中考數(shù)學(xué) 第三編 綜合專題闖關(guān)篇 題型二 解答題重難點(diǎn)突破 專題一 猜想證明與探究試題

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題型二　解答題重難點(diǎn)突破 專題一　猜想證明與探究 1．猜想與證明問題河北中考近8年共考查8次，為每年必考內(nèi)容，都是以解答題的形式出現(xiàn)，分值為9－14分． 2．考查類型：(1)與圖形的位似有關(guān)，探究兩條邊之間的關(guān)系，此類題在2012年考查過一次，主要是利用三角形的性質(zhì)來解決，分值為9分；(2)與尺規(guī)作圖有關(guān)，利用正方形的性質(zhì)探究邊與邊之間的關(guān)系，其中有一問會(huì)涉及到如何作圖，此題在2011年考查過一次，分值為9分；(3)與旋轉(zhuǎn)有關(guān)，主要是利用旋轉(zhuǎn)前后的性質(zhì)，分別涉及到直線和正方形，在2010年和2009年考查過，分值為10分，在2013年考查過，分值為11分；(4)折疊問題主要是折疊過程中對圖形變化具體情況的分析，此題在2014年考查過，分值為11分；與圖形的折疊、平移有關(guān)，2015年考查，分值14分，平移問題主要是用到了平移前后的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)，探究邊與邊之間的關(guān)系，在2008年考查過，分值為10分.2016年在此題型上來考查． 預(yù)計(jì)2017年河北中考很有可能考查此內(nèi)容，在訓(xùn)練時(shí)多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有關(guān)的知識(shí)的綜合題． ,中考重難點(diǎn)突破) 　與圖形旋轉(zhuǎn)有關(guān)的證明 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例1】(2010河北中考)在圖①至圖③中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2＝45. (1)如圖①，若AO＝OB，請寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系； (2)將圖①中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖②，其中AO＝OB.求證：AC＝BD，AC⊥BD； (3)將圖②中的OB拉長為AO的k倍得到圖③，求的值． 【學(xué)生解答】(1)AO＝BD，AO⊥BD；(2)如圖②，過點(diǎn)B作BE∥CA交DO于點(diǎn)E，∴∠ACO＝∠BEO.又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE，∴AC＝BE.又∵∠1＝45，∴∠ACO＝∠BEO＝135.∴∠DEB＝45，∵∠2＝45，∴BE＝BD，∠EBD＝90.∴AC＝BD.延長AC交DB的延長線于點(diǎn)F，∵BE∥AC，∴∠AFD＝90，∴AC⊥BD； (3)如圖③，過點(diǎn)B作BE∥CA交DO于點(diǎn)E，∴∠BEO＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC.∴＝.又∵OB＝kAO，由(2)的方法易得BE＝BD，∴＝k. 【方法指導(dǎo)】(1)在探索兩線段的數(shù)量關(guān)系時(shí)常以三角形全等或者相似為工具，由對應(yīng)角的關(guān)系得到兩線段相等或者對應(yīng)成比例．有時(shí)需先進(jìn)行等量代換，將兩線段放到相似三角形或全等三角形中，若出現(xiàn)直角三角形，則利用直角三角形的性質(zhì)求解． (2)兩線段的位置關(guān)系通常為平行或垂直．先觀察圖形，根據(jù)圖形先推測兩線段的位置關(guān)系是平行或垂直．若平行，則常通過以下方法進(jìn)行證解：①平行線的判定定理；②平行四邊形對邊平行；③三角形中位線性質(zhì)等．若垂直，則可考慮以下途徑：①證明兩線段所在直線夾角為90；②兩線段是矩形的鄰邊；③兩線段是菱形的對角線；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)等方式證明． 1．(2015重慶中考)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF＝120，DE與線段AB相交于點(diǎn)E，DF與線段AC(或AC的延長線)相交于點(diǎn)F. (1)如圖1，若DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，AB＝4，求BE的長； (2)如圖2，將(1)中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F.求證：BE＋CF＝AB； (3)如圖3，將(2)中的∠EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長線交與點(diǎn)F，作DN⊥AC于點(diǎn)N，若DN＝FN，求證：BE＋CF＝(BE－CF)． 解：(1)由四邊形AEDF的內(nèi)角和為360，可知DE⊥AB，故BE＝1；(2)取AB的中點(diǎn)G，連接DG.易證：DG為△ABC的中位線，故DG＝DC，∠BGD＝∠C＝60，又四邊形AEDF的對角互補(bǔ)，故∠GED＝∠DFC.