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第三步 應試技能專訓 一、客觀題專練
(一)
一、選擇題
1.設U＝R，集合A＝，B＝{x∈R|0
0)，故選C.
4.(x2－2)5的展開式中x－1的系數(shù)為( )
A.60 B．50
C.40 D．20
答案 A
解析 由通項公式得展開式中x－1的系數(shù)為
23C－22C＝60.
5.已知變量x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最大值為( )
A.1 B．2
C.3 D．4
答案 B
解析 畫出可行域得知，當直線y＝z－2x過點(1,0)時，z取得最大值2.
6.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝e1－x2 B．f(x)＝ex2－1
C.f(x)＝ex2－1 D．f(x)＝ln (x2－1)
答案 A
解析 A中，令f(x)＝eu，u＝1－x2，易知當x<0時，u為增函數(shù)，當x>0時，u為減函數(shù)，所以當x<0時，f(x)為增函數(shù)，當x>0時，f(x)為減函數(shù)，故A可能是；B、C中同理可知，當x<0時，f(x)為減函數(shù)，當x>0時，f(x)為增函數(shù)，故B、C不是；D中，當x＝0時，無意義，故D不是，選A.
7.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是( )
A．f(x)＝sin
B.f(x)＝sin
C.f(x)＝sin
D.f(x)＝sin
答案 B
解析 由圖可以判斷|A|<1，T>2π，則|ω|<1，f(0)>0，f(π)>0，f(2π)<0，只有選項B滿足上述條件.
8.已知一個算法的程序框圖如圖所示，當輸出的結(jié)果為0時，輸入的x值為( )
A．－2 B．－2或－1
C.1或－3 D．－2或
答案 D
解析 當x≤0時，由y＝x－4＝0得x＝－2；
當x>0時，由y＝log3x＋1＝0得x＝.
9.高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積是原直三棱柱的體積的( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由側(cè)視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為2(2＋4)＝6的四棱錐，其體積為4.易知直三棱柱的體積為8，則該幾何體的體積是原直三棱柱的體積的＝，故選C.
10.[2016貴陽監(jiān)測]已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)與函數(shù)y＝的圖象交于點P，若函數(shù)y＝的圖象在點P處的切線過雙曲線左焦點F(－2,0)，則雙曲線的離心率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 設P(x0，)，因為函數(shù)y＝的導數(shù)為y′＝，所以切線的斜率為.又切線過雙曲線的左焦點F(－2,0)，所以＝，解得x0＝2，所以P(2，)．因為點P在雙曲線上，所以－＝1?、?又c2＝22＝a2＋b2 ②，聯(lián)立①②解得a＝或a＝2(舍)，所以e＝＝＝，故選B.
11．[2015山西四校聯(lián)考]在正三棱錐S－ABC中，M是SC的中點，且AM⊥SB，底面邊長AB＝2，則正三棱錐S－ABC的外接球的表面積為( )
A．6π B．12π
C．32π D．36π
答案 B
解析 如圖，取CB的中點N，連接MN，AN，則MN∥SB.由于AM⊥SB，所以AM⊥MN.由正三棱錐的性質(zhì)易知SB⊥AC，結(jié)合AM⊥SB知SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC.又正三棱錐的三個側(cè)面是全等的三角形，所以SA⊥SC，所以正三棱錐S－ABC為正方體的一個角，所以正三棱錐S－ABC的外接球即為正方體的外接球．由AB＝2，得SA＝SB＝SC＝2，所以正方體的體對角線為2，所以所求外接球的半徑R＝，其表面積為4πR2＝12π，故選B.
12．[2016重慶質(zhì)檢]設f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，且f′(x)>2f(x)(x∈R)，f＝e(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則不等式f(ln x)0，因此函數(shù)g(x)在R上是增函數(shù)，且g＝＝1.不等式f(ln x)0}，則A∪B＝( )
A．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)
B．(2,3]
C．(－∞，3]∪(4，＋∞)
D．[－2,2)
答案 A
解析 因為B＝{x|x>2或x<－4}，所以A∪B＝{x|x<－4或x≥－2}，故選A.
3．設x，y∈R，則“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的( )
A．既不充分又不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．充分不必要條件
答案 D
解析 當x≥1，y≥1時，x2≥1，y2≥1，所以x2＋y2≥2；而當x＝－2，y＝－4時，x2＋y2≥2仍成立，所以“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的充分不必要條件，故選D.
4．據(jù)我國西部各省(區(qū)，市)2013年人均地區(qū)生產(chǎn)總值(單位：千元)繪制的頻率分布直方圖如圖所示，則人均地區(qū)生產(chǎn)總值在區(qū)間[28,38)上的頻率是( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.7
答案 A
解析 依題意，由圖可估計人均地區(qū)生產(chǎn)總值在區(qū)間[28,38)上的頻率是1－(0.08＋0.06)5＝0.3，選A.
