高三數(shù)學上學期第四次月考試題 文（實驗班）

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衡陽八中2016年下期高三年級第四次月考試卷 文數(shù)（試題卷） 注意事項： 1.本卷為衡陽八中高三年級實驗班第四次月考試卷，分兩卷。其中共22題，滿分150分，考試時間為120分鐘。 2.考生領(lǐng)取到試卷后，應(yīng)檢查試卷是否有缺頁漏頁，重影模糊等妨礙答題現(xiàn)象，如有請立即向監(jiān)考老師通報。開考15分鐘后，考生禁止入場，監(jiān)考老師處理余卷。 3.請考生將答案填寫在答題卡上，選擇題部分請用2B鉛筆填涂，非選擇題部分請用黑色0.5mm簽字筆書寫?？荚嚱Y(jié)束后，試題卷與答題卡一并交回。 ★預?？忌荚図樌? 第I卷 選擇題（每題5分，共60分） 本卷共12題，每題5分，共60分，在每題后面所給的四個選項中，只有一個是正確的。 1.已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B為整數(shù)集，則A∩B=（ ） A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 2.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ） A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 3.函數(shù)的最小正周期為（ ） A． B． C． D． 4.如圖圓C內(nèi)切于扇形AOB，∠AOB=，若在扇形AOB內(nèi)任取一點，則該點在圓C內(nèi)的概率為（ ） A． B． C． D． 5.已知f（x）為偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，滿足f[f（a）]=的實數(shù)a的個數(shù)為（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 6. 設(shè)向量=（1，sinθ），=（3sinθ，1），且∥，則cos2θ等于（ ） A． B． C． D． 7.已知實數(shù)，且滿足，， 則的最大值為（ ） A．1 B．2 C． D． 8.明代程大位《算法統(tǒng)宗》卷10中有題：“遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增，共燈三百八十一，尖頭兒（ ）盞燈？” A．2 B．3 C．4 D．7 9.一個幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為的兩個全等的等腰直角三角形，俯視圖是圓心角為的扇形，則該幾何體的側(cè)面積為（ ） A． B． C． D． 10.給出計算的值的一個程序框圖如圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（ ） A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20 11.已知雙曲線：（）的上焦點為（），是雙曲線下支上的一點，線段與圓相切于點，且，則雙曲線的漸進線方程為（ ） A． B． C． D． 12.設(shè)直線，分別是函數(shù)圖象上點，處的切線，與垂直相交于點，且，分別與軸相交于點，，則的面積的取值范圍是（ ） A．（0,1） B．（0,2） C． D． 第II卷 非選擇題（共90分） 二.填空題（每題5分，共20分） 13.已知函數(shù)f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是 ． 14.已知點 A（0，2）為圓M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一點，圓M上存在點T使得∠MAT=45，則實數(shù)a的取值范圍是 ． 15.長方體的8個頂點都在球的表面上，為的中點，，，且四邊形為正方形，則球的直徑為 . 16.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米．已知每出售1mL飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm，則瓶子半徑為 cm時，每瓶飲料的利潤最小． 三.解答題（共6題，共70分） 17.（本題滿分12分） 已知數(shù)列an的各項為正數(shù)，前n和為Sn，且． （1）求證：數(shù)列an是等差數(shù)列； （2）設(shè)，求Tn． 18.（本題滿分12分） 如圖，矩形中，對角線的交點為⊥平面 為上的點，且． （I） 求證：⊥平面； （II）求三棱錐的體積． 19.（本題滿分12分） 某種商品在50個不同地區(qū)的零售價格全部介于13元與18元之間，將各地價格按如下方式分成五組：第一組；第二組，……，第五組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖. （1）求價格在內(nèi)的地區(qū)數(shù)，并估計該商品價格的中位數(shù)（精確到0.1）； （2）設(shè)表示某兩個地區(qū)的零售價格，且已知，求事件“”的概率. 20.（本題滿分12分） 已知點P在橢圓C： +=1（a＞b＞0）上，以P為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F2，且?=2，tan∠OPF2=，其中O為坐標原點． （1）求橢圓C的方程； （2）已知點M（﹣1，0），設(shè)Q是橢圓C上的一點，過Q、M兩點的直線l交y軸于點N，若=2，求直線l的方程； （3）作直線l1與橢圓D： +=1交于不同的兩點S，T，其中S點的坐標為（﹣2，0），若點G（0，t）是線段ST垂直平分線上一點，且滿足?=4，求實數(shù)t的值． 21.（本題滿分12分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，試求a的取值范圍； （Ⅲ）記g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．當a=1時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[e﹣1，e]上有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍． 