高考數學大二輪總復習與增分策略 專題七 概率與統(tǒng)計 第2講 統(tǒng)計初步練習 文

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第2講　統(tǒng)計初步 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2016課標全國丙改編)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖．圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15 ℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5 ℃.給出以下四種表示，其中不正確的序號是________． ①各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上； ②七月的平均溫差比一月的平均溫差大； ③三月和十一月的平均最高氣溫基本相同； ④平均最高氣溫高于20 ℃的月份有5個． 答案?、? 解析　由題意知，平均最高氣溫高于20 ℃的有七月，八月，故填④. 2．(2016山東改編)某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖， 其中自習時間的范圍是[17.5,30]，樣本數據分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是________． 答案　140 解析　設所求人數為N，則N＝2.5(0.16＋0.08＋0.04)200＝140. 3．(2016上海)某次體檢，6位同學的身高(單位：米)分別為1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，則這組數據的中位數是________(米)． 答案　1.76 1.以填空題的形式考查隨機抽樣、樣本的數字特征、統(tǒng)計圖表等；2.在概率與統(tǒng)計的交匯處命題，以中檔難度解答題出現. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 熱點一　抽樣方法 1．簡單隨機抽樣特點是從總體中逐個抽取．適用范圍：總體中的個體數較少． 2．系統(tǒng)抽樣特點是將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取．適用范圍：總體中的個體數較多． 3．分層抽樣特點是將總體分成幾層，分層進行抽取．適用范圍：總體由差異明顯的幾部分組成． 例1　(1)某單位有420名職工，現采用系統(tǒng)抽樣方法抽取21人做問卷調查，將420人按1,2，…，420隨機編號，則抽取的21人中，編號落入區(qū)間[281,420]的人數為________． (2)某工廠生產甲、乙、丙三種型號的產品，產品數量之比為3∶5∶7，現用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產品有18件，則樣本容量n＝________. 答案　(1)7　(2)90 解析　(1)因42021＝20， 而420－281＋1＝(139＋1)20＝7， 故抽取的人中編號落入區(qū)間[281,420]的人數是7. (2)由題意得＝，解得n＝90. 思維升華　(1)隨機抽樣各種方法中，每個個體被抽到的概率都是相等的；(2)系統(tǒng)抽樣又稱“等距”抽樣，被抽到的各個號碼間隔相同；(3)分層抽樣滿足：各層抽取的比例都等于樣本容量在總體容量中的比例． 跟蹤演練1　(1)要考察某公司生產的500克袋裝牛奶中三聚氰胺的含量是否超標，現從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數法抽取樣本時，先將800袋牛奶按000,001，…，799進行編號，如果從隨機數表第7行第8列的數開始向右讀，則得到的第4個樣本個體的編號是________．(下面摘取了隨機數表第7行至第9行) 84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 　83 92 12 06 76(第7行) 63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 　44 39 52 38 79(第8行) 33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38 15 51 00 13 42　99 66 02 79 54(第9行) (2)利用分層抽樣的方法在學生總數為1 200人的年級中抽出20名同學，其中有女生8人，則該年級男生的人數約為________． 答案　(1)068　(2)720 解析　(1)由隨機數法可知抽取樣本個體的編號為331,572,455,068，…，故第4個樣本個體的編號為068. (2)由于樣本容量為20，其中的男生人數為12，從而該年級男生人數約為1 200＝720. 熱點二　用樣本估計總體 1．頻率分布直方圖中橫坐標表示組距，縱坐標表示，頻率＝組距. 2．頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1. 3．利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數 利用頻率分布直方圖求眾數、中位數和平均數時易出錯，應注意區(qū)分這三者．在頻率分布直方圖中： (1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數； (2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的； (3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和． 