∴△DEG≌△DFC，故EG＝CF.∴BE＋CF＝BE＋EG＝BG＝AB；(3)取AB的中點(diǎn)G，連接DG，同(2)，易證△DEG≌△DFC，故EG＝CF，故BE－CF＝BE－EG＝BG＝AB.設(shè)CN＝x，在Rt△DCN中，CD＝2x，DN＝x，在Rt△DFN中，NF＝DN＝x，故EG＝CF＝(－1)x.BE＝BG＋EG＝DC＋CF＝2x＋(－1)x＝(＋1)x.故BE＋CF＝(＋1)x＋(－1)x＝2x.(BE－CF)＝[(＋1)x－(－1)x]＝2x.故BE＋CF＝(BE－CF)． 2．(2016河北中考)如圖，△OAB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝80，以點(diǎn)O為圓心，6為半徑的優(yōu)弧分別交 OA，OB于點(diǎn)M，N. (1)點(diǎn)P在右半弧上(∠BOP是銳角)，將OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80得OP′.求證：AP＝BP′； (2)點(diǎn)T在左半弧上，若AT與弧相切，求點(diǎn)T到OA的距離； (3)設(shè)點(diǎn)Q在優(yōu)弧上，當(dāng)△AOQ的面積最大時(shí)，直接寫出∠BOQ的度數(shù)． 解：(1) ∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′，又∵OA＝OB，OP＝OP′，在△AOP和△BOP′中，∴△AOP≌△BOP′(SAS), ∴AP＝BP′； (2)如圖1，連接OT，過點(diǎn)T作TH⊥OA于點(diǎn)H, ∵AT與相切，∴∠ATO＝90，∴AT＝＝＝8，∵OATH＝ATOT, 即10TH＝86，即TH＝，∴T＝，即為所求的距離； (3)如圖2，當(dāng)OQ⊥OA時(shí)，△AOQ的面積最大．理由：∵OQ⊥OA, ∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大， ∴∠BOQ＝∠AOQ＋∠AOB＝90＋80＝170， 當(dāng)Q點(diǎn)在優(yōu)弧 右側(cè)上，∵OQ⊥OA, ∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大， ∴∠BOQ＝∠AOQ－∠AOB＝90－80＝10， 綜上所述：當(dāng)∠BOQ的度數(shù)為10或170時(shí)，△AOQ的面積最大. 3．(2016廊坊二模)如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使點(diǎn)A，C分別在DG和DE上，連接AE，BG. (1)試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是________； (2)將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0＜α≤360)． ①判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請利用圖②證明你的結(jié)論； ②若BC＝DE＝4，當(dāng)AE取最大值時(shí)，求AF的值． 解： 圖① (1)AE＝BG；(2)①成立，BG＝AE.如圖①，連接AD.∵在Rt△BAC中，AB＝AC，D為斜邊BC的中點(diǎn)，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADG＋∠BDG＝90.∵四邊形EFGD為正方形，∴DE＝DG，且∠GDE＝90，∴∠ADG＋∠ADE＝90，∴∠BDG＝∠ADE.在△BDG和△ADE中，∴△BDG≌△ADE(SAS)，∴GD＝AE； 圖② ②∵BG＝AE，∴當(dāng)BG取得最大值時(shí)AE取得最大值，如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)面為270時(shí)，BG＝AE.∵BC＝DE＝4，D為BC的中點(diǎn)，四邊形DEFG為正方形，∴BD＝CD＝BC＝2，EF＝DG＝DE＝4，∴BG＝BD＋GD＝2＋4＝6，∴AE＝BG＝6，∴AF＝＝2. 4．(2016滄州八中模擬)如圖①，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90， ∠B＝∠E＝30. (1)操作發(fā)現(xiàn) 如圖②，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空： ①線段DE與AC的位置關(guān)系是________； ②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是________． (2)猜想論證 當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③所示的位置時(shí)，小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC 中BC，CE邊上的高，請你證明小明的猜想． (3)拓展探究 已知∠ABC＝60，點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn)，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于點(diǎn)E(如圖④)．