高考數(shù)學(xué)（四海八荒易錯集）專題02 不等式與線性規(guī)劃 理

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專題02 不等式與線性規(guī)劃1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】若,則( )（A） （B） （C） （D）【答案】C2.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域?yàn)橐粋€三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點(diǎn)B時取最小值6，選B.3.【2016高考山東理數(shù)】若變量x，y滿足則的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,表示點(diǎn)（x,y）到原點(diǎn)距離的平方,最大值必在頂點(diǎn)處取到,經(jīng)驗(yàn)證最大值為,故選C.4.【2016高考浙江理數(shù)】在平面上，過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影由區(qū)域 中的點(diǎn)在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則AB=（ ）A2 B4 C3 D【答案】C5.【2016年高考北京理數(shù)】若，滿足，則的最大值為（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】作出如圖可行域，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，取最大值，而，所求最大值為4，故選C. 6.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足，q：實(shí)數(shù)x，y滿足 則p是q的( )（A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】畫出可行域（如圖所示），可知命題中不等式組表示的平面區(qū)域在命題中不等式表示的圓盤內(nèi)，故選A.7.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】若滿足約束條件 則的最大值為_.【答案】8.【2016高考新課標(biāo)1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元【答案】【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利潤之和為元,那么目標(biāo)函數(shù).二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.將變形,得,平行直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時, 取得最大值.解方程組,得的坐標(biāo).所以當(dāng),時,.故生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤之和的最大值為元.9.【2016高考江蘇卷】 已知實(shí)數(shù)滿足 ，則的取值范圍是 .【答案】【解析】由圖知原點(diǎn)到直線距離平方為最小值，為，原點(diǎn)到點(diǎn)距離平方為最大值，為，因此取值范圍為易錯起源1、不等式的解法例1、(1)已知函數(shù)f(x)x2axb (a，bR)的值域?yàn)?，)，若關(guān)于x的不等式f(x)c的解集為(m，m6)，則實(shí)數(shù)c的值為_(2)已知一元二次不等式f(x)0的解集為()Ax|xlg2Bx|1xlg2Dx|xlg2答案(1)9(2)D【變式探究】(1)關(guān)于x的不等式x22ax8a20)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a_.(2)不等式24的解集為_答案(1)(2)(1,2)解析(1)由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集為(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.(2)2422，x2x2，即x2x20，解得1x0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集2簡單分式不等式的解法(1)0(0(0，n0，b0)對稱，則的最小值為_答案(1)(2)16解析(1)正數(shù)a，b滿足ab1，222，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，的最大值為.(2)圓(x2)2(y2)29的圓心坐標(biāo)為(2,2)，由已知得直線axby20必經(jīng)過圓心(2,2)，即ab1.所以()(ab)1010216(當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時等號成立)，所以的最小值為16.【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：(1)如果x0，y0，xyp(定值)，當(dāng)xy時，xy有最小值2(簡記為：積定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，xys(定值)，當(dāng)xy時，xy有最大值s2(簡記為：和定，積有最大值)易錯起源3、簡單的線性規(guī)劃問題例3、(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則zx2y的最大值與最小值之和為()A2B14C6D2(2)若變量x，y滿足約束條件且目標(biāo)函數(shù)zkxy當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案(1)A(2)解析(1)根據(jù)x，y的約束條件畫出可行域，如圖陰影部分所示，其中A，B(6,0)，C(0,4)由zx2y可知，當(dāng)直線yx過點(diǎn)A時，z取最小值，即zmin210；當(dāng)直線yx過點(diǎn)C時，z取最大值，即zmax0248，zminzmax2.故選A.(2)由題意知不等式組所表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的ABC及其內(nèi)部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)將目標(biāo)函數(shù)變形得ykxz，當(dāng)z取得最小值時，直線的縱截距最小由于直線當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)(3,1)時縱截距最小，結(jié)合動直線ykxz繞定點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)進(jìn)行分析，知kb，則下列不等式中恒成立的是()AlnalnbB.abDa2b22ab答案D解析只有當(dāng)ab0時A成立；只有當(dāng)a，b同號時B成立；只有當(dāng)a0時C成立；因?yàn)閍b，所以D恒成立，故選D.2若函數(shù)f(x)則“0x1”是“f(x)0時，由log3x1可得x3，當(dāng)x0時，由()x1可得x0，不等式f(x)1的解集為(，03，)8要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_元答案1609已知x0，y0，若m22m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(4,2)解析由題意可得m22m應(yīng)小于的最小值，所以由基本不等式可得28，所以m22m84m2.10定義運(yùn)算“”：xy(x，yR，xy0)，當(dāng)x0，y0時，xy(2y)x的最小值為_答案解析由題意，得xy(2y)x，當(dāng)且僅當(dāng)xy時取等號11設(shè)點(diǎn)P(x，y)滿足條件點(diǎn)Q(a，b) (a0，b0)滿足1恒成立，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則Q點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積是_答案解析1，axby1，點(diǎn)P(x，y)滿足條件的區(qū)域，如圖陰影部分所示，1，即axby1，且點(diǎn)Q(a，b)滿足1恒成立，只需點(diǎn)P(x，y)在可行域內(nèi)的交點(diǎn)處：A(1,0)，B(0,2)，axby1成立即可，即它表示一個長為1寬為的矩形，其面積為，故答案為.12設(shè)0a0，BxR|2x23(1a)x6a0，DAB，求集合D.(用區(qū)間表示)解令g(x)2x23(1a)x6a，其對稱軸方程為x(1a)，9(1a)248a9a230a93(3a1)(a3)當(dāng)00，g(0)6a0，方程g(x)0的兩個根分別為0x1x2，DAB；當(dāng)a1時，0恒成立，所以DAB(0，)綜上所述，當(dāng)0a時，D；當(dāng)a1時，D(0，)13運(yùn)貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米(按交通法規(guī)限制50x100)(單位：千米/小時)假設(shè)汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油(2)升，司機(jī)的工資是每小時14元(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為何值時，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值14提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當(dāng)20x200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時)解(1)由題意：當(dāng)0x20時，v(x)60；當(dāng)20x200時，設(shè)v(x)axb，顯然v(x)axb在20,200上是減函數(shù)，由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0x20時，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時，其最大值為60201200；當(dāng)20x200時，f(x)x(200x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x200x，即x100時，等號成立，所以，當(dāng)x100時，f(x)在區(qū)間20,200上取得最大值.綜上，當(dāng)x100時，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約3 333輛/小時