例2　(1)在某次測量中得到的A樣本數據如下：42,43,46,52,42,50，若B樣本數據恰好是A樣本數據每個都減5后所得數據，考查四種數字特征：平均數，標準差，眾數，中位數，則A，B兩樣本的________是對應相同的．　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)若五個數1,2,3,4，a的平均數為3，則這五個數的標準差是________． 答案　(1)標準差　(2) 解析　(1)設樣本A中的數據為xi，則樣本B中的數據為yi＝xi－5，則樣本數據B中的眾數和平均數以及中位數和A中的眾數，平均數，中位數相差5，只有標準差沒有發(fā)生變化． (2)由平均數的定義知＝3， 所以10＋a＝15，即a＝5； 由標準差的計算公式可得 s＝ ＝. 思維升華　(1)反映樣本數據分布的主要方式：頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖．關于頻率分布直方圖要明確每個小矩形的面積即為對應的頻率，其高低能夠描述頻率的大小，高考中常?？疾轭l率分布直方圖的基本知識，同時考查借助頻率分布直方圖估計總體的概率分布和總體的特征數，具體問題中要能夠根據公式求解數據的平均數、眾數、中位數和方差等．(2)由樣本數據估計總體時，樣本方差越小，數據越穩(wěn)定，波動越?。? 跟蹤演練2　(1)某學生在一門功課的22次考試中，所得分數莖葉圖如圖所示，則此學生該門功課考試分數的極差與中位數之和為______． (2)某學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為n且支出在[20,60]元的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50,60]元的學生有30人，則n的值為________． 答案　(1)118　(2)100 解析　(1)22次考試中，所得分數最高的為98，最低的為56，所以極差為98－56＝42，將分數從小到大排列，中間兩數為76,76，所以中位數為76，所以此學生該門功課考試分數的極差與中位數之和為42＋76＝118. (2)支出在[50,60]元的頻率為1－0.1－0.24－0.36＝0.3，所以n＝300.3＝100. 熱點三　概率與統(tǒng)計的綜合問題 概率與統(tǒng)計密不可分，概率的計算問題往往與抽樣方法，頻率分布直方圖，莖葉圖相結合在高考中進行考查，以生活中的熱點問題為背景，在概率統(tǒng)計交匯點處命題已成為高考的一個方向． 例3　經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1 t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1 t虧損300元．根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農產品．以X(單位： t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤． (1)將T表示為X的函數； (2)根據直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率． 解　(1)當X∈[100,130)時， T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000； 當X∈[130,150]時，T＝500130＝65 000. 所以T＝ (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7， 所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7. 思維升華　解決概率、統(tǒng)計綜合問題的步驟： 第一步，根據所給的頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計圖表確定樣本數據、均值等統(tǒng)計量； 第二步，根據題意，一般選擇由頻率估計概率，確定相應的事件的概率； 第三步，利用互斥事件、對立事件、古典概型等概率計算公式計算概率． 跟蹤演練3　從某校高中男生中隨機抽取100名學生，將他們的體重(單位：kg)數據繪制成頻率分布直方圖(如圖)．若要從體重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三組內的男生中，用分層抽樣的方法選取6人組成一個活動隊，再從這6人中選2人當正、副隊長，則這2人的體重不在同一組內的概率為________． 答案　 解析　體重在[60,70)的男生人數為0.03010100＝30，同理在[70,80)的男生人數為20，在[80,90]的男生人數為10，所以按分層抽樣選取6人，各小組依次選3人，2人，1人，分別記為a，b，c；A，B；M.從這6人中選取2人，共有15種結果，其中體重不在同一組內的結果有11種．故所求概率P＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．甲、乙兩同學5次綜合測評的成績如莖葉圖所示，老師在計算甲、乙兩人平均分時，發(fā)現乙同學成績的一個數字無法看清．若從{0,1,2，…，9}中隨機取一個數字代替，則乙的平均成績超過甲的平均成績的概率為________． 押題依據　根據莖葉圖求平均值、概率、方差等是高考熱點． 答案　 解析　計算可得甲的平均分為90，根據乙的數據，只有■處為9時，乙的平均成績才超過甲，因此所求概率為. 2．某校為了了解高三學生寒假期間的學習情況，抽查了100名學生，統(tǒng)計他們每天的平均學習時間，繪成的頻率分布直方圖如圖所示，則這100名學生中學習時間在6至10小時之間的人數為________． 