若在射線BA上存在點(diǎn)F，使S△DCF＝S△BDE, 請直接寫出相應(yīng)的BF的長． 解：(1)①DE∥AC；②S1＝S2； (2)如圖：∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC＝CE，AC＝CD.∵∠ACN＋∠BCN＝90，∠DCM＋∠BCN＝180－90＝90，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，∴△ACN≌△DCM(AAS)，∴AN＝DM，又BC＝CE，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的兩個(gè)三角形面積相等)，即S1＝S2； (3)BF＝或. 5．(2016岳陽中考)已知直線m∥n，點(diǎn)C是直線m上一點(diǎn)，點(diǎn)D是直線n上一點(diǎn)，CD與直線m、n不垂直，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)． (1)操作發(fā)現(xiàn)：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A，B，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖①所示)，連接PB，請直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系：________； (2)猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的位置，試問(1)中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． (3)延伸探究：在圖②的情況下，把直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得∠APB＝90(如圖③所示)，若兩平行線m、n之間的距離為2k.求證：PAPB＝kAB. 解：(1)PA＝PB； (2)成立．證明略； (3)證明略． 　與圖形的相似、位似有關(guān)的證明 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例2】(2014河北中考)如圖①，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，分別以B，C為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同側(cè)． (1)AE和ED的數(shù)量關(guān)系為________，AE和ED的位置關(guān)系為________； (2)在圖①中，以點(diǎn)E為位似中心，作△EGF與△EAB位似，點(diǎn)H是BC所在直線上的一點(diǎn)，連接GH，HD，分別得到了圖②和圖③. ①在圖②中，點(diǎn)F在BE上，△EGF與△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中點(diǎn)．求證：GH＝HD，GH⊥HD. ②在圖③中，點(diǎn)F在BE的延長線上，△EGF與△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，請直接寫出CH的長為多少時(shí)，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代數(shù)式表示)． 【解析】(1)由△ABE≌△DCE可得，AE＝DE.由AB＝BE＝EC＝CD，可知∠AEB＝∠DEC＝45，所以∠AED＝90，故AE⊥ED；(2)由△HGF≌△DHC可證GH＝HD，GH⊥HD；由BC＝2，可知BE＝EC＝1，又∵EF＝k，∴當(dāng)CH＝k時(shí)可得CH＝FG＝k，從而證明△HFG≌△DCH，得到GH＝HD，GH⊥HD. 【學(xué)生解答】(1)AE＝ED，AE⊥ED；(2)①由題意，∠B＝∠C＝90，AB＝BE＝EC＝DC.∵△EGF與△EAB位似且相似比是1∶2，∴∠GFE＝∠B＝90，GF＝AB，EF＝EB.∴∠GFE＝∠C.∵EH＝HC＝EC.∴GF＝HC，F(xiàn)H＝FE＋EH＝EB＋EC＝BC＝EC＝CD.∴△HGF≌△DHC.∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC.又∵∠HDC＋∠DHC＝90，∴∠GHF＋∠DHC＝90，∴∠GHD＝90，∴GH⊥HD；②CH的長為k.∵GH＝HD，GH⊥HD，∴∠FHG＋∠DHC＝90，∵∠FHG＋∠FGH＝90，∴∠FGH＝∠CHD，∴∴△GFH≌△HCD(AAS)，∴CH＝FG，∵EF＝FG，∴EF＝CH，∵△EGF與△EAB的相似比是k∶1，BC＝2，∴BE＝EC＝1，∴EF＝k，∴CH的長為k. 6．(2016河北石家莊四十二中模擬)(1)如圖①，已知∠EAC＝90，AE＝AC，點(diǎn)A在直線BD上，過E作ED⊥AB于點(diǎn)D，過C作CB⊥BD于點(diǎn)B，證明：以點(diǎn)A為位似中心作△AMN與△ABC位似，△AMN與△ABC位似比為1∶2，則＝________； (2)如圖②，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB，AC為一邊，向外作正方形ABME和正方形ACNF，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作射線GA的垂線，垂足分別為P，Q.