高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 第2講 概率練習(xí) 理

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第2講概率1(2016課標(biāo)全國(guó)乙)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A. B. C. D.答案C解析將4種顏色的花任選2種種在一個(gè)花壇中，余下2種種在另一個(gè)花壇，有(紅黃)、(白紫)，(白紫)、(紅黃)，(紅白)、(黃紫)，(黃紫)、(紅白)，(紅紫)、(黃白)，(黃白)、(紅紫)共6種種法，其中紅色和紫色不在一個(gè)花壇的種數(shù)有(紅黃)、(白紫)，(白紫)、(紅黃)，(紅白)、(黃紫)，(黃紫)，(紅白)，共4種，故所求概率為P，選C.2(2016課標(biāo)全國(guó)乙)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()A. B. C. D.答案B解析如圖所示，畫出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過(guò)10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P，故選B.3(2016北京)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半甲、乙、丙是三個(gè)空盒，每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒重復(fù)上述過(guò)程，直到袋中所有球都被放入盒中，則()A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多答案B解析取兩個(gè)球往盒子中放有4種情況：紅紅，則乙盒中紅球數(shù)加1；黑黑，則丙盒中黑球數(shù)加1；紅黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1；黑紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1.因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣，所以和的情況一樣多和的情況完全隨機(jī)，和對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒(méi)有任何影響和出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣綜上，選B.4(2016四川)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是_答案解析由題可知，在一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功(即至少有一枚硬幣正面向上)的概率為P1，2次獨(dú)立試驗(yàn)成功次數(shù)X滿足二項(xiàng)分布XB，則E(X)2.1.以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應(yīng)用；2.將古典概型與概率的性質(zhì)相結(jié)合，考查知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.熱點(diǎn)一古典概型和幾何概型1古典概型的概率P(A).2幾何概型的概率P(A).例1(1)(2015課標(biāo)全國(guó))如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A. B. C. D.(2)(2016山東)在1,1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_答案(1)C(2)解析(1)從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為.故選C.(2)由已知得，圓心(5,0)到直線ykx的距離小于半徑，3，解得k，由幾何概型得P.思維升華(1)解答有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí)(2)在求基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性(3)當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解跟蹤演練1(1)已知函數(shù)f(x)ax3bx2x，連續(xù)拋擲兩顆骰子得到點(diǎn)數(shù)分別是a，b，則函數(shù)f(x)在x1處取得最值的概率是()A. B.C. D.(2)如圖，大正方形的面積是34，四個(gè)全等直角三角形圍成一個(gè)小正方形，直角三角形的較短邊長(zhǎng)為3，向大正方形內(nèi)拋一枚幸運(yùn)小花朵，則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為()A. B.C. D.答案(1)C(2)B解析(1)f(x)ax2bx1(a，bN*，且1a6，1b6)，其對(duì)稱軸方程為x1，即b2a，拋擲兩顆骰子得到的點(diǎn)數(shù)一共有(a，b)|a，bN*,1a6,1b6共36種等可能出現(xiàn)的情況，其中滿足b2a的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共3種情況，所以其概率為P，故選C.(2)直角三角形的較短邊長(zhǎng)為3，則較長(zhǎng)邊長(zhǎng)為5，所以小正方形邊長(zhǎng)為2，面積為4，所以向大正方形內(nèi)拋一枚幸運(yùn)小花朵時(shí)，小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為，故選B.熱點(diǎn)二相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：P(B|A).2相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)P(A)P(B)3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Cpkqnk，其中0p1，pq1，k0,1,2，n，稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作XB(n，p)，且E(X)np，D(X)np(1p)例2某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)求系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率解(1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1P()1p，解得p.(2)設(shè)“系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為事件D.“系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中發(fā)生k次故障”為事件Dk.則DD0D1，且D0、D1互斥依題意，得P(D0)C(1)3，P(D1)C(1)2，所以P(D)P(D0)P(D1).所以系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率為.思維升華求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的注意點(diǎn)：(1)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，分析復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解(2)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同跟蹤演練2(1)把一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，記“第一次拋出的是素?cái)?shù)點(diǎn)”為事件A，“第二次拋出的是合數(shù)點(diǎn)”為事件B，則P(B|A)等于()A. B. C. D.(2)如圖所示，某快遞公司送貨員從公司A處準(zhǔn)備開車送貨到某單位B處，有ACDB，AEFB兩條路線若該地各路段發(fā)生堵車與否是相互獨(dú)立的，且各路段發(fā)生堵車事件的概率如圖所示(例如ACD算作兩個(gè)路段，路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車的概率為)若使途中發(fā)生堵車事件的概率較小，則由A到B應(yīng)選擇的路線是_答案(1)D(2)AEFB解析(1)由于素?cái)?shù)點(diǎn)為2,3,5，合數(shù)點(diǎn)為4,6，則P(A)，P(B)，且事件A與事件B互斥，可得P(AB)，則所求概率為P(B|A)，故選D.(2)路線ACDB途中發(fā)生堵車事件的概率P11(1)(1)(1)，路線AEFB途中發(fā)生堵車事件的概率P21(1)(1)(1).因?yàn)閚.(1)求m與n的值；(2)該校根據(jù)三個(gè)社團(tuán)活動(dòng)安排情況，對(duì)進(jìn)入“攝影”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對(duì)進(jìn)入“棋類”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對(duì)進(jìn)入“ 國(guó)學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)的分布列及均值解(1)依題意，解得(2)由題設(shè)該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，則X的值可以為0,1,2,3,4,5,6.