同濟大學線性代數(shù)課件ch5全.ppt

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第一節(jié)向量的內積,一內積的定義和性質,三正交向量組,二向量的長度與夾角,四正交矩陣與正交變換,第六章相似矩陣和二次型,一、內積的定義與性質,1、定義,設維實向量,稱實數(shù),為向量與的內積，記作,注：內積是向量的一種運算，用矩陣形式表示，有,、性質,（1）對稱性：,（2）線性性：,（3）正定性：,、長度的概念,當,時,二、向量的長度與夾角,令,為維向量,的長度（?；蚍稊?shù)）.,特別,長度為的向量稱為單位向量.,（1）正定性：,（2）齊次性：,（3）三角不等式：,、性質,（4）柯西施瓦茲（CauchySchwarz）不等式:,當且僅當與的線性相關時，等號成立.,由非零向量得到單位向量,稱為把單位化或標準化.,的過程,、夾角,設與為維空間的兩個非零向量，與的夾,角的余弦為,因此與的夾角為,例,解,三、正交向量組,1、正交,2、正交組,若向量組中的向量兩兩正交，且均為非零向量，則,這個向量組稱為正交向量組，簡稱正交組.,3、標準正交組,由單位向量組成的正交組稱為標準正交組.,夾角900,4、正交基,5、標準正交基,由正交向量組構成的空間V的基,由標準正交向量組構成的空間V的基,定理,4、性質,正交向量組必為線性無關組.,證明見P112,例題：證明：r個n維向量構成的向量組，若rn則該向量組一定不是正交組,思路：r個n維向量組當rn時，必然線性相關,已知三維向量空間中，,例2,正交，,解,設,則,即,四、正交矩陣和正交變換,1、定義,如果階方陣滿足：,則稱為正交矩陣.,則,可表示為,若按列分塊表示為,亦即,結論：正交陣判定條件是列向量是標準正交組，即兩兩正交的單位向量。,2、正交矩陣判定條件,為方陣，且列向量組是標準正交組,三大條件：1）方陣2）單位向量3）正交（行列均可）EATAAAT,例題：證明下述性質（定義法）1）若A為正交陣，則A1和AT也是正交陣，且det（aij）1或12）若A，B為正交陣，則AB也為正交陣,3.定義的應用,3、正交變換,若為正交矩陣，則=線性變換稱為正交變換.,設=為正交變換，則有,經正交變換后向量的長度保持不變,內積保持不變,注,從而夾角保持不變.,請證明旋轉變換是正交變換P32問：投影變換是正交變換嗎？,4、施密特（Schmidt）正交化法（P114，自學）,設,是向量空間的一個基，要求向量空,間的一個標準正交基，就是要找到一組兩兩正交的單,位向量,，使,與,等價，,此問題稱為把,這組基標準正交化.,1）正交化,令,就得到的一個標準正交向量組.,的一組標準正交基.,如果,上述方法稱為施密特（Schmidt）正交化法.,2）標準化,令,是的一組基，則,就是,與,都是等價的.,可以證明：,第二節(jié)方陣的特征值與特征向量,一特征值與特征向量,三應用舉例,二特征值和特征向量的性質,四小結,一、特征值與特征向量的概念,定義,若,則稱為的特征值，,稱為的特征向量,（）,注,并不一定唯一；,階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組,特征值問題只針對與方陣，且特征向量不能為零,有非零解的值，即滿足,的都是方陣的特征值,例：求距陣的特征值和特征向量（P118例6，7）,定義,這是一個為變量的一元次多項式,為的特征多項式,定義,為的特征方程（幾元幾次方程？）,定理,設階方陣的特征值為,則,證明,當是的特征值時，的特征多項,式可分解為,令,得,即,必須牢記,（2）略,定義,方陣的主對角線上的元素之和稱為方陣的跡.,記為,二、特征值的性質,推論,階方陣可逆的個特征值全不為零.,若數(shù)為可逆陣的的特征值，,性質5,設階方陣的特征值為,則,根據(jù)這兩條性質，可以驗證所求得的結果是否正確.,三、應用舉例（定義+性質）,、若為可逆陣的特征值，則,的一個特征值為（）,、證階方陣的滿足，則的特征值為,或,、三階方陣的三個特征值為、，則,（）,（冪等陣AmA）,2解：設x是A的一個特征向量，則A2xAx03解：思路令B2E3A2,求出B的全部特征值即可。