以點(diǎn)A為位似中心，作△AQH與△APE位似，△AQH與△APE的位似比為1∶k，猜想CG與BG的數(shù)量關(guān)系并證明； (3)如圖③，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB，AC為一邊，向外作矩形ABME和矩形ACNF，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作射線GA的垂線，垂足分別為P，Q.若AB＝mAE，AC＝mAF，以點(diǎn)A為位似中心，作△AQH與△APE位似，△AQH與△APE的位似比為1∶k，則CG與BG的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立．請證明；若不成立，說明理由． 解：(1)； (2)＝.理由如下：∵四邊形ABME是正方形，∴AB＝AE，∠BAE＝90，∴∠BAG＋∠EAP＝90.∵AG⊥BG，∴∠BAG＋∠ABG＝90，∴∠ABG＝∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB＝∠EPA＝90，∴△ABG≌△EAP，∴BG＝AP.同理可得△ACG≌△FAQ，即CG＝AQ.∵△AQH與△APE的位似比為1∶k，∴＝，∴＝； (3)＝.理由如下：四邊形ABME是矩形，∴∠BAE＝90，∴∠BAG＋∠EAP＝90.∵AG⊥BC，∴∠BAG＋∠ABG＝90，∴∠ABG＝∠EPA.∵∠AGB＝∠EPA＝90，∴△ABG∽△EAP，∴＝.∵AB＝mAE，∴＝，即BG＝mAP，同理△ACG∽△FAQ，∴＝.∵AC＝mAF，∴＝，即CG＝mAQ，∴＝＝.∵△AQH與△APE位似比為1∶k，∴＝，∴＝. 7．(2016保定十七中二模)如圖①，Rt△ABC中，∠BAC＝90，AB＝AC，∠ABC的平分線交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥BD，交直線BD于點(diǎn)E.請?zhí)骄烤€段BD與CE的數(shù)量關(guān)系．(事實(shí)上，我們可以延長CE與直線BA相交，通過三角形的全等等知識(shí)解決問題．) (1)結(jié)論：線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是________；(請直接寫出結(jié)論) (2)類比探索 在(1)中，如果把BD改為∠ABC的外角∠ABF的平分線，其他條件均不變(如圖②)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由； (3)拓展延伸 在(2)中，如果AB≠AC，且AB＝nAC(0＜n＜1)，其他條件均不變(如圖③)，請你求出BD與CE的數(shù)量關(guān)系．(用含n的代數(shù)式表示) 圖① 解：(1)BD＝2CE； (2)BD＝2CE仍然成立．理由如下：如圖①延長CE，AB交于點(diǎn)G.∵∠ABD＝∠FBD，∠ABD＝∠GBE，∠FBD＝∠CBE，∴∠GBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∠GEB＝∠CEB＝90，∴△GBE≌△CBE(ASA)，∴GE＝CE，∴CG＝2CE.∵∠D＋∠DCG＝∠G＋∠DCG＝90，∴∠D＝∠G.又∵∠DAB＝∠GAC＝90，AB＝AC，∴△DAB≌△GAC，∴BD＝CG＝2CE； 圖② (3)如圖②，延長CE，AB交于點(diǎn)G.∵∠ABD＝∠FBD，∠ABD＝∠GBE，∠FBD＝∠CBE，∴∠GBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∴∠GEB＝∠CEB＝90，∴△GBE≌△CBE(ASA)，∴GE＝CE，∴CG＝2CE.∵∠D＋∠DCG＝∠G＋∠DCG＝90，∴∠D＝∠G.又∵∠DAB＝∠GAC＝90，∴△DAB∽△GAC，∴＝.∵AB＝nAC，∴BD＝nCG＝2nCE. 　與圖形折疊平移有關(guān)的證明 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例3】(2014河北中考)圖①和圖②中，優(yōu)弧所在⊙O的半徑為2，AB＝2.點(diǎn)P為優(yōu)弧上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合)，將圖形沿BP折疊，得到點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A′. (1)點(diǎn)O到弦AB的距離是________，當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，∠ABA′＝________； (2)當(dāng)BA′與⊙O相切時(shí)，如圖②，求折痕BP的長； (3)若線段BA′與優(yōu)弧只有一個(gè)公共點(diǎn)B，設(shè)∠ABP＝α，確定α的取值范圍． 　　 【解析】(1)作垂線OC，即為O到AB的距離．根據(jù)垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形邊角關(guān)系以及三角函數(shù)即可得解．(2)由(1)得OC長度以及半徑OB長度，即可求出∠OBC的正弦值，從而求得∠OBC.再利用∠ABP與∠OBC的關(guān)系求出∠OBP的角度，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系計(jì)算即可．