初中數(shù)學(xué)破題致勝微方法（巧用旋轉(zhuǎn)）90°的旋轉(zhuǎn)1

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90的旋轉(zhuǎn) 【例】如圖，在△ABD中，∠BAD=90，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90至△ACE的位置．連接BC、ED．求證：ED⊥BC 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，會(huì)得到旋轉(zhuǎn)前后所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形全等，借助全等的性質(zhì)和線段的共端點(diǎn)，得到AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE=90，則可判斷△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠DHC=90，則利用垂直的定義即可得到ED⊥BC． 【解答】證明：延長(zhǎng)ED交BC于H，如圖， ∵△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90至△ACE的位置， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE=90， ∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠ACB=45，∠ADE=45， ∴∠HDC=∠ADE=45， ∴∠DHC=180-∠DCH-∠HDC=90， ∴ED⊥BC． 【總結(jié)】當(dāng)遇到繞其中一個(gè)圖形的定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)這個(gè)圖形90時(shí)，共旋轉(zhuǎn)中心的邊及旋轉(zhuǎn)后的邊組成等腰直角三角形，可結(jié)合其性質(zhì)解決題中的問題 【練習(xí)】1.如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),連接AE,BE,CE,將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,則∠BE′C=________. 2.如圖,已知點(diǎn)P是正方形內(nèi)一點(diǎn),△ABP旋轉(zhuǎn)后能與△CBE重合. (1)△ABP旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)中心是什么?旋轉(zhuǎn)了多少度? (2)若BP=2,求PE的長(zhǎng). 3.如圖,已知P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)A和點(diǎn)C重合,這時(shí)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)G. (1)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形; (2)連接PG,交BC于點(diǎn)H,若∠ABP=50,求∠PHC的度數(shù). 4.如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)P到點(diǎn)A,B和D的距離分別為.△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′,連結(jié)PP′,并延長(zhǎng)AP與BC相交于點(diǎn)Q. (1)求證:△APP′是等腰直角三角形; (2)求∠BPQ的大小; (3)求CQ的長(zhǎng). 【答案】1. 135分析：連接EE′，借助旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABE≌△CBE′得到△BEE′為等腰直角三角形，又E′C=EA=1, E′E= ,CE=3,借助勾股定理的逆定理得到直角三角形E′EC,則∠EE′C=90，∴∠BE′C=135. 2.解：（1）∵四邊形ABCD為正方形， ∴BA=BC，∠ABC=90， ∵△ABP旋轉(zhuǎn)后能與△CBE重合， ∴△ABP旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)B，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90； （2）∵△ABP旋轉(zhuǎn)后能與△CBE重合， ∴BP=BE=2，∠PBE=90， 3. 解：(1) 旋轉(zhuǎn)后的△BCG如圖所示. （2）∵以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使A點(diǎn)和C點(diǎn)重合， ∴BP=BG， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠PBG=90， ∴△PBG是等腰直角三角形， ∴∠BPG=∠BGP=45， ∵∠ABP=50， ∴∠PBH=90-50=40， ∴∠PHC=∠PBH+∠BPH=45+50=95．