5. 如圖，在三棱錐P－ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是( )
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
答案 B
解析 A中，因為AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因為平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出AP⊥BC，故選B.
6．執(zhí)行如下程序框圖，則輸出結(jié)果為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 C
解析 依次執(zhí)行框圖中的語句：n＝1，S＝0，T＝20；T＝10，S＝1，n＝2；T＝5，S＝3，n＝3；T＝，S＝6，n＝4，跳出循環(huán)，輸出的n＝4，故選C.
7．[2016合肥質(zhì)檢]在(x＋1)k的展開式中含x2項系數(shù)與含x10項系數(shù)相等，則正整數(shù)n的取值為( )
A．12 B．13
C．14 D．15
答案 B
解析 由二項式定理可知，(x＋1)k的展開式中x2項的系數(shù)為＝＝＝－＝，x10項的系數(shù)為，將選項中的數(shù)值代入驗證，從而可知當n＝13時，＝＝364，＝1＋11＋66＋286＝364，故選B.
8．甲、乙兩個幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同，俯視圖不同，如圖所示，記甲的體積為V甲，乙的體積為V乙，則( )
A．V甲V乙 D．V甲、V乙大小不能確定
答案 C
解析 由三視圖知，甲幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，乙?guī)缀误w是在甲幾何體的基礎上去掉一個角，即去掉一個三個面是直角三角形的三棱錐后得到的一個三棱錐，所以V甲>V乙，故選C.
9．[2015江西南昌調(diào)研]設兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的兩個實根，且0≤c≤，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是( )
A.， B.，
C.， D.，
答案 A
解析 因為a，b是方程x2＋x＋c＝0的兩個實根，所以ab＝c，a＋b＝－1.又直線x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0的距離d＝，所以d2＝2＝＝＝－2c，因為0≤c≤，所以－2≤－2c≤－20，得≤－2c≤，所以≤d≤，故選A.
10．[2016鄭州質(zhì)檢]已知函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈，?x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥1
C．a(chǎn)≤2 D．a(chǎn)≥2
答案 A
解析 由題意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因為f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故選A.
11．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點F(－c,0)關于直線bx＋cy＝0的對稱點P在橢圓上，則橢圓的離心率是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 設焦點F(－c,0)關于直線bx＋cy＝0的對稱點為P(m，n)，
則所以
所以m＝＝＝(1－2e2)c，
n＝＝＝2be2.
因為點P(m，n)在橢圓上，所以＋＝1，即(1－2e2)2e2＋4e4＝1，即4e6＋e2－1＝0，將各選項代入知e＝符合，故選D.
12．[2016武昌調(diào)研]已知函數(shù)f(x)＝sinx－xcosx.現(xiàn)有下列結(jié)論：
①?x∈[0，π]，f(x)≥0；
②若0，即<，所以②正確；
當x>0時，“>a”等價于“sinx－ax>0”，
令g(x)＝sinx－cx，則g′(x)＝cosx－c，
當c≤0時，g(x)>0對x∈恒成立；
當c≥1時，因為對?x∈.
g′(x)＝cosx－c<0，
所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
從而，g(x)0，g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，且g(x)>g(0)＝0；
若x∈時，g′(x0)<0，g(x)在上單調(diào)遞減，
要使g(x)＝sinx－cx>0在上恒成立，
必須使g＝sin－c＝1－c≥0恒成立，即00對?x∈恒成立；
當c≥1時，g(x)<0，對?x∈恒成立，
所以若a<0}，則A∩(?UB)等于( )
A.{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}
C．{x|00得－30，b>0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為4，則b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 B
解析 由題意得，＝2?b＝2a，C2的焦距2c＝4?c＝＝2?b＝4，故選B.
6．運行下面的程序，如果輸出的S＝，那么判斷框內(nèi)是( )
A．k≤2013? B．k≤2014?
C．k≥2013? D．k≥2014?
答案 B
解析 當判斷框內(nèi)是k≤n？時，S＝＋＋…＋＝1－，若S＝，則n＝2014.
7．[2016鄭州質(zhì)檢]將函數(shù)f(x)＝sin的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)具有性質(zhì)( )
A．最大值為1，圖象關于直線x＝對稱
B．在上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)
C．在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)
D．周期為π，圖象關于點對稱
答案 B
解析 由題意得，g(x)＝sin＝sin(2x－π)＝－sin2x，對于A，最大值為1正確，而g＝0，圖象不關于直線x＝對稱，故A錯誤；對于B，當x∈時，2x∈，滿足單調(diào)遞減，顯然g(x)也是奇函數(shù)，故B正確；C顯然錯誤；對于D，周期T＝＝π，g＝－，故圖象不關于點對稱，故選B.