(3)如解圖③所示：在折疊過程中，BP的4個(gè)特殊位置，點(diǎn)A′落在以B為圓心、BA為半徑的虛線圓弧上，觀察圖形由線段BA′與圓心O的位置可確定α的范圍． 【學(xué)生解答】(1)1；60.如圖①，解法提示：過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，連接OA，則∠OCA＝90，AC＝AB＝2＝.∵OA＝2，∴OC＝＝＝1.當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，在Rt△OCB中，sin∠OBC＝＝，∴∠OBC＝30，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠ABA′＝2∠OBC＝230＝60；(2)如圖②，作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OB，∵BA′與⊙O相切，∴∠OBA′＝90，在Rt△OBC中，OB＝2，OC＝1，∴sin∠OBC＝＝，∴∠OBC＝30，∴∠ABP＝∠ABA′＝(∠OBA′＋∠OBC)＝60，∴∠OBP＝30.作OD⊥BP于點(diǎn)D，則BP＝2BD.∴BD＝OBcos30＝，∴BP＝2；(3)∵點(diǎn)P，A不重合，∴α＞0.由(1)得，當(dāng)α增大到30時(shí)，點(diǎn)A′在上，∴當(dāng)0＜α＜30時(shí)，點(diǎn)A′在⊙O內(nèi)，線段BA′與只有一個(gè)公共點(diǎn)B.由(2)知，α增大到60時(shí)，BA′與⊙O相切，即線段BA′與只有一個(gè)公共點(diǎn)B.當(dāng)α繼續(xù)增大時(shí)，點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)B，但點(diǎn)P，B不重合，∴∠OBP＜90.∵α＝∠OBA＋∠OBP，∠OBA＝30，∴α＜120.∴當(dāng)60≤α＜120時(shí)，線段BA′與只有一個(gè)公共點(diǎn)B.綜上所述，α的取值范圍是0＜α＜30或60≤α＜120. 【方法指導(dǎo)】解本題第(3)問的關(guān)鍵在于折疊過程中對圖形變化具體情況的分析，也是對第(1)、(2)問情況的綜合．在分類討論α的最大取值時(shí)，很難想象出優(yōu)弧完全折疊過去時(shí)的情況，即P點(diǎn)即將與B點(diǎn)重合時(shí)α的數(shù)值，可以先在圖中畫出點(diǎn)P、B重合時(shí)的情況，重合時(shí)α為一個(gè)臨界點(diǎn)，找到此臨界點(diǎn)，再使α小于此臨界點(diǎn)即可解決． 8．(2016唐山九中二模)如圖，兩個(gè)全等的△ABC和△DEF重疊在一起，固定△ABC，將△DEF進(jìn)行如下變換： (1)如圖①，△DEF沿直線CB向右平移(即點(diǎn)F在線段CB上移動(dòng))，連接AF、AD、BD，請直接寫出S△ABC與S四邊形AFBD的關(guān)系； (2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí)，若四邊形AFBD為正方形，那么△ABC應(yīng)滿足什么條件？請給出證明； (3)在(2)的條件下，將△DEF沿DF折疊，點(diǎn)E落在FA的延長線上的點(diǎn)G處，連接CG，請你在圖3的位置畫出圖形，并求出sin∠CGF的值． 解：(1)S△ABC＝S四邊形AFBD； (2)△ABC為等腰直角三角形，即：AB＝AC，∠BAC＝90.證明：∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴CF＝BF.∵CF＝ AD，∴AD＝ BF.又∵AD∥BF，∴四邊形AFBD為平行四邊形．∵AB＝AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC，∴平行四邊形AFBD為矩形．∵∠BAC＝90，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴AF＝BC＝BF，∴四邊形AFBD為正方形； (3)正確畫出圖形，如解圖．由(2)知，△ABC為等腰直角三角形， 則△DEF為等腰直角三角形，AF⊥BC∵FB＝BC＝EF＝BE，∴AG＝AF，設(shè)CF＝k，則GF＝EF＝CB＝2k，由勾股定理，得：CG＝k，則sin∠CGF＝＝＝.　 9．(2016邯鄲二十五模擬)將一個(gè)直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(，0)，點(diǎn)B(0，1)，點(diǎn)O(0，0)．過邊OA上的動(dòng)點(diǎn)M(點(diǎn)M不與點(diǎn)O，A重合)作MN⊥AB于點(diǎn)N，沿著MN折疊該紙片，得頂點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′.設(shè)OM＝m，折疊后的△A′MN與四邊形OMNB重疊部分的面積為S. (1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)A′與頂點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)A′落在第二象限時(shí)，A′M與OB相交于點(diǎn)C，試用含m的式子表示S； (3)當(dāng)S＝時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．