九年級數學上學期期中試卷（含解析） 新人教版0 (3)

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2016-2017學年甘肅省白銀市平川四中九年級（上）期中數學試卷 一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分） 1．方程x2=3x的解是（　　） A．x=3 B．x=﹣3 C．x=0 D．x=3或x=0 2．用配方法解方程x2+4x+1=0，則配方正確的是（　?。? A．（x+2）2=3 B．（x+2）2=﹣5 C．（x+2）2=﹣3 D．（x+4）2=3 3．如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上的一點，連接AE交CD于F，則圖中共有相似三角形（　?。? A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 4．若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等實數根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1 5．平行四邊形ABCD中，AC、BD是兩條對角線，如果添加一個條件，即可推出平行四邊形ABCD是矩形，那么這個條件是（　?。? A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 6．如圖，AB是斜靠在墻壁上的長梯，梯腳B距墻1.6米，梯上點D距墻1.4米，BD長0.55米，則梯子長為（　?。? A．3.85米 B．4.00米 C．4.40米 D．4.50米 7．點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），若AB=10cm，則AC等于（　　） A．6cm B．（5+1）cm C．5（﹣1）cm D．（5﹣1）cm 8．如圖所示的兩個圓盤中，指針落在每一個數上的機會均等，那么指針同時落在偶數的概率是（　?。? A． B． C． D． 9．順次連接等腰梯形各邊中點所圍成的四邊形是（　?。? A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 10．近年來，全國房價不斷上漲，某縣2010年4月份的房價平均每平方米為3600元，比2008年同期的房價平均每平方米上漲了2000元，假設這兩年該縣房價的平均增長率均為x，則關于x的方程為（　?。? A．（1+x）2=2000 B．2000（1+x）2=3600 C．（1+x）=3600 D．（1+x）2=3600 　 二、填空題（本題共8小題，每小題4分，共32分） 11．寫出以4，﹣5為根且二次項的系數為1的一元二次方程是　　． 12．矩形的兩條對角線的夾角為60，較短的邊長為5cm，則對角線長為　　cm． 13．若==≠0，則=　?。? 14．如圖，在一塊長為22米、寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米．若設道路寬為x米，則根據題意可列出方程為　?。? 15．閱讀材料：設一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數之間有如下關系：x1+x2=﹣，x1?x2=．根據該材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的兩實數根，則+的值為　　． 16．如圖，△ABC，AB=12，AC=15，D為AB上一點，且AD=AB，在AC上取一點E，使以A、D、E為頂點的三角形與ABC相似，則AE等于　?。? 17．小紅、小芳、小明在一起做游戲時需要確定作游戲的先后順序，他們約定用“錘子、剪刀、布”的方式確定，請問在一個回合中三個都出“布”的概率是　?。? 18．如圖，正方形ABCD的面積為1，M是AB的中點，則圖中陰影部分的面積是　　． 　 三、解答題（本大題共88分） 19．用適當的方法解方程： （1）（x﹣1）2=2； （2）（x﹣3）2=2（x﹣3）； （3）x2+5x+3=0； （4）2x2﹣3x﹣2=0． 20．如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的長． 21．在一個布口袋中裝有只有顏色不同，其它都相同的白、紅、黑三種顏色的小球各1只，甲乙兩人進行摸球游戲；甲先從袋中摸出一球看清顏色后放回，再由乙從袋中摸出一球． （1）試用樹狀圖（或列表法）表示摸球游戲所有可能的結果； （2）如果規(guī)定：乙摸到與甲相同顏色的球為乙勝，否則為負，試求乙在游戲中能獲勝的概率． 22．已知關于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0． （1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根； （2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長． 23．龍華天虹商場以120元/件的價格購進一批上衣，以200元/件的價格出售，每周可售出100件．為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存．經調查發(fā)現，這種上衣每降價5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．該商場要想每周盈利8000元，應將每件上衣的售價降低多少元？ 24．如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？ 25．如圖，△ABC是一塊面積為2700cm2的三角形木板，其中BC=90cm，現在要將這塊木板加工成一個正方形的桌面，如圖所示，正方形DEFM即是要加工成的桌面，點D、M分別在AB、AC邊上，點E、F在BC邊上，根據以上數據求出這個正方形桌面的邊長． 26．