8．[2016重慶測試]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A. B．2
C. D．3
答案 C
解析 依題意，如圖所示，題中的幾何體是從正三棱柱ABC－A1B1C1中截去一個三棱錐B－A1B1E(其中點E是B1C1的中點)后剩余的部分，其中正三棱柱ABC－A1B1C1的底面是一個邊長為2的正三角形、高為3，因此該幾何體的體積為3－3＝，選C.
9．[2016福建質(zhì)檢]若橢圓上存在三點，使得這三點與橢圓中心恰好是一個正方形的四個頂點，則該橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 設橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，根據(jù)橢圓與正方形的對稱性，可畫出滿足題意的圖象，如圖所示，因為|OB|＝a，所以|OA|＝a，所以點A的坐標為，又點A在橢圓上，所以＋＝1，所以a2＝3b2，所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，所以橢圓的離心率e＝＝，故選D.
10．[2016貴州適應性考試]已知M為不等式組
表示的平面區(qū)域，直線l：y＝2x＋a，當a從－2連續(xù)變化到0時，區(qū)域M被直線l掃過的面積為( )
A. B．2
C. D.
答案 D
解析 作出圖形可得區(qū)域M被直線l掃過的面積為x2dx－12＝x3－1＝(8－1)－1＝，選項D正確．
11．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＝a，C＝，S△ABC＝sin2A，則S△ABC＝( )
A. B.
C. D．2
答案 A
解析 解法一：由b＝a，C＝，得S△ABC＝absinC＝aa＝a2，又S△ABC＝sin2A，則＝sin2A，故＝sinA，即＝2，由＝，得＝2，所以c＝2sinC＝1，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得a2＋3a2－1＝2aa，整理得4a2－1＝3a2，a2＝1，所以a＝1，故S△ABC＝.
解法二：由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得a2＋(a)2－c2＝2aacos，即a2＝c2，故a＝c，從而有A＝C＝，所以S△ABC＝sin2A＝sin2＝，故選A.
12．[2016?？谡{(diào)研]已知曲線f(x)＝ke－2x在點x＝0處的切線與直線x－y－1＝0垂直，若x1，x2是函數(shù)g(x)＝f(x)－|ln x|的兩個零點，則( )
A．13)＝0.5，P(13)－P(30}，集合B＝{x|1－x>0}，則A∩B等于( )
A．(1,3) B．(－∞，－1)
C．(－1,3) D．(－1,1)
答案 D
解析 ∵A＝(－1,3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1,1)．
3. 一次數(shù)學考試后，某老師從自己所帶的兩個班級中各抽取5人，記錄他們的考試成績，得到如圖所示的莖葉圖．已知甲班5名同學成績的平均數(shù)為81，乙班5名同學成績的中位數(shù)為73，則x－y的值為( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
答案 D
解析 由題意得，＝81?x＝0，易知y＝3，∴x－y＝－3，故選D.
4．已知l，m，n為不同的直線，α，β，γ為不同的平面，則下列判斷正確的是( )
A．若m∥α，n∥α，則m∥n
B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n
C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，則m∥l
D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，則l⊥α
答案 C
解析 A項，m，n可能的位置關系為平行，相交，異面，故A錯誤；B項，根據(jù)面面垂直與線面平行的性質(zhì)可知B錯誤；C項，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知C正確；D項，若m∥n，根據(jù)線面垂直的判定可知D錯誤，故選C.
5．△ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若cosA＝，c－a＝2，b＝3，，則a＝( )
A．2 B.
C．3 D.
答案 A
解析 由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccosA?a2＝9＋(a＋2)2－23(a＋2)?a＝2，故選A.
6.[2016東北三省聯(lián)考]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是線段CD的中點，則三棱錐P－A1B1A的側(cè)視圖為( )
答案 D
解析 如圖，畫出原正方體的側(cè)視圖，顯然對于三棱錐P－A1B1A，B(C)點均消失了，其余各點均在，從而其側(cè)視圖為D.
7．[2016合肥質(zhì)檢]執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的n的值為( )
A．10 B．11
C．1024 D．2048
答案 C
解析 該程序框圖共運行10次，S＝1＋2＋22＋…＋210＝2047，輸出的n＝210＝1024，選項C正確．
8．[2016河南六市一聯(lián)]實數(shù)x，y滿足使z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有2個，則z1＝ax＋y＋1的最小值為( )
A．0 B．－2
C．1 D．－1
答案 A
解析 畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，∵z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有2個，∴－a＝1，a＝－1，∴當x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1時，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，∴ax＋y＋1的最小值是0，故選A.
