高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 突破點(diǎn)17 函數(shù)與方程教師用書 理

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突破點(diǎn)17函數(shù)與方程提煉1函數(shù)yf(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷(1)代數(shù)法：求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根(2)幾何法：對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)(3)定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，即如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn).提煉2已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍問題，一般利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題要注意觀察是否需要將一個(gè)復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相對(duì)較為簡(jiǎn)單的函數(shù)，常轉(zhuǎn)化為定曲線與動(dòng)直線問題回訪1函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷1(2015湖北高考)函數(shù)f(x)2sin xsinx2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_2f(x)2sin xsinx22sin xcos xx2sin 2xx2，由f(x)0，得sin 2xx2.設(shè)y1sin 2x，y2x2，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出二者的圖象，如圖所示由圖象知，兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)2(2014福建高考)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_2當(dāng)x0時(shí)，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x0時(shí)，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)又因?yàn)閒(2)2ln 20，f(2)f(3)0，所以f(x)在(2,3)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.回訪2已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍3(2015湖南高考)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_(0,2)由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示，則當(dāng)0b2時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn)4(2014天津高考)已知函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_1a2畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示函數(shù)yf(x)a|x|有4個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y1a|x|的圖象與函數(shù)f(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)(根據(jù)圖象知需a0)當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y1a|x|的圖象有3個(gè)交點(diǎn)故a2.當(dāng)y1a|x|(x0)與y|x25x4|相切時(shí)，在整個(gè)定義域內(nèi)，f(x)的圖象與y1a|x|的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，由得x2(5a)x40.由0得(5a)2160，解得a1，或a9(舍去)，則當(dāng)1a2時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1a2.熱點(diǎn)題型1函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷題型分析：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷常與函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性相結(jié)合命題，難度中等偏難.(1)(2016秦皇島模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：圖象關(guān)于(1,0)點(diǎn)對(duì)稱；f(1x)f(1x)；當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)則函數(shù)yf(x)|x|在區(qū)間3,3上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為() A5B6C7D8(2)(2016鄭州二模)已知定義在R上的奇函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)logx，則方程f(x)10在(0,6)內(nèi)的零點(diǎn)之和為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952062】A8B10 C12D16(1)A(2)C(1)因?yàn)閒(1x)f(1x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，如圖所示，畫出f(x)以及g(x)|x|在3,3上的圖象，由圖可知，兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，所以函數(shù)yf(x)|x|在區(qū)間3,3上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，故選A.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)1x0時(shí)，f(x)f(x)log(x)，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x2k1，kZ，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，由圖易得直線y1與函數(shù)f(x)的圖象在(0,6)內(nèi)有四個(gè)交點(diǎn)，且分別關(guān)于直線x1和x5對(duì)稱，所以方程f(x)10在(0,6)內(nèi)的零點(diǎn)之和為212512，故選C.求解此類函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題時(shí)，通常把它轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題來解決函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)g(x)的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)yg(x)的圖象與函數(shù)yf(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)其解題的關(guān)鍵步驟為：分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)；在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即原函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)提醒：在畫函數(shù)圖象時(shí)，切忌隨手一畫，注意“草圖不草”，畫圖時(shí)應(yīng)注意基本初等函數(shù)圖象的應(yīng)用，以及函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等)的適時(shí)運(yùn)用，可加快畫圖速度，從而將問題簡(jiǎn)化變式訓(xùn)練1(1)(2016合肥二模)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)則關(guān)于x的函數(shù)F(x)f(x)a(0a1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A2B3 C4D5(2)已知函數(shù)f(x)cos x，g(x)2|x2|，x2,6，則函數(shù)h(x)f(x)g(x)的所有零點(diǎn)之和為()A6B8 C10D12(1)D(2)D(1)在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yf(x)和ya(0a1)的圖象，如圖所示：兩圖象共有5個(gè)交點(diǎn)，所以F(x)有5個(gè)零點(diǎn)(2)函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)之和可轉(zhuǎn)化為f(x)g(x)的根之和，即轉(zhuǎn)化為y1f(x)和y2g(x)兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和又由函數(shù)g(x)2|x2|與f(x)的圖象均關(guān)于x2對(duì)稱，可知函數(shù)h(x)的零點(diǎn)之和為12.熱點(diǎn)題型2已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍題型分析：已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，對(duì)學(xué)生的畫圖能力有較高要求.(1)(2016重慶模擬)已知函數(shù)f(x)且g(x)f(x)mxm在(1,1內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是() A.B.C.D.(2)(名師押題)已知函數(shù)f(x)g(x)kx1(xR)，若函數(shù)yf(x)g(x)在x2,3內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B(2，)C. D(2，4(1)A(2)C(1)令g(x)0，則f(x)m(x1)，故函數(shù)g(x)在(1,1內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)yf(x)的圖象與直線ym(x1)有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)函數(shù)f(x)的圖象如圖中實(shí)線所示易求kAB，kAC2，過A(1,0)作曲線的切線，不妨設(shè)切線方程為yk(x1)，由得kx2(2k3)x2k0，則(2k3)24k(2k)0，解得k.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.(2)當(dāng)x0時(shí)，顯然有f(x)g(x)，即x0不是yf(x)g(x)的零點(diǎn)當(dāng)x0時(shí)，yf(x)g(x)在x2,3內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程f(x)g(x)(2x3)的實(shí)根的個(gè)數(shù)當(dāng)0x3時(shí)，有kx1x23，即kx；當(dāng)2x0時(shí)，有kx114xcos x，即k4cos x.則yf(x)g(x)(2x3)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)yk與y的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖知2k，故選C.求解此類逆向問題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)：一是將原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問題，并進(jìn)行適當(dāng)化簡(jiǎn)、整理；二是構(gòu)造新的函數(shù)，把方程根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造的兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；三是對(duì)新構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行畫圖；四是觀察圖象，得參數(shù)的取值范圍提醒：把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，在構(gòu)造兩個(gè)新函數(shù)的過程中，一般是構(gòu)造圖象易得的函數(shù)，最好有一條是直線，這樣在判斷參數(shù)的取值范圍時(shí)可快速準(zhǔn)確地得到結(jié)果變式訓(xùn)練2(1)(2016湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952063】A. BC D(2)(2016汕頭一模)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒有f(x)f(x)0，當(dāng)x1,0時(shí)，f(x)x2，若g(x)f(x)logax在x(0，)上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為()A3,5 B4,6C(3,5) D(4,6)(1)C(2)C(1)令yf(2x21)f(x)0，且f(x)是奇函數(shù)，則f(2x21)f(x)f(x)，又因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以2x21x只有一個(gè)零點(diǎn)，即2x2x10只有一個(gè)零點(diǎn)，則18(1)0，解得，故選C.(2)因?yàn)閒(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性作出f(x)的圖象如圖所示：因?yàn)間(x)f(x)logax在x(0，)上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，所以yf(x)和ylogax的圖象在(0，)上只有三個(gè)交點(diǎn)，所以解得3a5.