高考數(shù)學大二輪復習 第三編 考前沖刺攻略 第三步 應試技能專訓 二 中檔題專練 文

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二、中檔題專練 (一) 1．[2016長春監(jiān)測]已知函數(shù)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－. (1)求函數(shù)y＝f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間； (2)已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中a＝7，若銳角A滿足f＝，且sinB＋sinC＝，求△ABC的面積． 解　(1)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－＝sin2x＋cos2x＝2sin， 因此f(x)的最小正周期為T＝＝π. f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 即x∈(k∈Z)． (2)由f＝2sin＝2sinA＝，又A為銳角，所以A＝. 由正弦定理可得2R＝＝＝， sinB＋sinC＝＝， 則b＋c＝＝13，由余弦定理可知，cosA＝＝＝，可求得bc＝40， 故S△ABC＝bcsinA＝10. 2．[2016開封一模]如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90，CD∥AB，AD＝CD＝AB＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示． (1)求證：AD⊥平面BCD； (2)求三棱錐C－ABD的高． 解　(1)證明：∵平面ADC⊥平面ABC，且AC⊥BC， ∴BC⊥平面ACD，即AD⊥BC，又AD⊥CD， ∴AD⊥平面BCD. (2)由(1)得AD⊥BD， ∴S△ADB＝2，∵三棱錐B－ACD的高BC＝2，S△ACD＝2，∴2h＝22， ∴可解得h＝. 3．[2016河南質(zhì)檢]某園林基地培育了一種新觀賞植物，經(jīng)過一年的生長發(fā)育，技術人員從中抽取了部分植株的高度(單位：厘米)作為樣本(樣本容量為n)進行統(tǒng)計，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本高度的莖葉圖(圖中僅列出了高度在[50,60)，[90,100]的數(shù)據(jù))． (1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值； (2)在選取的樣本中，從高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中隨機抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]內(nèi)的概率． 解　(1)由題意可知，樣本容量n＝＝50， y＝＝0.004， x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030. (2)由題意可知，高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)為5，記這5株分別為a1，a2，a3，a4，a5，高度在[90,100]內(nèi)的株數(shù)為2，記這2株分別為b1，b2. 抽取2株的所有情況有21種，分別為： (a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)． 其中2株的高度都不在[90,100]內(nèi)的情況有10種，分別為：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)． ∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]內(nèi)的概率P＝1－＝. (二) 1．[2016云南統(tǒng)檢]設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意正整數(shù)n,3an－2Sn＝2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求證：Sn＋2Sn0，故q＝2，從而an＝＝22n－1，即數(shù)列{an}的通項公式為an＝22n－1. (2)由(1)知a1＝2，數(shù)列{an}是以22為公比的等比數(shù)列， 故Sn＝＝(22n－1)． 因此不等式Sk≥30(2k＋1)可化為(22k－1)≥30(2k＋1)， 即(2k－1)(2k＋1)≥30(2k＋1)， 因為2k＋1>0，所以2k≥46，即k≥log246. 又510.828， 所以能在犯錯概率不超過0.001的前提下認為該校學生的數(shù)學成績與物理成績有關． (2)設其他學生為丙和丁，4人分組的情況如下表： 小組 1 2 3 4 5 6 收集成績 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 數(shù)據(jù)處理 丙丁 乙丁 乙丙 甲丁 甲丙 甲乙 分組的情況總共有6種，學生甲負責收集成績且學生乙負責數(shù)據(jù)處理占2種， 所以學生甲負責收集成績且學生乙負責數(shù)據(jù)處理的概率P＝＝. 3．[2016廣州模擬]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中點，F(xiàn)是C1C上一點． (1)當CF＝2時，證明：B1F⊥平面ADF； (2)若FD⊥B1D，求三棱錐B1－ADF的體積． 解　(1)證明：因為AB＝AC，D是BC的中點， 所以AD⊥BC. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中， 因為B1B⊥底面ABC，AD?底面ABC， 所以AD⊥B1B. 因為BC∩B1B＝B， 所以AD⊥平面B1BCC1. 因為B1F?平面B1BCC1， 所以AD⊥B1F. 在矩形B1BCC1中，因為C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2， 所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1， 所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90. (或通過計算FD＝B1F＝，B1D＝，得到△B1FD為直角三角形) 所以B1F⊥FD. 因為AD∩FD＝D， 所以B1F⊥平面ADF. (2)由(1)可得AD⊥平面B1DF，AD＝2， 因為D是BC的中點，所以CD＝1. 在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3， 所以B1D＝＝. 因為FD⊥B1D，所以Rt△CDF∽Rt△BB1D， 所以＝，所以DF＝＝， 所以VB1－ADF＝S△B1DFAD＝2＝. (四) 1．[2016貴州八校聯(lián)考]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA－sinB)，且m∥n. (1)求角B的大??； (2)設BC中點為D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此時△ABC的面積． 解　(1)因為m∥n，故有(a＋b)(sinA－sinB)－c(sinA－sinC)＝0 由正弦定理可得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理可知cosB＝＝＝，因為B∈(0，π)，所以B＝. (2)設∠BAD＝θ，則在△BAD中， 由B＝可知θ∈， 由正弦定理及AD＝有＝＝＝2； 所以BD＝2sinθ，AB＝2sin＝cosθ＋sinθ， 所以a＝2BD＝4sinθ，c＝AB＝cosθ＋sinθ， 從而a＋2c＝2cosθ＋6sinθ＝4sin， 由θ∈可知θ＋∈，所以當θ＋＝， 即θ＝時，a＋2c的最大值為4； 此時a＝2，c＝，所以S＝acsinB＝. 2．如圖，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB＝90，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4. (1)求證：AC⊥平面BCE； (2)求三棱錐E－BCF的體積． 解　(1)證明：過點C作CM⊥AB，垂足為M，因為AD⊥DC，所以四邊形ADCM為矩形，所以AM＝MB＝2， 又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2，CM＝2，BC＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因為AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC. 又BE?平面BCE，BC?平面BCE，且BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. (2)因為AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM， 又CM⊥AB，AF?平面ABEF， AB?平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF. VE－BCF＝VC－BEF＝BEEFCM＝242＝. 3．電影《功夫熊貓3》預計在2016年1月29日上映．某地電影院為了了解當?shù)赜懊詫ζ眱r的看法，進行了一次調(diào)研，得到了票價x(單位：元)與渴望觀影人數(shù)y(單位：萬人)的結果如下表： x(單位：元) 30 40 50 60 y(單位：萬人) 4.5 4 3 2.5 (1)若y與x具有較強的相關關系，試分析y與x之間是正相關還是負相關； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程； (3)根據(jù)(2)中求出的線性回歸方程，預測票價定為多少元時，能獲得最大票房收入． 參考公式：＝，＝－. 解　(1)由表中數(shù)據(jù)易知，y隨x的增大而減小，故y與x之間是負相關． (2)由表中數(shù)據(jù)可得＝45，＝3.5， xiyi－4 ＝－35，x－42＝500， 則＝＝－0.07，＝3.5＋0.0745＝6.65， 所以，所求線性回歸方程為＝－0.07x＋6.65. (3)根據(jù)(2)中的線性回歸方程，若票價為x元，則渴望觀影人數(shù)為(－0.07x＋6.65)萬人， 可預測票房收入為z＝x(－0.07x＋6.65)＝－0.07x2＋6.65x， 易得，當x＝47.5時，z取得最大值，即票價定為47.5元時，能獲得最大票房收入．