書上例題9自己看看。P122,四、特征向量的性質,定理,互異特征值對應的特征向量線性無關。,證明：見書P120另證：,特征向量的性質的證明,證,設存在使,是方陣的特征值，,依次是與之對應的特征向量，即有,因為,所以,即,即,(1),(2),(3),類推下去,有,(m),把以上個等式合寫成矩陣等式，得,上式左端的第二個矩陣的行列式是范德蒙德行列式，,當互不相等時，該行列式不等于0，從而該矩陣可逆.于是有,特征向量的性質的證明,即,又,因此必有,所以向量組線性無關.,證畢,特征向量的性質的證明,一、定義,定義,設、都是階矩陣，若有可逆矩陣，,使得,則稱是的相似矩陣，或者說矩陣,與相似,稱為對進行相似變換，,對進行運算,可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣,記作：,第三節(jié)矩陣相似對角化,請回憶距陣等價的概念，符號描述P59思考等價和相似的區(qū)別,練習：1。證明，若A相似B，則det（A）det（B）2。若A相似B，則A35A2A相似于B35B2B3。結論：若A相似B，則A的多項式相似于B的同一多項式,4。若階矩陣與相似，則與有相同的特征多項式，從而與有相同的特征值,推論,若階矩陣與對角矩陣,相似，,定理,若階矩陣與相似，則與有相同的特征多項式，從而與有相同的特征值,若能尋得相似變換矩陣使,對階方陣，,稱之為把方陣對角化,三、方陣對角化,定理的推論說明，如果階矩陣與對角矩陣相,似，,則的主對角線上的元素就是的全部特征值,設存在可逆，,使得,有,于是有,因為可逆，R（P）n,關的特征向量。,實現(xiàn),即與對角矩陣相似,對角化的目標：尋找n個線性無關的特征向量，構成P,定理,如果階矩陣有個互異特征值，則其對應的特征向量線性無關，此時的A必可對角化,注意：這是充分條件而非必要條件，要想判斷A能否對角化只能先求特征值，再求特征向量，然后看特征向量是否線性相關,結論,并非所有矩陣都可以對角化（相似對角化）即：對稱矩陣一定可以對角化（有定理）可以對角化的充要條件是：存在n個線性無關的特征向量p1，pn，且P（p1,p2，.，pn）可以對角化的一個必要條件是：n階矩陣A有n個互異特征值練習：請問P120的例5，6，7中矩陣哪些可以對角化？例題：P125，例11,定理對稱矩陣的特征值為實數(shù).,說明：矩陣可以對角化的理論比較復雜，本節(jié)要求掌握對稱陣對角化步驟即可,一、對稱矩陣的性質,定理對稱矩陣的互異特征值對應的特征向量正交.,定理若階對稱陣的任重特征值對應的線性,無關的特征向量恰有個,定理若為階對稱陣，則必有正交矩陣，使得,第四節(jié)對稱矩陣的對角化,需要記?。簩ΨQ矩陣必可相似對角化，且P為正交陣,根據(jù)上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：,將非重根對應的特征向量單位化；,3.,將重特征值對應的特征向量單位正交化;,4.,2.,1.,二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法（掌握）,將所有單位化后的特征向量組成P，注意與特征值的對應關系。