 9. 解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容： （1）給出直線的方向向量或； （2）給出與相交,等于已知過的中點(diǎn); （3）給出,等于已知是的中點(diǎn); （4）給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線; （5） 給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；③若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線； （6） 給出，等于已知是的定比分點(diǎn)，為定比，即； （7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角； （8）給出,等于已知是的平分線； （9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形; （10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形; （11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）； （12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）； （13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）； （14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心； （15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）； （16）在中，給出,等于已知是中邊的中線. 10．定點(diǎn)、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量． 11．解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問題，這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活處理. 二年模擬 1. 【山西省榆林市高三第二次模擬】已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，若為直角三角形，則雙曲線離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意得：而，選C. 2. 【2016年山西四校高三第三次聯(lián)考】已知雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為為其左、右頂點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，且,則雙曲線的離心率 為（ ） A. 　B. 　C. D. 【答案】B 3. 【2016年山西省四校高三聯(lián)考】已知雙曲線的兩頂點(diǎn)為，虛軸兩端點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為，. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4. 【2016屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三5月調(diào)研考試】已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，若，則（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】因?yàn)?，所以，所以，，則橢圓方程＝1變?yōu)椋O(shè)，又＝3，所以，所以，即．因?yàn)樵跈E圓上，所以 ①， ②． 由①－9②，得，所以，所以，所以，，從而，，所以，，故，故選B． 5. 【2016屆安徽六安一中高三下學(xué)期第三次模擬】如圖所示，橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為，線段是垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦，連接相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為____________． 【答案】 6.【2016屆天津市和平區(qū)高三第四次模擬】已知雙曲線的漸近線上的一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離等于2，拋物線過點(diǎn)，則該拋物線的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，右焦點(diǎn)點(diǎn)A在軸右側(cè)，雙曲線的漸近線方程為，設(shè)，，解得，有在拋物線上，則，得，該拋物線的方程為.選B. 7. 【2016屆湖北省黃岡中學(xué)高三5月一?！恳阎c(diǎn)是拋物線與圓在第一象限的公共點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離等于，若拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)的距離之和的最小值為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 8.【2016年安慶市高三二?！恳阎獔A的圓心是橢圓（）的右焦點(diǎn),過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線與圓相切． （I）求橢圓的方程； （II）橢圓上有兩點(diǎn)、,、斜率之積為,求的值． 9. 【2016屆浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)高三5月模擬】已知拋物線，過點(diǎn) 的動(dòng)直線 與相交于 兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn) 和點(diǎn) 處的切線相交于點(diǎn) ，直線 與 軸分別相交于點(diǎn) . （1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； （2）求證：點(diǎn) 在直線上； （3）判斷是否存在點(diǎn)，使得四邊形為矩形？若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 10. 【2016年江西師大附中高三上學(xué)期期末】已知橢圓C：，其右焦點(diǎn)，離心率為． （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）已知直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)不在圓內(nèi)， 求的取值范圍． 11.【2015屆陜西省西安市第一中學(xué)高三下學(xué)期自主命題二】已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F到雙曲線C：漸近線的距離為，點(diǎn)P是拋物線y2 ＝8x上的一動(dòng)點(diǎn)，P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F1（0，c）的距離與到直線x=-2 的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，雙曲線C的漸近線方程為，即，所以，即，又點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，所以，所以，即雙曲線方程為，故選C． 12.【2015屆吉林省吉林市高三第三次模擬考試】已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，M，N是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，， 則△PMN的面積的最大值為 . 【答案】 13.【2015屆吉林省東北師大附中高三第四次模擬】我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”．已知是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線中橢圓的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】設(shè)由余弦定理得：，所以，即，選A. 14.【2015屆浙江省桐鄉(xiāng)一中高三下學(xué)期聯(lián)盟學(xué)校高考仿真測(cè)試】已知橢圓 的右焦點(diǎn)為，離心率為．設(shè)A，B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為M，的中點(diǎn)為N，原點(diǎn)在以線段為直徑的圓上．設(shè)直線AB的斜率為k，若，則的取值范圍為 ． 【答案】 15.【2015屆福建省龍巖市一中高三下學(xué)期考前模擬】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn)．若直線斜率為時(shí)，． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）試問以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)（與直線的斜率無關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論． 拓展試題以及解析 1. 已知橢圓的離心率，半焦距為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵拋物線的準(zhǔn)線方程為，∴，即，∵，∴，∴.∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，選B. 【入選理由】本題主要考查橢圓的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是橢圓與 拋物線結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)綜合,故選此題. 2.已知雙曲線一焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F相同，若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為1，P為雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，Q（1,3），則|PF|+|PQ|的最小值為 （ ） A. B. C.4 D. 【答案】D 【入選理由】本題主要考查雙曲線的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,本題是雙曲線與拋物線結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)綜合,故選此題. 3．已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，M，N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，其中M（1,2），過拋物線C焦點(diǎn)的直線與交于在軸上方）兩點(diǎn)，且．則的面積為（ ） A. B. C. D.3 【答案】A 【入選理由】本題主要考查橢圓的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)，三角形面積，解直角三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是橢圓與拋物線結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)綜合,故選此題. 4.已知橢圓C的一焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)在橢圓C上．直線過點(diǎn)，且與橢圓C交于，兩點(diǎn)． （1）求橢圓C的方程； （2）點(diǎn)滿足,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與橢圓C交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)直線的方程，若不能，說明理由． 【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，故得，解得. 所以橢圓的方程為 法二：（1）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的方程為滿足題意；（2）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線，顯然，，，．將代入得，故，.四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即，則. 由直線，過點(diǎn)，得.則，即解得解得滿足所以直線的方程為時(shí)，四邊形為平行四邊形．綜上所述：直線的方程為或 . 【入選理由】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，拋物線的方程及幾何性質(zhì)，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，探索性命題等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強(qiáng)，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題. 5.已知雙曲線:的漸近線方程為，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦 點(diǎn)在軸上，點(diǎn)為雙曲線與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn). （Ⅰ）求雙曲線與拋物線的方程； (Ⅱ) 過拋物線的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，與拋物線分別交于點(diǎn)、，、. (ⅰ)若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)（點(diǎn)，不同于點(diǎn)），求直線的斜率； (ⅱ)是否存在常數(shù)，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說明 理由. (Ⅱ)（?。┰O(shè)直線的斜率為，顯然，則其方程為.聯(lián)立方程得，消得，，設(shè)、，則由根與系數(shù)的關(guān)系得:，. 由直線與直線的傾斜角互補(bǔ)可得，即，又，， 故， 故，即，整理得，即，整理得，解得. 6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且離心率為． (Ⅰ)求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (Ⅱ)若橢圓的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)為，，點(diǎn)為橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，定直線與直線，分別交于，兩點(diǎn).請(qǐng)問以為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點(diǎn)，若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 【解析】(Ⅰ)設(shè)，代入，得，∴.又，即，∴． ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．在橢圓中，，，∴，．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 【入選理由】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，拋物線的方程及幾何性質(zhì)，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強(qiáng)，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題. 7.已知是橢圓左右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，△的周長(zhǎng)為8，橢圓的離心率為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）若直線與橢圓交于且，求證原點(diǎn)到直線的距離為定值． 【解析】（Ⅰ）由橢圓的定義知=8，所以=2，由橢圓的離心率為知，，∴， ∴=3， ∴橢圓的方程為； （Ⅱ）當(dāng)存在時(shí)，設(shè)， 【入選理由】本題主要考查橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強(qiáng)，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題. 8．已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為1. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線：與橢圓交于兩點(diǎn) ①若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)； ②若直線的斜率是直線斜率的等比中項(xiàng)，求面積的取值范圍. 【解析】（1）由拋物線的方程為得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以可得橢圓中， 當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)的面積最大，此時(shí)，所以，又由得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 【入選理由】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的方程，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積，等比中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強(qiáng)，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題.