高考數(shù)學(xué)（四海八荒易錯(cuò)集）專(zhuān)題02 不等式與線性規(guī)劃 理

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專(zhuān)題02 不等式與線性規(guī)劃 1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】若,則( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】C 2.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ） （A） （B）6 （C）10 （D）17 【答案】B 【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)取最小值6，選B. 3.【2016高考山東理數(shù)】若變量x，y滿(mǎn)足則的最大值是（ ） （A）4 （B）9 （C）10 （D）12 【答案】C 【解析】不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,表示點(diǎn)（x,y）到原點(diǎn)距離的平方,最大值必在頂點(diǎn)處取到,經(jīng)驗(yàn)證最大值為,故選C. 4.【2016高考浙江理數(shù)】在平面上，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱(chēng)為點(diǎn)P在直線l上的投影．由區(qū)域 中的點(diǎn)在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則│AB│=（ ） A．2 B．4 C．3 D． 【答案】C 5.【2016年高考北京理數(shù)】若，滿(mǎn)足，則的最大值為（ ） A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】作出如圖可行域，則當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值，而，∴所求最大值為4，故選C. 6.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，q：實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足 則p是q的( ) （A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】畫(huà)出可行域（如圖所示），可知命題中不等式組表示的平面區(qū)域在命題中不等式表示的圓盤(pán)內(nèi)，故選A. 7.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】若滿(mǎn)足約束條件 則的最大值為_(kāi)____________. 【答案】 8.【2016高考新課標(biāo)1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為 元． 【答案】 【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利潤(rùn)之和為元,那么 ① 目標(biāo)函數(shù). 二元一次不等式組①等價(jià)于 ② 作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域. 將變形,得,平行直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí), 取得最大值. 解方程組,得的坐標(biāo). 所以當(dāng),時(shí),. 故生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤(rùn)之和的最大值為元. 9.【2016高考江蘇卷】 已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足 ，則的取值范圍是 ▲ . 【答案】 【解析】由圖知原點(diǎn)到直線距離平方為最小值，為，原點(diǎn)到點(diǎn)距離平方為最大值，為，因此取值范圍為 易錯(cuò)起源1、不等式的解法 例1、(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b (a，b∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為(　　) A．{x|x<－1或x>－lg2} B．{x|－1－lg2} D．{x|x<－lg2} 答案　(1)9　(2)D 【變式探究】(1)關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝________. (2)不等式2＜4的解集為_(kāi)_______． 答案　(1)　(2)(－1,2) 解析　(1)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因?yàn)閍>0，所以不等式的解集為(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝. (2)∵2＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－10(a≠0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集． 2．簡(jiǎn)單分式不等式的解法 (1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解． 易錯(cuò)起源2、基本不等式的應(yīng)用 例2、(1)已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，則2m＋4n的最小值為(　　) A．2 B．2 C．4 D．8 (2)設(shè)實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足m>0，n<0，且＋＝1，則4m＋n(　　) A．有最小值9 B．有最大值9 C．有最大值1 D．有最小值1 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)因?yàn)橄蛄縜＝(m,2)，b＝(1，n－1)，a⊥b， 所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2. 所以2m＋4n≥2＝2＝2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立)， 所以2m＋4n的最小值為4，故選C. 【變式探究】(1)若正數(shù)a，b滿(mǎn)足a＋b＝1，則＋的最大值為_(kāi)_______． (2)若圓(x－2)2＋(y－2)2＝9上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ax＋by－2＝0(a>0，b>0)對(duì)稱(chēng)，則＋的最小值為_(kāi)_________． 答案　(1)　(2)16 解析　(1)∵正數(shù)a，b滿(mǎn)足a＋b＝1， ∴＋＝ ＝ ＝＝＝2－ ≤2－＝2－＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)， ∴＋的最大值為. (2)圓(x－2)2＋(y－2)2＝9的圓心坐標(biāo)為(2,2)， 由已知得直線ax＋by－2＝0必經(jīng)過(guò)圓心(2,2)，即a＋b＝1. 所以＋＝(＋)(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立)，所以＋的最小值為16. 【名師點(diǎn)睛】 在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤． 【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】 利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2(簡(jiǎn)記為：積定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值s2(簡(jiǎn)記為：和定，積有最大值)． 易錯(cuò)起源3、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 例3、(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件則z＝x＋2y的最大值與最小值之和為(　　) A．－2 B．14 C．－6 D．2 (2)若變量x，y滿(mǎn)足約束條件且目標(biāo)函數(shù)z＝－kx＋y當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 答案　(1)A　(2) 解析　(1)根據(jù)x，y的約束條件畫(huà)出可行域，如圖陰影部分所示，其中A，B(6,0)，C(0,4)． 由z＝x＋2y可知，當(dāng)直線y＝－x＋過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取最小值，即zmin＝－＋2＝－10；當(dāng)直線y＝－x＋過(guò)點(diǎn)C時(shí)，z取最大值，即zmax＝0＋24＝8，∴zmin＋zmax＝－2.故選A. (2)由題意知不等式組所表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的△ABC及其內(nèi)部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)．將目標(biāo)函數(shù)變形得y＝kx＋z，當(dāng)z取得最小值時(shí)，直線的縱截距最?。捎谥本€當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1)時(shí)縱截距最小，結(jié)合動(dòng)直線y＝kx＋z繞定點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)進(jìn)行分析，知－b，則下列不等式中恒成立的是(　　) A．lna>lnb B.< C．a(chǎn)2>ab D．a(chǎn)2＋b2>2ab 答案　D 解析　只有當(dāng)a>b>0時(shí)A成立；只有當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)B成立；只有當(dāng)a>0時(shí)C成立；因?yàn)閍≠b，所以D恒成立，故選D. 2．若函數(shù)f(x)＝則“00時(shí)，由log3x≥1可得x≥3， 當(dāng)x≤0時(shí)，由()x≥1可得x≤0， ∴不等式f(x)≥1的解集為(－∞，0]∪[3，＋∞)． 8．要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是________元． 答案　160 9．已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　(－4,2) 解析　由題意可得m2＋2m應(yīng)小于＋的最小值，所以由基本不等式可得＋≥2＝8， 所以m2＋2m<8?－40}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B，求集合D.(用區(qū)間表示) 解　令g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a， 其對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝(1＋a)， Δ＝9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)． ①當(dāng)00，g(0)＝6a>0， 方程g(x)＝0的兩個(gè)根分別為 00恒成立， 所以D＝A∩B＝(0，＋∞)． 綜上所述，當(dāng)0

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