【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)】專題3 第12練

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第12練　導(dǎo)數(shù)幾何意義的必會(huì)題型 [題型分析高考展望]　本部分題目考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)圖象在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查形式主要為選擇題和填空題或者在解答題的某一步中出現(xiàn)(難度為低中檔)，內(nèi)容就是求導(dǎo)，注意審題是過點(diǎn)(x0，y0)的切線還是在點(diǎn)(x0，y0)處的切線. ?？碱}型精析 題型一　直接求切線或切線斜率問題 例1　(1)(2015課標(biāo)全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線過點(diǎn)(2,7)，則a＝______. (2)(2014大綱全國)曲線y＝xex－1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率等于(　　) A.2e B.e C.2 D.1 點(diǎn)評　導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，需注意以下兩點(diǎn)： (1)當(dāng)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線垂直于x軸時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程是x＝x0； (2)注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過某點(diǎn)的切線.曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求過某點(diǎn)的切線方程，需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解. 變式訓(xùn)練1　已知f(x)＝x3＋f′()x2－x，則f(x)的圖象在點(diǎn)(，f())處的切線斜率是________. 題型二　導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用 例2　(2014福建)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線y＝f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為－1. (1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值； (2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，x20)上不存在斜率為0的切線，則－1的取值范圍是(　　) A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(2，＋∞) D.[2，＋∞) 6.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，若過點(diǎn)A(0，16)且與曲線y＝f(x)相切的切線方程為y＝ax＋16，則實(shí)數(shù)a的值是(　　) A.－3 B.3 C.6 D.9 7.(2015北京東城區(qū)聯(lián)考)設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)，若f′(x)是偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為(　　) A.y＝3x B.y＝－2x C.y＝－3x D.y＝2x 8.(2014江西)若曲線y＝xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________. 9.(2015陜西)函數(shù)y＝xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為________. 10.(2015廣州質(zhì)檢)已知曲線C：f(x)＝x3－ax＋a，若過曲線C外一點(diǎn)A(1,0)引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補(bǔ)，則a的值為________. 11.(2014課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝aexln x＋，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b； (2)證明：f(x)>1. 　 　 　 　 　 　 　 　 12.(2015天津)已知函數(shù)f(x)＝4x－x4，x∈R. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)設(shè)曲線y＝f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y＝g(x)，求證：對于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)≤g(x)； (3)若方程f(x)＝a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1＜x2，求證：x2－x1≤－＋. 　 　 　 　 　 　 　 　 答案精析 第12練　導(dǎo)數(shù)幾何意義的必會(huì)題型 ?？碱}型精析 例1　(1)1　(2)C 解析　(1)f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2. (1，f(1))處的切線方程為y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1). 將(2,7)代入切線方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1. (2)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1， 故曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為y′|x＝1＝2. 變式訓(xùn)練1　－1 解析　f′(x)＝3x2＋2f′()x－1，令x＝， 可得f′()＝3()2＋2f′()－1， 解得f′()＝－1， 所以f(x)的圖象在點(diǎn)(，f())處的切線斜率是－1. 例2　(1)解　由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a. 又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2. 所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 當(dāng)xln 2時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x＝ln 2時(shí)，f(x)取得極小值， 且極小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)無極大值. (2)證明　令g(x)＝ex－x2，則g′(x)＝ex－2x. 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0. 故g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)＝1>0， 因此，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g(0)>0，即x20時(shí)，x20時(shí)，x21，要使不等式x2kx2成立. 而要使ex>kx2成立，則只要x>ln(kx2)， 即x>2ln x＋ln k成立. 令h(x)＝x－2ln x－ln k，則h′(x)＝1－＝. 所以當(dāng)x>2時(shí)，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增. 取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增. 又h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln 2)＋3(k－ln k)＋5k， 易知k>ln k，k>ln 2,5k>0.所以h(x0)>0. 即存在x0＝，當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，恒有x20時(shí)，ex>x2，所以ex＝ >()2()2；當(dāng)x>x0時(shí)，ex>()2()2>()2＝x2. 