【選做題】請考生從22、23題中任選一題作答，共10分 22.（選修4-4.坐標系與參數(shù)方程） 在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為，（?為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點P的極坐標為． （Ⅰ）求點P的直角坐標，并求曲線C的普通方程； （Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C的兩個交點為A，B，求|PA|+|PB|的值． 23.（選修4-5.不等式選講） 已知函數(shù)． （1）解不等式； （2）若不等式的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍．  衡陽八中2016年下期高三實驗班第四次月考文數(shù)參考答案 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A C D D A B C A D A 13.（1，3] 14.≤a＜1或a≤ 15.4或 16.1 17. 解：（1）， n=1時，，∴ 所以（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0， ∵an+an﹣1＞0 ∴an﹣an﹣1=1，n≥2， 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列（6分） （2）由（1），所以 （9分） ∴ =（12分） 18. （I）證明：面，， 面，平面 ．…………………………………4分 又，且， 面．……………………………………………………5分 （II）∵在中，，， ∴點是的中點，且點是的中點，…………………… 7分 ∴且． …………………………………8分 面，面． ∴是三棱錐的高 …………………9分 在中，，且是的中點， ．……………………………11分 ．………………………………12分 19.(1) ；（6分）(2)（12分） （2）由直方圖知，價格在的地區(qū)數(shù)為，記為；價格在的地區(qū)數(shù)為，記為，若時，有3種情況；若時，有6種情況；若分別在和內(nèi)時，共有12種情況. 所以基本事件總數(shù)為21種， 事件“”所包含的基本事件個數(shù)有12種. 20. 解：（Ⅰ）由題意知，在△OPF2中，PF2⊥OF2， 由，得：， 設(shè)r為圓P的半徑，c為橢圓的半焦距， ∵，∴， 又，，解得：， ∴點P的坐標為，…1分 ∵點P在橢圓C：上，∴， 又a2﹣b2=c2=2，解得：a2=4，b2=2， ∴橢圓C的方程為．…3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C的方程為， 由題意知直線l的斜率存在，故設(shè)其斜率為k， 則其方程為y=k（x+1），N（0，k）， 設(shè)Q（x1，y1），∵， ∴（x1，y1﹣k）=2（﹣1﹣x1，﹣y1）， ∴，…4分 又∵Q是橢圓C上的一點，∴， 解得k=4， ∴直線l的方程為4x﹣y+4=0或4x+y+4=0．…6分 （Ⅲ）由題意知橢圓D：， 由S（﹣2，0），設(shè)T（x1，y1）， 根據(jù)題意可知直線l1的斜率存在， 設(shè)直線斜率為k，則直線l1的方程為y=k（x+2）， 把它代入橢圓D的方程，消去y， 整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0， 由韋達定理得， 則，y1=k（x1+2）=， 所以線段ST的中點坐標為，， （1）當k=0時，則有T（2，0），線段ST垂直平分線為y軸， ∴， 由，解得：．…9分 （2）當k≠0時，則線段ST垂直平分線的方程為y﹣=﹣（x+）， ∵點G（0，t）是線段ST垂直平分線的一點， 令x=0，得：， ∴， 由，解得：， 代入，解得：，……11分 綜上，滿足條件的實數(shù)t的值為或．…12分 21. 解：（Ⅰ）直線y=x+2的斜率為1，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）， 因為，所以，，所以，a=1． 所以，，． 由f（x）＞0解得x＞2；由f（x）＜0，解得 0＜x＜2． 所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，2）．（3分） （Ⅱ），由f（x）＞0解得； 由f（x）＜0解得． 所以，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減． 所以，當時，函數(shù)f（x）取得最小值，．因為對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立， 所以，即可． 則． 由解得． 所以，a的取值范圍是．（7分） （Ⅲ） 依題得，則． 由g（x）＞0解得 x＞1； 由g（x）＜0解得 0＜x＜1． 所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）為增函數(shù)． 又因為函數(shù)g（x）在區(qū)間[e﹣1，e]上有兩個零點，所以， 解得． 所以，b的取值范圍是．（12分） 22. 解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐標為； 由得cosφ=，sinφ=．∴曲線C的普通方程為．（5分） （Ⅱ）將代入得t2+2t﹣8=0， 設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8， ∵P點在直線l上， ∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．（10分） 23.（1）（2） 當時，由，解得； 當時，，不成立； 當時，由，解得． 所以不等式的解集為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）∵，∴， 又不等式的解集不是空集， 所以，，所以， 即實數(shù)的取值范圍是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考點：絕對值定義，絕對值三角不等式 【名師點睛】含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向．