押題依據　頻率分布直方圖多以現實生活中的實際問題為背景，對圖形的理解應用可以考查考生的基本分析能力，是高考的熱點． 答案　58 解析　由圖知，(0.04＋0.12＋x＋0.14＋0.05)2＝1，解得x＝0.15，所以學習時間在6至10小時之間的頻率是(0.15＋0.14)2＝0.58，所求人數為1000.58＝58. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A組　專題通關 1．從某班抽取5名學生測量身高(單位：cm)，得到的數據為160,162,159,160,159，則該組數據的方差s2＝ ______. 答案　 解析　5名學生平均數為160， 因此方差為(0＋22＋1＋0＋1)＝. 2．某校共有教師200人，男學生800人，女學生600人，現用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為n的樣本，已知從男學生中抽取的人數為100人，那么n＝_________. 答案　200 解析　男學生占全?？側藬档模剑? 那么＝，n＝200. 3．以下莖葉圖記錄了甲，乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數據的中位數為15，乙組數據的平均數為16.8，則x，y的值分別為__________． 答案　5,8 解析　由題意得x＝5， 16．8＝(9＋15＋10＋y＋18＋24)?y＝8. 4．從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高(單位：厘米)數據繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，由圖中數據可知身高在[120,130)內的學生人數為________． 答案　30 解析　由圖可知，(0.035＋a＋0.020＋0.010＋0.005)10＝1，解得a＝0.03，所以身高在[120,130)內的學生人數在樣本中的頻率為0.0310＝0.3，所以身高在[120,130)內的學生人數為0.3100＝30. 5．下列說法中正確的個數為________． ①若樣本數據x1，x2，…，xn的平均數＝5，則樣本數據2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均數為10； ②將一組數據中的每個數據都減去同一個數后，平均數與方差均沒有變化； ③采用系統(tǒng)抽樣法從某班按學號抽取5名同學參加活動，學號為5,16,27,38,49的同學均被選出，則該班學生人數可能為60. 答案　0 解析?、偃魳颖緮祿1，x2，…，xn的平均數＝5，則樣本數據2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均數為25＋1＝11，故①錯誤；②將一組數據中的每個數據都減去同一個數后，平均數減小，方差沒有變化，故②錯誤；③∵學號為5,16,27,38,49的同學均被選出，∴樣本間隔為16－5＝11，則對應的人數為115＝55(人)，若該班學生人數可能為60，則樣本間隔為605＝12，故③錯誤． 6．為了解一批燈泡(共5 000只)的使用壽命，從中隨機抽取了100只進行測試，其使用壽命(單位：h)如下表： 使用壽命 [500，700) [700，900) [900，1 100) [1 100，1 300) [1 300，1 500] 只數 5 23 44 25 3 根據該樣本的頻數分布，估計該批燈泡使用壽命不低于1 100 h的燈泡只數是________． 答案　1 400 解析　由題意得：5 000＝1 400. 7．從某中學高一年級中隨機抽取100名同學，將他們的成績(單位：分)數據繪制成頻率分布直方圖(如圖)．則這100名學生成績的平均數，中位數分別為________． 答案　125,124 解析　由圖可知(a＋a－0.005)10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)10，解得a＝0.025，則＝1050.1＋1150.3＋1250.25＋1350.2＋1450.15＝125.中位數在120～130之間，設為x，則0.0110＋0.0310＋0.025(x－120)＝0.5，解得x＝124. 8．一個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45歲的有80人，為了調查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本，應抽取超過45歲的職工________人． 答案　10 解析　因為超過45歲的職工為80人，所占比例為＝，所以抽取的25人中，超過45歲的職工為25＝10人． 9．為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位：h)，試驗的觀測結果如下： 服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間： 0．6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5 2．5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4 服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間： 3．2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4 1．6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5 (1)分別計算兩組數據的平均數，從計算結果看，哪種藥的療效更好？ (2)根據兩組數據完成下面的莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？ 解　(1)A＝(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)＝2.3. B＝(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)＝1.6. 從計算結果看，A藥服用者的睡眠時間增加的平均數大于服用B藥的．所以A藥的療效更好． (2)從莖葉圖看，A藥的療效更好． 10．某工廠對一批產品進行了抽樣檢測．如圖是根據抽樣檢測后的產品凈重(單位：克)數據繪制的頻率分布直方圖，其中產品凈重的范圍是[96,106]，樣本數據分組為[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知樣本中產品凈重小于100克的個數是36. (1)求樣本容量及樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數； (2)已知這批產品中每個產品的利潤y(單位：元)與產品凈重x(單位：克)的關系式為y＝求這批產品平均每個的利潤． 解　(1)產品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)2＝0.300.設樣本容量為n. ∵樣本中產品凈重小于100克的個數是36， ∴＝0.300，∴n＝120.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)2＝0.750， ∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數是1200.750＝90. (2)產品凈重在[96,98)，[98,104)，[104,106]內的頻率分別為0.0502＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)2＝0.750,0.0752＝0.150，∴其相應的頻數分別為1200.1＝12,1200.750＝90,1200.150＝18， ∴這批產品平均每個的利潤為(312＋590＋418)＝4.65(元)． B組　能力提高 11．(2016江蘇省南京市高三第三次模擬)甲、乙兩位選手參加射擊選拔賽，其中連續(xù)5輪比賽的成績(單位：環(huán))如下表： 選手 第1輪 第2輪 第3輪 第4輪 第5輪 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 則甲、乙兩位選手中成績最穩(wěn)定的選手的方差是______． 答案　0.02 解析　甲、乙兩位選手5輪比賽的成績的平均數皆為10，方差分別為s＝[0.22＋0.12＋0.12＋0＋0.22]＝0.02，s＝[0.62＋0.32＋0.82＋0.33＋0.22]>0.02，因此甲、乙兩位選手中成績最穩(wěn)定的選手為甲，其方差是0.02. 12．為了考察某校各班參加課外書法小組的人數，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數作為樣本數據，已知樣本平均數為7，樣本方差為4，且樣本數據互不相同，則樣本數據中的最大值為________． 答案　10 解析　設5個班級中參加課外書法小組的人數分別為x1，x2，x3，x4，x5， 則由題意知樣本平均數為7， 且(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20， 5個整數的平方和為20，且樣本數據互不相同， 則必為0＋1＋1＋9＋9＝20， 由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4. 由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6. 由上可知參加的人數分別為4,6,7,8,10， 故最大值為10. 13．去年“十一”期間，昆曲高速公路車輛較多．某調查公司在曲靖收費站從7座以下小型汽車中按進收費站的先后順序，每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛汽車進行抽樣調查，將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后，得到如圖的頻率分布直方圖． (1)調查公司在抽樣時用到的是哪種抽樣方法？ (2)求這40輛小型汽車車速的眾數和中位數的估計值； (3)若從這40輛車速在[60,70)的小型汽車中任意抽取2輛，求抽出的2輛車車速都在[65,70)的概率． 解　(1)系統(tǒng)抽樣． (2)眾數的估計值為最高的矩形的中點，即眾數的估計值為77.5. 由題圖可知，中位數應該在75～80之間，設為m， 則0.015＋0.025＋0.045＋0.06(m－75)＝0.5， m＝77.5， 即中位數的估計值為77.5. (3)這40輛車中，車速在[60,70)的共有 5(0.01＋0.02)40＝6(輛)， 其中車速在[65,70)的有50.0240＝4(輛)，記為A，B，C，D， 車速在[60,65)的有50.0140＝2(輛)，記為a，b. 從車速在[60,70)的這6輛汽車中任意抽取2輛的可能結果有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，a}，{A，b}，{B，C}，{B，D}，{B，a}，{B，b}，{C，D}，{C，a}，{C，b}，{D，a}，{D，b}，{a，b}，共15種不同的結果， 其中抽出的2輛車車速都在[65,70)的結果有6種． 因為抽到每種結果都是等可能的， 所以從這40輛車速在[60,70)的汽車中任意抽取2輛，抽出的2輛車車速都在[65,70)的概率為P＝＝.