如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE． （1）求證：四邊形AEBD是矩形； （2）當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由． 27．如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG，AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N． 求證：（1）AE=CG；（2）AN?DN=CN?MN． 28．如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=6cm，AD=2cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度向終點B移動，點Q以1cm/s的速度向終點D移動，當有一點到達終點時，另一點也停止運動．設運動時間為t 求： （1）當t=1s時，求四邊形BCQP的面積？ （2）當t為何值時，點P與點Q之間的距離為cm？ （3）當t=　　時，以點P，Q，D為頂點的三角形是等腰三角形． 　  2016-2017學年甘肅省白銀市平川四中九年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分） 1．方程x2=3x的解是（　　） A．x=3 B．x=﹣3 C．x=0 D．x=3或x=0 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先移項得x2﹣3x=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：x2﹣3x=0， x（x﹣3）=0， x=0或x﹣3=0， 所以x1=0，x2=3． 　 2．用配方法解方程x2+4x+1=0，則配方正確的是（　　） A．（x+2）2=3 B．（x+2）2=﹣5 C．（x+2）2=﹣3 D．（x+4）2=3 【考點】解一元二次方程-配方法． 【分析】把方程兩邊加上3，然后把方程左邊寫成完全平方的相似即可． 【解答】解：x2+4x+4=3， （x+2）2=3． 故選A． 　 3．如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上的一點，連接AE交CD于F，則圖中共有相似三角形（　?。? A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 【考點】相似三角形的判定；平行四邊形的性質． 【分析】根據已知及相似三角形的判定方法進行分析，從而得到圖中的相似三角形的對數． 【解答】解：∵ABCD是平行四邊形 ∴AD∥BC，DC∥AB ∴△ADF∽△EBA∽△ECF ∴有三對， 故選：C． 　 4．若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等實數根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】根據判別式的意義得到△=22﹣4（k﹣1）（﹣2）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等實數根， ∴△=22﹣4（k﹣1）（﹣2）＞0， 解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1． 故選：C． 　 5．平行四邊形ABCD中，AC、BD是兩條對角線，如果添加一個條件，即可推出平行四邊形ABCD是矩形，那么這個條件是（　?。? A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 【考點】矩形的判定；平行四邊形的性質． 【分析】根據對角線相等的平行四邊形是矩形判斷． 【解答】解：A、是鄰邊相等，可得到平行四邊形ABCD是菱形，故不正確； B、是對角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故正確； C、是對角線互相垂直，可得到平行四邊形ABCD是菱形，故不正確； D、無法判斷． 故選B． 　 6．如圖，AB是斜靠在墻壁上的長梯，梯腳B距墻1.6米，梯上點D距墻1.4米，BD長0.55米，則梯子長為（　　） A．3.85米 B．4.00米 C．4.40米 D．4.50米 【考點】相似三角形的應用． 【分析】根據梯子、墻、地面三者構成的直角三角形與梯子、墻、梯上點D三者構成的直角三角相似，利用相似三角形對應邊成比例解答即可． 【解答】解：因為梯子每一條踏板均和地面平行，所以構成一組相似三角形， 即△ABC∽△ADE，則= 設梯子長為x米，則=， 解得，x=4.40． 故選C． 　 7．點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），若AB=10cm，則AC等于（　　） A．6cm B．（5+1）cm C．5（﹣1）cm D．（5﹣1）cm 【考點】黃金分割． 【分析】由于點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），根據黃金分割的定義得到AC=AB，然后把AB=10cm代入計算即可． 【解答】解：∵點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC）， ∴AC=AB， 而AB=10cm， ∴AC=10=5（﹣1）cm． 故選C． 　 8．如圖所示的兩個圓盤中，指針落在每一個數上的機會均等，那么指針同時落在偶數的概率是（　　） A． B． C． D． 【考點】概率公式． 【分析】此題可以采用列表法或者樹狀圖法列舉出所有情況，看指針同時落在偶數的情況占總情況的多少即可． 【解答】解：易得共有55=25種可能，指針同時落在偶數的結果有（2，2）、（2，4）、（2，6）、（4，2）、（4，4）、（4，6）共6種，所以指針同時落在偶數的概率是． 故選B． 　 9．順次連接等腰梯形各邊中點所圍成的四邊形是（　?。? A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【考點】菱形的判定；三角形中位線定理；等腰梯形的性質． 