而P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5)；P(X6).故X的分布列為X0123456P所以E(X)0123456.1某校在2016年的中學(xué)數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)賽中有1 000人參加考試，數(shù)學(xué)考試成績(jī)N(90，2)(0，試卷滿分150分)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的考生人數(shù)約為()A200 B400 C600 D800押題依據(jù)正態(tài)分布多以實(shí)際問(wèn)題為背景，有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值，應(yīng)引起考生關(guān)注答案A解析依題意得P(70110)0.6，P(110)0.30.50.8，P(110)0.2，于是此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的考生約有021 000200(人)2位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥⑶蚁蛏?、向右移?dòng)的概率都是.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是_押題依據(jù)二項(xiàng)分布模型和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是生活中常見(jiàn)概率問(wèn)題的抽象和提煉，也是高考的熱點(diǎn)答案解析由于質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，移?dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)，所以質(zhì)點(diǎn)P必須向右移動(dòng)兩次，向上移動(dòng)三次，故其概率為C()3()2C()5C()5.3甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，比賽停止時(shí)一共已打局(1)列出隨機(jī)變量的分布列；(2)求的均值E()押題依據(jù)利用隨機(jī)變量求解概率問(wèn)題是高考的必考點(diǎn)，一般以解答題形式出現(xiàn)，考查離散型隨機(jī)變量的均值解(1)依題意知，的所有可能取值為2,4,6.設(shè)每2局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為()2()2.若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得1分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響則有P(2)，P(4)，P(6)()2，所以的分布列為246P(2)E()246.A組專題通關(guān)1一枚硬幣連擲2次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為()A. B.C. D.答案D解析一枚硬幣連擲2次可能出現(xiàn)(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四種情況，只有一次出現(xiàn)正面的情況有兩種，P，故選D.2某高中數(shù)學(xué)老師從一張測(cè)試卷的12道選擇題、4道填空題、6道解答題中任取3道題作分析，則在取到選擇題時(shí)解答題也取到的概率為()A.B.C.D.答案C解析從題設(shè)22道題中任取3題，選到選擇題的選法有(CC)種，選到選擇題也選到解答題的選法可分兩類，選到1道選擇題，或選到2道選擇題，因此方法數(shù)為C(CCC)CC，所以所求概率為P，故選C.3已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)i(x)e(xR，i1,2,3)的圖象如圖所示，則()A13B123，123C123，123D123，123答案D解析正態(tài)曲線關(guān)于直線x對(duì)稱，由題圖可知123；而決定正態(tài)曲線的形狀，越小，圖象越“瘦而高”，越大，圖象越“胖而矮”，所以123，故選D.4甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員射擊命中環(huán)數(shù)，的分布列如下表其中射擊成績(jī)比較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員是()環(huán)數(shù)k8910P(k)0.30.20.5P(k)0.20.40.4A.甲 B乙C一樣 D無(wú)法比較答案B解析由題中分布列可得，E()0.380.290.5109.2，E()0.280.490.4109.2E()，D()(89.2)20.3(99.2)20.2(109.2)20.50.76，D()(89.2)20.2(99.2)20.4(109.2)20.40.56，則p的取值范圍是_答案(0，)解析由已知得P(1)p，P(2)(1p)p，P(3)(1p)2，則E()p2(1p)p3(1p)2p23p3，解得p或p3)0.158 7，則P(1)_.答案0.841 3解析因?yàn)镹(2,1)，且P(3)0.158 7，所以P(3)0.158 7，所以P(1)1P(1)10.158 70.841 3.10有三位環(huán)保專家從四個(gè)城市中每人隨機(jī)選取一個(gè)城市完成一項(xiàng)霧霾天氣調(diào)查報(bào)告，三位專家選取的城市可以相同，也可以不同(1)求三位環(huán)保專家選取的城市各不相同的概率；(2)設(shè)選取某一城市的環(huán)保專家有人，求的分布列及均值解(1)事件A表示“三位環(huán)保專家選取的城市各不相同”，則P(A).(2)由題意可知0,1,2,3，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，故的分布列為0123P均值E()0123.B組能力提高11某人射擊一次擊中的概率為，經(jīng)過(guò)3次射擊，此人至少有2次擊中目標(biāo)的概率為()A. B. C. D.答案C解析該人3次射擊，恰有2次擊中目標(biāo)的概率是P1C2，3次全部擊中目標(biāo)的概率是P2C3，所以此人至少有2次擊中目標(biāo)的概率是PP1P2C2C3.12先后擲兩次骰子(骰子的六個(gè)面上分別有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn))，落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A為“xy為偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)且xy”，則概率P(B|A)等于()A. B.C. D.答案B解析正面朝上的點(diǎn)數(shù)(x，y)的不同結(jié)果共有CC36(種)事件A：“xy為偶數(shù)”包含事件A1：“x，y都為偶數(shù)”與事件A2：“x，y都為奇數(shù)”兩個(gè)互斥事件，其中P(A1)，P(A2)，所以P(A)P(A1)P(A2).事件B為“x，y中有偶數(shù)且xy”，所以事件AB為“x，y都為偶數(shù)且xy”，所以P(AB).由條件概率的計(jì)算公式，得P(B|A).13(2015湖南)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒(méi)有紅球，則不獲獎(jiǎng)(1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的分布列和均值解(1)記事件A1從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球，A2從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球，B1顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)，B2顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)，C顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)由題意，A1與A2相互獨(dú)立，A12與1A2互斥，B1與B2互斥，且B1A1A2，B2A121A2，CB1B2.因?yàn)镻(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(B2)P(A121A2)P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2)P(A1)1P(A2)1P(A1)P(A2).故所求概率為P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2).(2)顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由(1)知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為，所以XB.于是P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C30.故X的分布列為X0123PX的均值為E(X)3.