【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 數(shù)學(xué)思想方法】專題10 第45練

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第45練　數(shù)形結(jié)合思想 [思想方法解讀]　數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：①借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；②借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì). 數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決.數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖象結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍. 數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合.如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來(lái)定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來(lái)定義的. 常考題型精析 題型一　數(shù)形結(jié)合在方程根的個(gè)數(shù)中的應(yīng)用 例1　方程sin πx＝的解的個(gè)數(shù)是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 點(diǎn)評(píng)　利用數(shù)形結(jié)合求方程解應(yīng)注意兩點(diǎn) (1)討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性，否則會(huì)得到錯(cuò)解. (2)正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結(jié)合. 變式訓(xùn)練1　若函數(shù)f(x)＝有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A.(－4,0) B.(－∞，0] C.(－4,0] D.(－∞，0) 題型二　利用數(shù)形結(jié)合解決不等式參數(shù)問題 例2　設(shè)函數(shù)f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]時(shí)，恒有f(x)≤g(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 　 　 　 　 　 　 　 　 點(diǎn)評(píng)　利用數(shù)形結(jié)合解不等式或求參數(shù)的方法 求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來(lái)解決問題，往往可以避免煩瑣的運(yùn)算，獲得簡(jiǎn)捷的解答. 變式訓(xùn)練2　若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是(　　) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞) 題型三　利用數(shù)形結(jié)合求最值 例3　(2014北京)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90，則m的最大值為(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 點(diǎn)評(píng)　利用數(shù)形結(jié)合求最值的方法步驟 第一步：分析數(shù)理特征，確定目標(biāo)問題的幾何意義.一般從圖形結(jié)構(gòu)、圖形的幾何意義分析代數(shù)式是否具有幾何意義. 第二步：轉(zhuǎn)化為幾何問題. 第三步：解決幾何問題. 第四步：回歸代數(shù)問題. 第五步：回顧反思.應(yīng)用幾何意義數(shù)形結(jié)合法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：(1)比值——可考慮直線的斜率；(2)二元一次式——可考慮直線的截距；(3)根式分式——可考慮點(diǎn)到直線的距離；(4)根式——可考慮兩點(diǎn)間的距離. 變式訓(xùn)練3　已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值. 　 　 　 　 高考題型精練 1.(2014福建)已知函數(shù)f(x)＝則下列結(jié)論正確的是(　　) A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是增函數(shù) C.f(x)是周期函數(shù) D.f(x)的值域?yàn)閇－1，＋∞) 2.若方程x＋k＝有且只有一個(gè)解，則k的取值范圍是(　　) A.[－1,1) B.k＝ C.[－1,1] D.k＝或k∈[－1,1) 3.已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y滿足則x2＋y2－6x＋9的取值范圍是(　　) A.[2,4] B.[2,16] C.[4,10] D.[4,16] 4.已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)(b－c)＝0，則|c|的最大值是(　　) A.1 B.2 C. D. 5.已知函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2，則方程f(x)＝lg x解的個(gè)數(shù)是(　　) A.5 B.7 C.9 D.10 6.若過(guò)點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A.[－，] B.(－，) C.[－，] D.(－，) 7.(2015北京西城區(qū)模擬)設(shè)平面點(diǎn)集A＝{(x，y)|(y－x)(y－)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為(　　) A.π B.π C.π D. 8.(2014山東)已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)，對(duì)函數(shù)y＝g(x)(x∈I)，定義g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”為函數(shù)y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)滿足：對(duì)任意x∈I，兩個(gè)點(diǎn)(x，h(x))，(x，g(x))關(guān)于點(diǎn)(x，f(x))對(duì)稱.若h(x)是g(x)＝關(guān)于f(x)＝3x＋b的“對(duì)稱函數(shù)”，且h(x)>g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________. 9.設(shè)關(guān)于θ的方程cos θ＋sin θ＋a＝0在區(qū)間(0,2π)內(nèi)有相異的兩個(gè)實(shí)根α、β. (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)求α＋β的值. 　 　 　 　 　 　 　 10.已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)，當(dāng)20時(shí)，f(x)＝ln x與x軸有一個(gè)交點(diǎn)， 即f(x)有一個(gè)零點(diǎn). 依題意，顯然當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝－kx2也有一個(gè)零點(diǎn)，即方程－kx2＝0只能有一個(gè)解. 