(直接寫出結(jié)果即可) 解：(1)在Rt△ABO中，點(diǎn)A(，0)，點(diǎn)B(0，1)，點(diǎn)O(0，0)，∴OA＝，OB＝1.由OM＝m，得AM＝OA－OM＝－m.根據(jù)題意，由折疊可知△BMN≌△AMN，有BM＝AM＝－m.在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2＝OB2＋OM2，得(－m)2＝1＋m2，解得m＝.∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，0)；(2)在Rt△ABO中，tan∠OAB＝＝＝，∴∠OAB＝30，由MN⊥AB，得∠MNA＝90.∴在Rt△AMN中，得MN＝AMsin∠OAB＝(－m)，AN＝AMcos∠OAB＝(－m)．∴S△AMN＝MNAN＝(－m)2.由折疊可知△A′MN≌△AMN，有∠A′＝∠OAB＝30，∴∠A′MO＝∠A′＋∠OAB＝60.∴在Rt△COM中，得CO＝OMtan∠A′MO＝m.∴S△COM＝OMCO＝m2，又S△ABO＝OAOB＝，于是，S＝S△ABO－S△AMN－S△COM＝－(－m)2－m2，即S＝－m2＋m＋(0＜m＜)；(3)(，0)． 　與尺規(guī)作圖有關(guān)的問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例4】(2014河北中考)如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，K分別在BC，AB上，點(diǎn)G在BA的延長線上，且CE＝BK＝AG. (1)求證：①DE＝DG；②DE⊥DG； (2)尺規(guī)作圖：以線段DE，DG為邊作出正方形DEFG；(要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明) (3)連接(2)中的KF，猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想； (4)當(dāng)＝時(shí)，請直接寫出的值． 【解析】(1)由已知證明DE、DG所在的三角形全等，再通過等量代換證明DE⊥DG；(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)分別以點(diǎn)G、E為圓心，以DG為半徑畫弧交于點(diǎn)F，得到正方形DEFG；(3)由已知首先證四邊形CKGD是平行四邊形，然后證明四邊形CEFK為平行四邊形；(4)設(shè)CE＝x，由已知＝，表示出CB及CD，利用勾股定理求出DE2，進(jìn)而得到，即為所求． 【學(xué)生解答】解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90.又∵CE＝AG，∴△DCE≌△DAG，∴DE＝DG，∠EDC＝∠GDA.又∵∠ADE＋∠EDC＝90，∴∠ADE＋∠GDA＝90，∴DE⊥DG；(2)如解圖①； 　　　 (3)四邊形CEFK為平行四邊形．證明：設(shè)CK，DE相交于M點(diǎn)，如解圖②，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG.∵BK＝AG，∴KG＝AB＝CD，∴四邊形CKGD為平行四邊形，∴CK＝DG＝EF，CK∥DG.∴∠KME＝∠GDE＝∠DEF＝90.∴∠KME＋∠DEF＝180.∴CK∥EF.∴四邊形CEFK為平行四邊形；(注：由CK∥DG、EF∥DG得CK∥EF也可)(4)＝.解法提示：∵＝，∴設(shè)CE＝x，CB＝nx，∴CD＝nx，∴DE2＝CE2＋CD2＝x2＋n2x2＝(n2＋1)x2，∵BC2＝n2x2，∴＝＝. 【方法指導(dǎo)】在判定四邊形為平行四邊形時(shí)，(1)若已知一組對邊平行，可以考慮利用證明這組對邊相等，或證明另一組對邊平行；(2)若已知一組對邊相等，可以考慮證明這組對邊平行或另一組對邊相等；(3)若已知一組對角相等則需要證明另外一組對角也相等；(4)若已知一條對角線平分時(shí)則需證明另外一組對角線也平分．在證明邊相等時(shí)，將這兩組對邊放在兩個(gè)三角形中，并證明這兩個(gè)三角形全等；在證明邊平行時(shí)，需要用題目中的條件找到角之間的關(guān)系再利用平行線的判定證明． 10．(2016濟(jì)寧中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的一個(gè)外角． 實(shí)踐與操作： 根據(jù)要求尺規(guī)作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母．(保留作圖痕跡，不寫作法) (1)作∠DAC的平分線AM； (2)作線段AC的垂直平分線，與AM交于點(diǎn)F，與BC邊交于點(diǎn)E； 猜想并證明： 判斷四邊形AECF的形狀并加以證明． 解：(1)(2)作圖略；猜想：四邊形AECF是菱形．證明：∵AB＝AC，AM平分∠CAD.∴∠B＝∠ACB，∠CAD＝2∠CAM，∵∠CAD是△ABC的外角，∴∠CAD＝∠B＋∠ACB，∴∠CAD＝2∠ACB，∴∠CAM＝∠ACB.∴AF∥CE.∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，∠AOF＝∠COE＝90，∴△AOF≌△COE，∴AF＝CE，在四邊形AECF中，AF∥CE，AF＝CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形． 