因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，恒有x20時(shí)，x2x0時(shí)，有x20)的導(dǎo)數(shù)為y′＝－ (x>0)，曲線y＝ (x>0)在點(diǎn)P處的切線斜率k2＝－ (m>0)，因?yàn)閮汕芯€垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).] 2.A [因?yàn)閥′＝－2e－2x，∴曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線斜率k＝－2，∴切線方程為y＝－2x＋2，該直線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形如圖所示，其中直線y＝－2x＋2與y＝x的交點(diǎn)為A，所以三角形面積S＝1＝.] 3.A [易知點(diǎn)(－1，－1)在曲線上，且y′＝＝，所以切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝－1＝2. 由點(diǎn)斜式得切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.] 4.A [依題意得y′＝1＋ln x，y′|x＝e＝1＋ln e＝2， 所以－2＝－1，a＝2，故選A.] 5.A [因?yàn)楹瘮?shù)f′(x)＝ax2＋bx＋c，所以－1＝－1＝.函數(shù)f(x)圖象上不存在斜率為0的切線，也就是f′(x)＝0無解，故Δ＝b2－4ac<0，即ac>，所以≥>＝1，即－1＝的取值范圍是(1，＋∞).] 6.D [先設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)， 則切點(diǎn)在曲線y0＝x－3x0上，① 求導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率k＝f′(x0)＝3x－3， 又切線過A、M兩點(diǎn)，所以k＝， 則3x－3＝.② 聯(lián)立①②可解得x0＝－2，y0＝－2， 從而實(shí)數(shù)a的值為a＝k＝＝9.] 7.C [∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)， 又f′(x)是偶函數(shù)，∴a＝0，即f′(x)＝3x2－3. ∴k＝f′(0)＝－3. ∴曲線y＝f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y＝－3x， 故選C.] 8.(e，e) 解析　設(shè)P(x0，y0).∵y＝xln x， ∴y′＝ln x＋x＝1＋ln x. ∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e. ∴y0＝eln e＝e.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(e，e). 9.y＝－ 解析　設(shè)y＝f(x)＝xex，令y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)＝0，得x＝－1.當(dāng)x＜－1時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞－1時(shí)，y′＞0，故x＝－1為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，切線斜率為0， 又f(－1)＝－e－1＝－，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為y＋＝0(x＋1)，即y＝－. 10. 解析　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，t3－at＋a). 由題意知，f′(x)＝3x2－a， 切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝t＝3t2－a，① 所以切線方程為y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t).② 將點(diǎn)(1,0)代入②式得，－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝. 分別將t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a， 由題意它們互為相反數(shù)得a＝. 11.(1)解　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1. 由題意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2. (2)證明　由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1， 從而f(x)>1等價(jià)于xln x>xe－x－. 設(shè)函數(shù)g(x)＝xln x，則g′(x)＝1＋ln x. 所以當(dāng)x∈(0，)時(shí)，g′(x)<0； 當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，g′(x)>0. 故g(x)在(0，)上單調(diào)遞減， 在(，＋∞)上單調(diào)遞增， 從而g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g()＝－. 設(shè)函數(shù)h(x)＝xe－x－， 則h′(x)＝e－x(1－x). 所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)>0； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)<0. 故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增， 在(1，＋∞)上單調(diào)遞減， 從而h(x)在(0，＋∞)上的最大值為h(1)＝－. 所以g(x)≥－≥h(x). 又因?yàn)閮傻忍枱o法同時(shí)取到，所以g(x)>h(x). 綜上，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>h(x)，即f(x)>1. 12.(1)解　由f(x)＝4x－x4，可得f′(x)＝4－4x3. 當(dāng)f′(x)＞0，即x＜1時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)f′(x)＜0，即x＞1時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞). (2)證明　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,0)，則x0＝，f′(x0)＝－12. 曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為y＝f′(x0)(x－x0)，即g(x)＝f′(x0)(x－x0). 令函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)， 即F(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)， 則F′(x)＝f′(x)－f′(x0). 由于f′(x)＝－4x3＋4在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減， 故F′(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，又因?yàn)镕′(x0)＝0， 所以當(dāng)x∈(－∞，x0)時(shí)，F(xiàn)′(x)＞0，當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)＜0，所以F(x)在(－∞，x0)上單調(diào)遞增， 在(x0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以對于任意的實(shí)數(shù)x， F(x)≤F(x0)＝0，即對于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)≤g(x). (3)證明　由(2)知g(x)＝－12. 設(shè)方程g(x)＝a的根為x2′，可得x2′＝－＋. 因?yàn)間(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減， 又由(2)知g(x2)≥f(x2)＝a＝g(x2′)， 因此x2≤x2′. 類似地，設(shè)曲線y＝f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y＝h(x)， 可得h(x)＝4x. 對于任意的x∈(－∞，＋∞)，有f(x)－h(huán)(x)＝－x4≤0，即f(x)≤h(x). 設(shè)方程h(x)＝a的根為x1′，可得x1′＝. 因?yàn)閔(x)＝4x在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，且h(x1′)＝a＝f(x1)≤h(x1)，因此x1′≤x1， 由此可得x2－x1≤x2′－x1′＝－＋.