【分析】由E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，得出EF，EH是中位線，再得出四條邊相等，根據“四條邊都相等的四邊形是菱形”進行證明． 【解答】解：∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點， ∴EF∥AC且EF=AC，EH∥BD且EH=BD， ∵AC=BD， ∴EF=EH， 同理可得GF=HG=EF=EH， ∴四邊形EFGH為菱形， 故選：C． 　 10．近年來，全國房價不斷上漲，某縣2010年4月份的房價平均每平方米為3600元，比2008年同期的房價平均每平方米上漲了2000元，假設這兩年該縣房價的平均增長率均為x，則關于x的方程為（　?。? A．（1+x）2=2000 B．2000（1+x）2=3600 C．（1+x）=3600 D．（1+x）2=3600 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】由于設這兩年該縣房價的平均增長率均為x，那么2009年4月份的房價平均每平方米為（1+x）元，2010年4月份的房價平均每平方米為（1+x）（1+x）元，然后根據某縣2010年4月份的房價平均每平方米為3600元即可列出方程． 【解答】解：依題意得（1+x）（1+x）=3600， 即（1+x）2=3600． 故選D． 　 二、填空題（本題共8小題，每小題4分，共32分） 11．寫出以4，﹣5為根且二次項的系數為1的一元二次方程是　x2+x﹣20=0?。? 【考點】根與系數的關系． 【分析】先簡單4與﹣5的和與積，然后根據根與系數的關系寫出滿足條件的方程． 【解答】解：∵4+（﹣5）=﹣1，4（﹣5）=﹣20， ∴以4，﹣5為根且二次項的系數為1的一元二次方程為x2+x﹣20=0． 故答案為x2+x﹣20=0． 　 12．矩形的兩條對角線的夾角為60，較短的邊長為5cm，則對角線長為　10　cm． 【考點】矩形的性質． 【分析】根據矩形對角線相等且互相平分性質和題中條件易得△AOB為等邊三角形，即可得到矩形對角線一半長，進而求解即可． 【解答】解：如圖： AB=5cm，∠AOB=60． ∵四邊形是矩形，AC，BD是對角線． ∴OA=OB=OD=OC=BD=AC． 在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60． ∴OA=OB=AB=5cm，BD=2OB=25=10cm． 故答案為：10． 　 13．若==≠0，則=　?。? 【考點】比例的性質． 【分析】根據已知比例關系，用未知量k分別表示出a、b和c的值，代入原式中，化簡即可得到結果． 【解答】解：設===k≠0， 則a=2k，b=3k，c=4k， 所以==． 故答案是：． 　 14．如圖，在一塊長為22米、寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米．若設道路寬為x米，則根據題意可列出方程為　（22﹣x）（17﹣x）=300?。? 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個長方形，根據長方形的面積公式列方程． 【解答】解：設道路的寬應為x米，由題意有 （22﹣x）（17﹣x）=300， 故答案為：（22﹣x）（17﹣x）=300． 　 15．閱讀材料：設一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數之間有如下關系：x1+x2=﹣，x1?x2=．根據該材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的兩實數根，則+的值為　﹣2?。? 【考點】根與系數的關系． 【分析】根據根與系數的關系找出x1+x2=﹣6、x1?x2=3，將+變形為，代入數據即可得出結論． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2+6x+3=0的兩實數根， ∴x1+x2=﹣6，x1?x2=3， ∴+==﹣2． 故答案為：﹣2． 　 16．如圖，△ABC，AB=12，AC=15，D為AB上一點，且AD=AB，在AC上取一點E，使以A、D、E為頂點的三角形與ABC相似，則AE等于　10或6.4?。? 【考點】相似三角形的判定． 【分析】根據相似三角形對應邊成比例得出=或=，再代值計算即可． 【解答】解：∵△ABC∽△ADE， ∴=或=， ∵AD=AB，AB=12， ∴AD=8， ∵AC=15， ∴=或=， 解得：AE=10或6.4． 故答案為10或6.4 　 17．小紅、小芳、小明在一起做游戲時需要確定作游戲的先后順序，他們約定用“錘子、剪刀、布”的方式確定，請問在一個回合中三個都出“布”的概率是　?。? 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】欲求出在一回合中三個人都出“布”的概率，可先列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可． 【解答】解：列表得： 可以得出一共有27種情況， 在一回合中三個人都出“布”的概率是． 故答案為：． 　 18．如圖，正方形ABCD的面積為1，M是AB的中點，則圖中陰影部分的面積是　?。? 【考點】相似三角形的判定與性質；正方形的性質． 【分析】根據正方形的性質可得到△AME∽△CDE，根據相似三角形的邊對應邊成比例，求得EH，EF的長，從而即可求得陰影部分的面積． 【解答】解：如圖，過點E作HF⊥AB， ∵AM∥CD， ∴∠DCE=∠EAM，∠CDE=∠EMA， ∴△AME∽△CDE ∴AM：DC=EH：EF=1：2，FH=AD=1， ∴EH=，EF=． ∴陰影部分的面積=S正方形ABCD﹣S△AME﹣S△CDE﹣S△MBC=1﹣﹣﹣=． 故答案為：． 　 三、解答題（本大題共88分） 19．