,5.,三、實例分析,解,例12,例：設對稱矩陣A，已知A有二重特征值，122,求：1）x和另一個特征值3；（回憶特征值的兩條性質）2）A的所有特征向量；3）求正交矩陣P，使得A正交化,解：1）,2）,3）正交化矩陣P,建議驗證,作業(yè)：P138，14，16（1），17,第六節(jié)二次型,一元二次型的概念,二二次型的表示方法,三二次型的矩陣及秩,四化二次型為標準形,五小結,矩陣對角化的簡單應用,作業(yè)9：P1342（1），6（1），20,一、元二次型,1、定義,的二次齊次多項式,含有個變量,稱為二次型,或記為,注,當常數(shù)項為實數(shù)時，稱為實二次型；,當常數(shù)項為復數(shù)時，稱為復二次型,二、二次型的矩陣表示,定義,只含有平方項的二次型,稱為二次型的標準形,定義,特別地，若系數(shù)只在1，1，0取值，即,為二次型的規(guī)范形,則二次型,特別注意：為對稱矩陣.,令,任一二次型,三、二次型和矩陣A的關系,對稱矩陣,任一對稱矩陣,二次型,一一對應,稱為對稱矩陣的二次型；,稱為二次型的矩陣；,對稱矩陣的秩稱為二次型的秩,練習寫出下列二次型的對稱矩陣,3）復數(shù)域上的元二次型,例1）實數(shù)域上的元二次型,2）實數(shù)域上的元二次型,設,四、化二次型為標準形,對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形,記,記作,將其代入,有,若|C|0，則稱為非退化線性變換,？f如何才能變成標準二次型，對CTAC有何要求？,目的：尋找C使得CTAC變成對角陣,定義,設,為階方陣，若存在階可逆陣C，使得,則稱合同于,與相似、等價比較一下,用正交變換化二次型為標準形的具體步驟,例1已知二次型,用正交變換把二次型化為標準形，并寫出相應的正交矩陣.,解析：此題是一道典型例題.目的是熟悉用正交變換化二次型為標準形的“標準程序”.,寫出二次型對應的矩陣,二次型對應的矩陣為,求的特征值,由，求得的特征值為,例1解答,求的兩兩正交的單位特征向量,例1解答,對應，解方程，由,得基礎解系為,將其單位化，得,例1解答,對應，解方程，由,得基礎解系為,將其單位化，得,例1解答,對應，解方程，由,得基礎解系為,將其單位化，得,例1解答,寫出正交矩陣和二次型的標準形,令矩陣,則為正交陣，于是，經正交變換,原二次型化為標準形,例2已知二次型,的秩為2.,求參數(shù)以及此二次型對應矩陣的特征值；,指出表示何種曲面.,解,二次型的矩陣,因為的秩為2，,所以的秩也為2，因而,例2解答,當時，的特征多項式為,于是，的特征值為,特征值互異，必存在正交變換,其中為正交矩陣(不必具體求出)，使二次型,于是，曲面,這表示準線是平面上橢圓、母線平行于軸的橢圓柱面.,在新變量下稱為標準形,附錄：前面的部分證明,特征值的性質的證明,證,因為是的個特征向量，則有,即,令，即得,另一方面，根據(jù)行列式的定義知，上述行列式的展開式中，只有對角元之積含有,這些項中不含,比較兩端的的系數(shù)，可得,即,證畢,特征值的性質的證明,特征值的性質的證明,因為是的特征值，,證,所以存在非零向量使,又由知，,可逆，且，所以,這表明是矩陣的特征向量.,證畢,特征值的性質的證明,證,因為是的特征值，,所以存在非零向量使,用左乘上式兩端得,這表明是矩陣的特征向量.,類似地，可以證是矩陣的特征向量.,證畢,特征值的性質的證明,證,因為是的特征值，,所以存在非零向量使,又因為，所以,這表明是矩陣的特征向量.,證畢,特征值的性質的證明,證,因為,所以而,有非零解,因此存在非零向量，使,這表明0是的特征值.,證畢,特征值的性質的證明,證,根據(jù)特征值滿足的條件：是特征方程的根，所以要證與的特征值相同，,只需證它們的特征方程相同，也即只需證它們的特征多項式相同.,因為,所以與的特征多項式相同，從而與的特征值相同.,證畢,特征向量的性質的證明,證,設存在使,是方陣的特征值，,依次是與之對應的特征向量，即有,因為,所以,即,即,(1),(2),(3),類推下去,有,(m),把以上個等式合寫成矩陣等式，得,上式左端的第二個矩陣的行列式是范德蒙德行列式，,當互不相等時，該行列式不等于0，從而該矩陣可逆.于是有,特征向量的性質的證明,即,又,因此必有,所以向量組線性無關.,證畢,特征向量的性質的證明,