令h(x)＝，g(x)＝kx2，則兩函數(shù)圖象在x≤0時(shí)只能有一個(gè)交點(diǎn). 若k>0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即點(diǎn)A與原點(diǎn)O(如圖所示). 顯然k>0不符合題意. 若k<0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，即原點(diǎn)O(如圖所示). 若k＝0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，即原點(diǎn)O. 綜上，所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－∞，0].故選B.] 例2　解　∵f(x)≤g(x)，即a＋≤x＋1， 變形得≤x＋1－a， 令y1＝，① y2＝x＋1－a.② ①變形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)， 即表示以(－2,0)為圓心，2為半徑的圓的上半圓； ②表示斜率為，縱截距為1－a的平行直線系. 設(shè)與圓相切的直線為AT，其方程為y＝x＋b (b>0)， 則圓心(－2,0)到AT的距離為d＝， 由＝2，得b＝6或－(舍去). ∴當(dāng)1－a≥6，即a≤－5時(shí)，f(x)≤g(x). 變式訓(xùn)練2　D 解析　因?yàn)?x>0，所以由2x(x－a)<1得x－a<＝2－x，在直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)＝ x－a，g(x)＝2－x的圖象，如圖. 當(dāng)x>0時(shí)，g(x)＝2－x<1，所以如果存在x>0，使2x(x－a)<1，則有f(0)<1，即－a<1，即a>－1，所以選D. 例3　B 解析　根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示， 則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m. 因?yàn)椤螦PB＝90，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m. 要求m的最大值， 即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離. 因?yàn)閨OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6， 即m的最大值為6. 變式訓(xùn)練3　解　從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問題，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方無(wú)窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直角三角形PAC的面積SRt△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越來(lái)越大，從而S四邊形PACB也越來(lái)越大；當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小，顯然，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即CP垂直直線l時(shí)，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，此時(shí)|PC|＝＝3， 從而|PA|＝＝2. 所以(S四邊形PACB)min ＝2|PA||AC|＝2. 高考題型精練 1.D [函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，由圖象知只有D正確.] 2.D [令y1＝x＋k，y2＝， 則x2＋y2＝1(y≥0). 作出圖象如圖： 而y1＝x＋k中，k是直線的縱截距，由圖知：方程有一個(gè)解?直線與上述半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)?k＝或－1≤k<1.] 3.B [畫出可行域如圖，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是點(diǎn)Q(3,0)到可行域上的點(diǎn)的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線x－y－1＝0(x≥0)的距離d的平方，最大值為|QA|2＝16. ∵d2＝2＝2. ∴取值范圍是[2,16].] 4.C [如圖，設(shè)O＝a，O＝b，O＝c，則C＝a－c，C＝b－c.由題意知C⊥C，∴O、A、C、B四點(diǎn)共圓.∴當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，|c|最大，此時(shí)，|O|＝.] 5.C [由題意可知，f(x)是以2為周期，值域?yàn)閇0,1]的函數(shù). 又f(x)＝lg x，則x∈(0,10]，畫出兩函數(shù)圖象， 則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù). 由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn).] 6.C [設(shè)直線方程為y＝k(x－4)， 即kx－y－4k＝0， 直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)， 圓心到直線的距離小于等于半徑即d＝||≤1， 得4k2≤k2＋1，k2≤.所以－≤k≤.] 7.D [因?yàn)閷?duì)于集合A，(y－x)≥0， 所以或其表示的平面區(qū)域如圖. 對(duì)于集合B，(x－1)2＋(y－1)2≤1表示以(1,1)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部區(qū)域，其面積為π. 由題意意知A∩B所表示的平面圖形為圖中陰影部分，曲線y＝與直線y＝x將圓(x－1)2＋(y－1)2＝1分成S1，S2，S3，S4四部分.因?yàn)閳A(x－1)2＋(y－1)2＝1與y＝的圖象都關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，從而S1＝S2，S3＝S4，而S1＋S2＋S3＋S4＝π，所以S陰影＝S2＋S4＝.] 8.(2，＋∞) 解析　由已知得 ＝3x＋b，所以h(x)＝6x＋2b－.h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>，3x＋b>恒成立. 在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出直線y＝3x＋b及半圓y＝(如圖所示)，可得>2，即b>2，故答案為(2，＋∞). 9.解　(1)原方程可化為sin(θ＋)＝－，作出函數(shù)y＝sin(x＋)(x∈(0,2π))的圖象. 由圖知，方程在(0,2π)內(nèi)有相異實(shí)根α，β的充要條件 是 即－2＜a＜－或－＜a＜2. (2)由圖知：當(dāng)－＜a＜2，即－∈時(shí)，直線y＝－與三角函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象交于C、D兩點(diǎn)，它們中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以＝， 所以α＋β＝. 當(dāng)－2＜a＜－，即－∈時(shí)，直線y＝－與三角函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象有兩交點(diǎn)A、B， 由對(duì)稱性知，＝，所以α＋β＝， 綜上所述，α＋β＝或. 10.解　由于20， 因此函數(shù)必在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在零點(diǎn)，故n＝2.