9．已知a，b都是實數(shù)，命題p：a＋b＝2；命題q：直線x＋y＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，則p是q的( )
A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 由直線x＋y＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，得＝，即a＋b＝2，∴p是q的充分但不必要條件．
10．[2016山西質(zhì)檢]若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象關于直線x＝對稱，且當x1，x2∈，x1≠x2時，f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝( )
A. B.
C. D．1
答案 C
解析 由題意得，2＋φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，∵|φ|<，∴k＝0，φ＝，
又x1，x2∈，∴2x1＋，2x2＋∈(0，π)，
∴＝，解得x1＋x2＝，
∴f(x1＋x2)＝sin＝，故選C.
11．[2016云南統(tǒng)檢]已知雙曲線M的焦點F1、F2在x軸上，直線x＋3y＝0是雙曲線M的一條漸近線，點P在雙曲線M上，且＝0，如果拋物線y2＝16x的準線經(jīng)過雙曲線M的一個焦點，那么||||＝( )
A．21 B．14
C．7 D．0
答案 B
解析 設雙曲線方程為＋＝1(a>0，b>0)，
∵直線x＋3y＝0是雙曲線M的一條漸近線，
∴＝①，又拋物線的準線為x＝－4，∴c＝4②，
又a2＋b2＝c2③，
∴由①②③得a＝3.
設點P為雙曲線右支上一點，
∴由雙曲線定義得|||－|||＝6④，
又＝0，∴⊥，∴在Rt△PF1F2中||2＋||2＝82⑤，聯(lián)立④⑤，解得||||＝14.
12．[2016石家莊質(zhì)檢]已知函數(shù)f(x)＝x＋ex－a，g(x)＝ln (x＋2)－4ea－x，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù)x0使f(x0)－g(x0)＝3成立，則實數(shù)a的值為( )
A．－ln 2－1 B．－1＋ln 2
C．－ln 2 D．ln 2
答案 A
解析 由題意得，f(x0)－g(x0)＝x0＋ex0－a－ln (x0＋2)＋4e a－x0＝3，即ex0－a＋4ea－x0＝ln (x0＋2)＋3－x0，令h(x)＝ln (x＋2)＋3－x，∴h′(x)＝－1＝，∴h(x)在(－2，－1)上單調(diào)遞增，(－1，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴h(x)max＝h(－1)＝4，而ex0－a＋4ea－x0≥
2＝4，
當且僅當ex0－a＝4e a－x0，即ex0－a＝2時，等號成立，
∴e－1－a＝2，∴a＝－1－ln 2，故選A.
二、填空題
13．已知向量a，b的夾角為，|a|＝，|b|＝2，則a(a－2b)＝________.
答案 6
解析 a(a－2b)＝a2－2ab＝2－22＝6.
14.n展開式中的常數(shù)項是70，則n＝________.
答案 4
解析 ∵n＝n＝2n，
∴Tr＋1＝C(－1)rx2n－r－r，∴C＝70，又C＝70，
∴n＝4.
15．[2016?？谡{(diào)研]半徑為2的球O中有一內(nèi)接正四棱柱(底面是正方形，側(cè)棱垂直底面)．當該正四棱柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是________．
答案 16(π－)
解析 依題意，設球的內(nèi)接正四棱柱的底面邊長為a、高為h，則有16＝2a2＋h2≥2ah，即4ah≤16，該正四棱柱的側(cè)面積S＝4ah≤16，當且僅當h＝a＝2時取等號．因此，當該正四棱柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是4π22－16＝16(π－)．
16．已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，前n項和為Sn，且Sn＝2Sn－1＋1(n≥2，且n∈N*)，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b1＝a1，b4＝a1＋a2＋a3.設cn＝，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，則T10＝________.
答案
解析 解法一：數(shù)列{an}的首項a1＝1，前n項和為Sn，且Sn＝2Sn－1＋1(n≥2，且n∈N*)，∴當n＝2時，a1＋a2＝2a1＋1，∴a2＝2，當n≥3時，an＝Sn－Sn－1＝2Sn－1－2Sn－2＝2an－1，又a2＝2a1，∴an＝2an－1(n≥2，且n∈N*)，數(shù)列{an}為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝2n－1，a3＝22＝4.設數(shù)列{bn}的公差為d，又b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，∴d＝2，bn＝1＋(n－1)2＝2n－1，cn＝＝＝，
∴T10＝＋－＋…＋－＝＝.
解法二：∵數(shù)列{an}的首項a1＝1，前n項和為Sn，且Sn＝2Sn－1＋1(n≥2，且n∈N*)，∴當n＝2時，a1＋a2＝2a1＋1，∴a2＝2，當n＝3時，a1＋a2＋a3＝2a1＋2a2＋1，
∴a3＝4.設數(shù)列{bn}的公差為d，又b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，∴d＝2，bn＝1＋(n－1)2＝2n－1，cn＝＝＝，
∴T10＝＝＝.
高考數(shù)學大二輪專題復習 第三編 考前沖刺攻略 第三步 應試技能專訓 一 客觀題專練 理
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