用適當的方法解方程： （1）（x﹣1）2=2； （2）（x﹣3）2=2（x﹣3）； （3）x2+5x+3=0； （4）2x2﹣3x﹣2=0． 【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）用直接開平方法解一元二次方即可； （2）先移項，再提公因式，解方程即可； （3）用公式法解一元二次方程即可； （4）用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）x﹣1=， 解得x1=1+，x2=1﹣； （2）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0； （x﹣3）（x﹣3﹣2）=0； x﹣3=0或x﹣5=0， 解得x1=3，x2=5； （3）a=1，b=5，c=3， △=b2﹣4ac=25﹣12=13＞0， 方程有兩個不相等的實數根， ∴x==， 解得x1=，x2=； （4）a=2，b=﹣3，c=﹣2， △=b2﹣4ac=9+16=25＞0， 方程有兩個不相等的實數根， ∴x==， 解得x1=2，x2=﹣． 　 20．如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的長． 【考點】相似三角形的性質；矩形的性質． 【分析】先根據相似三角形的性質求出DF的長，再由勾股定理即可得出結論． 【解答】解：∵△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2， ∴=，即=，解得DF=3， ∴EF===． 　 21．在一個布口袋中裝有只有顏色不同，其它都相同的白、紅、黑三種顏色的小球各1只，甲乙兩人進行摸球游戲；甲先從袋中摸出一球看清顏色后放回，再由乙從袋中摸出一球． （1）試用樹狀圖（或列表法）表示摸球游戲所有可能的結果； （2）如果規(guī)定：乙摸到與甲相同顏色的球為乙勝，否則為負，試求乙在游戲中能獲勝的概率． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】依據題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現結果，然后根據概率公式求出該事件的概率． 【解答】解：（1）樹狀圖如下 ； 列表如下 甲 乙 白 紅 黑 白 白，白 紅，白 黑，白 紅 白，紅 紅，紅 黑，紅 黑 白，黑 紅，黑 黑，黑 （2）乙摸到與甲相同顏色的球有三種情況， ∴乙能取勝的概率為． 　 22．已知關于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0． （1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根； （2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長． 【考點】根的判別式；一元二次方程的解；勾股定理． 【分析】（1）根據關于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0的根的判別式的符號來證明結論； （2）根據一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數的關系求得方程的另一根．分類討論：①當該直角三角形的兩直角邊是2、3時，由勾股定理得斜邊的長度為：；②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是2、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；再根據三角形的周長公式進行計算． 【解答】（1）證明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4， ∴在實數范圍內，m無論取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0， ∴關于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有兩個不相等的實數根； （2）解：根據題意，得 12﹣1（m+2）+（2m﹣1）=0， 解得，m=2， 則方程的另一根為：m+2﹣1=2+1=3； ①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為：； 該直角三角形的周長為1+3+=4+； ②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2；則該直角三角形的周長為1+3+2=4+2． 　 23．龍華天虹商場以120元/件的價格購進一批上衣，以200元/件的價格出售，每周可售出100件．為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存．經調查發(fā)現，這種上衣每降價5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．該商場要想每周盈利8000元，應將每件上衣的售價降低多少元？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】設每件上衣應降價x元，則每件利潤為（80﹣x）元，本題的等量關系為：每件上衣的利潤每天售出數量﹣固定成本=8000． 【解答】解：設每件上衣應降價x元，則每件利潤為（80﹣x）元， 列方程得：（80﹣x）﹣3000=8000， 解得：x1=30，x2=25 答：應將每件上衣的售價降低30或25元． 　 24．如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？ 【考點】相似三角形的應用． 【分析】如圖，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性質求解． 【解答】解：∵∠MAC=∠MOP=90， ∠AMC=∠OMP， ∴△MAC∽△MOP． ∴， 即， 解得，MA=5米； 同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米， ∴小明的身影變短了5﹣1.5=3.5米． 　 