11．(2016張家口九中模擬)(1)如圖①，已知△ABC，以AB，AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，請你完成圖形，并證明：BE＝CD；(尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡) (2)如圖②，已知△ABC，以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡單說明理由； (3)運(yùn)用(1)、(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題： 如圖③，要測量池塘兩岸相對的兩點(diǎn)B，E的距離，已經(jīng)測得∠ABC＝45，∠CAE＝90，AB＝BC＝100 m，AC＝AE，求BE的長． 圖① 解：(1)完成圖形，如解圖①所示：證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD和△EAB中，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴BE＝CD； (2)BE＝CD，證明：∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90.∴∠CAD＝EAB，在△CAD和△EAB中，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴BE＝CD； 圖② (3)由(1)，(2)的解題經(jīng)驗(yàn)可知，如解圖②，過點(diǎn)A作等腰直角三角形ABD，連接BD，∠BAD＝90，則AD＝AB＝100 m，∠ABD＝45，∴BD＝100 m，連接CD，則由(2)可得BE＝CD.∵∠ABC＝45，∠DBC＝90，在Rt△DBC中，BC＝100 m，BD＝100 m，根據(jù)勾股定理得：CD＝1002＋＝100 m，則BE＝CD＝100 m. 12．(2016石家莊二十八模擬)探究并證明以下問題： (1)如圖①，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且∠AOB＝60，點(diǎn)P為線段BO上任意一點(diǎn)，以AP為邊作等邊三角形APF，連接BF，求證：BF＝OP； (2)如圖②，在正方形ABCD，點(diǎn)P為BC邊上任意一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APMN，F(xiàn)為正方形APMN的中心，連接BF，直接寫出BF與CP的數(shù)量關(guān)系__BF＝CP__； (3)如圖③，在菱形ABCD中，AB∶AC＝m∶n，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，以AP為對角線作菱形AEPM，滿足∠ABC＝∠AFP，連接BF，猜想BF與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 解：(1)∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO，∠PAO＝60－∠BAP，在△FAB和△PAO中，，∴△FAB≌△PAO(SAS)，∴BF＝OP；(3)BF＝CP.理由：∵四邊形ABCD為菱形，∴BA＝BC，∴∠BAC＝(180－∠ABC)，∵四邊形AFPM是菱形，∴PF＝AF，∴∠FAP＝(180－∠AFP)，∵∠ABC＝∠AFP，∴∠BAC＝∠FAP，∴△FAP∽△BAC，∴＝，即＝，∵∠FAB＝∠FAP－∠BAP，∠PAC＝∠BAC－∠BAP，∴∠FAB＝∠PAC，又∠ABC＝∠AFP，∴△FAB∽△PAC，∴＝＝，即BF＝CP. 13．(2016滄州八中二模) (1)問題發(fā)現(xiàn) 如圖①，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE. 填空： ①∠AEB的度數(shù)為__60__； ②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系為__AD＝BE__； (2)拓展探究 如圖②，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE.請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (3)解決問題 如圖③，在正方形ABCD中，CD＝.若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90，請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離． 解：(2)∠AEB＝90；AE＝BE＋2CM.理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE.∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝135，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135－45＝90.在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE；(3)或.