25．如圖，△ABC是一塊面積為2700cm2的三角形木板，其中BC=90cm，現在要將這塊木板加工成一個正方形的桌面，如圖所示，正方形DEFM即是要加工成的桌面，點D、M分別在AB、AC邊上，點E、F在BC邊上，根據以上數據求出這個正方形桌面的邊長． 【考點】相似三角形的應用；正方形的性質． 【分析】先求出△ABC的BC邊上的高AP，設正方形的邊長為x，根據正方形的對邊平行可得DN∥BC，然后判斷出△ADM和△ABC相似，再根據相似三角形對應高的比等于相似比列式進行計算即可得解． 【解答】解：如圖， ∵△ABC是一塊面積為2700cm2的三角形木板，其中BC=90cm， ∴S△ABC=BCAP=90AP=2700， ∴AP=60 設正方形的邊長為x， ∵四邊形DEFM是正方形， ∴PG=DM=x，DM∥BC， ∴△ADM∽△ABC， ∴ ∵AG=AP﹣PG=60﹣x，BC=90，AP=60， ∴ ∴x=36， ∴這個正方形桌面的邊長為36cm． 　 26．如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE． （1）求證：四邊形AEBD是矩形； （2）當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由． 【考點】矩形的判定；正方形的判定． 【分析】（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進而由等腰三角形的性質得出∠ADB=90，即可得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性質得出AD=BD=CD，進而利用正方形的判定得出即可． 【解答】（1）證明：∵點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD， ∴四邊形AEBD是平行四邊形， ∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90， ∴平行四邊形AEBD是矩形； （2）當∠BAC=90時， 理由：∵∠BAC=90，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線， ∴AD=BD=CD， ∵由（1）得四邊形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形． 　 27．如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG，AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N． 求證：（1）AE=CG；（2）AN?DN=CN?MN． 【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質． 【分析】（1）要證明AE=CG，只要證得三角形ADE和三角形CDG全等即可，根據題中的已知條件我們不難得出，AD=CD，GC=AE，∠ADE和∠GDC，又同為90+∠ADC，那么就構成了全等三角形的判定中SAS的條件． （2）本題可通過證明三角形AMN和三角形CDN相似來證得． 【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形， ∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90， ∵∠ADE=90+∠ADG，∠CDG=90+∠ADG， ∴∠ADE=∠CDG， 在△ADE和△CDG中 ∵， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE=CG． （2）由（1）得△ADE≌△CDG， 則∠DAE=∠DCG， 又∵∠ANM=∠CND， ∴△AMN∽△CDN， ∴， 即AN?DN=CN?MN． 　 28．如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=6cm，AD=2cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度向終點B移動，點Q以1cm/s的速度向終點D移動，當有一點到達終點時，另一點也停止運動．設運動時間為t 求： （1）當t=1s時，求四邊形BCQP的面積？ （2）當t為何值時，點P與點Q之間的距離為cm？ （3）當t=　或或或　時，以點P，Q，D為頂點的三角形是等腰三角形． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）先求出BP，CQ，再直接用梯形的面積公式即可； （2）先表示出QG，再用勾股定理即可建立方程求解即可； （3）分PD=PQ，PD=DQ，PQ=DQ三種情況，建立方程求解即可． 【解答】解：由運動知，AP=2t，CQ=t，（0≤t≤3）， ∴PB=AB﹣AP=6﹣2t，DQ=CD﹣CQ=6﹣t， （1）當t=1時，PB=6﹣2t=4，CQ=t=1， ∵BC=2， ∴S四邊形BCQP=（PB+CQ）BC=（4+1）2=5， （2）如圖1，過點P作PG⊥CD， ∴PG=AD=2， ∴QG=DQ﹣DG=DQ﹣AP=6﹣t﹣2t=6﹣3t， 根據勾股定理得，PG2+QG2=PQ2， ∴4+（6﹣3t）2=5， ∴t=或t=． （3）如圖2，連接DP，過點P作PG⊥CD， ∵點P，Q，D為頂點的三角形是等腰三角形． ∴①當PD=PQ時，即：PD2=PQ2， 在Rt△APD中，AD=2，AP=2t， ∴PD2=AD2+AP2=4+4t2， 由（2）知，PQ2=PG2+QG2=4+（6﹣3t）2， ∴4+4t2=4+（6﹣3t）2， ∴t=6（舍）或t=， 當PD=DQ時，即：PD2=DQ2， ∴4+4t2=（6﹣t）2， ∴t=（舍）或t=， 當PQ=DQ時， ∴PQ2=DQ2， ∴4+（6﹣3t）2=（6﹣t）2， ∴t=或t=， 即：滿足條件的t的值為或或或， 故答案為：或或或，